BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN THỊ THƢƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÔNG KHÍ VÀ Ô NHIỄM MÔI TRƢỜNG NƢỚC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy cô giáo, đặc biệt là Tiến sỹ Nguyễn Văn Hùng người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, các thầy cô giáo, cán bộ, nhân viên trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập tại trường. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tác giả Trần Thị Thương Lời cam đoan Qua một thời gian học tập và nghiên cứu luận văn này là kết quả của tôi đã đạt được dưới sự giúp đỡ chỉ bảo tận tình của Tiến sỹ Nguyễn Văn Hùng. Trong quá trình nghiên cứu luận văn này tôi có tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Tôi xin cam đoan nội dung đề tài “Ứng dụng của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng trong bài toán ô nhiễm không khí và ô nhiễm môi trường nước” không có sự trùng lặp với các đề tài khác. Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tác giả Trần Thị Thương MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu 1 Chƣơng1. Kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Phương trình vi phân thường 3 1.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 3 1.1.2. Phương trình Becnuli 4 1.1.3. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất cấp n với hệ số là hằng số 5 1.2. Phương trình vi phân đạo hàm riêng 7 1.2.1. Các định nghĩa 7 1.2.2. Phương trình truyền nhiệt 8 1.3. Một số khái niệm cơ bản của mô hình hóa môi trường 10 Chƣơng 2. Ứng dụng của phƣơng trình vi phân và phƣơng trình đạo hàm riêng trong giải bài toán ô nhiễm không khí 12 2.1. Mô hình hóa không khí theo phương pháp Gauss 12 2.1.1. Phương trình cơ bản để tính nồng độ chất ô nhiễm trong không khí 12 2.1.2. Mô hình Gauss tính toán lan truyền chất ô nhiễm không khí 18 2.1.3. Môt số bài toán về mô hình Gauss 26 2.2. Mô hình hóa không khí theo phương pháp Berliand 43 2.2.1. Sự phân bố chất ô nhiễm và phương trình toán học cơ bản 43 2.2.2. Công thức Berliand trong trường hợp chất khí và bụi nặng 45 2.2.3. Công thức Berliand trong trường hợp lặng gió 47 2.2.4. Một số bài toán về mô hình Berliand 48 Chƣơng 3. Ứng dụng của phƣơng trình vi phân và phƣơng trình đạo hàm riêng trong giải bài toán ô nhiễm nƣớc 63 3.1. Các định nghĩa 63 3.2. Mô hình Streeter – Phelps 64 3.2.1. Cách tiếp cận cân bằng vật chất 64 3.2.2. Độ thiếu hụt Oxy 65 3.2.3. Phương trình diễn tiến DO 67 3.3. Bài toán ứng dụng mô hình Streeter – Phelps 70 Kết luận 86 Tài liệu tham khảo 87 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Ô nhiễm môi trường sống là vấn đề rất quan trọng mang tính chất toàn cầu. Đặc biệt là ô nhiễm không khí. Những hậu quả của sự ô nhiễm mang lại cho con người là rất nghiêm trọng. Trong quá trình học tập và nghiên cứu về phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng, qua quá trình tìm hiểu các bài toán thực tế tôi đã rằng đây là một ngành có nhiều ứng dụng. Đặc biệt là ứng dụng của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng để giải quyết bài toán ô nhiễm không khí và nước. Với mong muốn đó, nhờ sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của Tiến sỹ Nguyễn Văn Hùng tôi đã mạnh dạn chọn và nghiên cứu đề tài: “Ứng dụng của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng trong bài toán ô nhiễm không khí và ô nhiễm môi trường nước”. Luận văn tìm hiểu về: Mô hình ô nhiễm không khí theo phương pháp Gauss và phương pháp Berliand. Mô hình ô nhiễm nước theo Streeter – Phelps. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng trong vấn đề ô nhiễm không khí và ô nhiễm nước. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Mô hình ô nhiễm không khí theo phương pháp Gauss và phương pháp Berliand.Mô hình chất lượng nước. 2 4. Đối tƣơng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng của phương trình vi phân vào các bài toán về ô nhiễm không khí và chất lượng nước. Phạm vi nghiên cứu: Phương trình vi phân, và ứng dụng của phương trình vi phân vào các bài toán về ô nhiễm môi trường. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu của phương trình vi phân. Phương pháp nghiên cứu của khoa học môi trường. 6. Những đóng góp mới của luận văn Trình bày một cách có hệ thống một số ứng dụng của phương trình vi phân thông qua các mô hình toán học trong việc giải quyết các bài toán ô nhiễm không khí và nước. 3 CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phƣơng trình vi phân thƣờng 1.1.1 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1 Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng: ( ). ( ) dy p x y q x dx  (     ,p x q x là các hàm liên tục) (1.1) Phương pháp giải. Bước 1: Xét phương trình trình tuyến tính thuần nhất: ( ). 0 dy p x y dx  (1.2) Trường hợp 1: y = 0 là nghiệm của (1.2) Trường hợp 2: Xét y ≠ 0,(1.2) () ( ).        p x dx dy p x y y e C dx Nghiệm ()p x dx y e C    được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) Bước 2: Ta coi C = C(x) khi đó ta có: ( ) ( ) () p x dx p x dx y e C y e C x      (1.3)   ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) p x dx p x dx dy d C x p x dx e C x e dx dx         (1.4) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) p x dx p x dx dy d C x p x e C x e dx dx       Thay (1.3) và (1.4) vào (1.1) ta được: 4 ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ). ( ) ( )           p x dx p x dx p x dx d C x p x e C x e p x C x e q x dx ( ) ( ) 1 ( ( )) ( ) ( ) ( )        p x dx p x dx d C x e q x C x e q x C dx Thay vào (1.4) ta được ( ) ( ) 1 ( ( ) ). p x dx p x dx y q x e C e     là nghiệm tổng quát của phương trình (1.1). 1.1.2 Phƣơng trình Becnuli. Định nghĩa. Phương trình Becnuli là phương trình có dạng: ( ). ( ). dy p x y q x y dx   (1.5) Phương pháp giải. Trường hợp 1: 0   phương trình (1.5) là phương trình tuyến tính cấp 1. Trường hợp 2: 1   phương trình (1.5) trở thành:     ( ) ( ) ( ) ( ) dy dy q x p x y q x p x dx dx y      Đây là phương trình tuyến tính thuần nhất Trường hợp 3: 0; 1   Giả sử y ≠ 0. Ta chia cả 2 vế cho y  ta được 1 ( ) ( ) dy y p x q x y dx y   Đặt 1 1 (1 ) (1 )                   dz dy dy z y y y y dx dx y dx Phương trình (1.5) trở thành : 1 ( ). ( ) 1       dz p x z q x dx (1.6) Phương trình (1.6) là phương trình tuyến tính cấp một. 5 1.1.3 Phƣơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất cấp n với hệ số là hằng số * Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp n với hệ số hằng số Định nghĩa. Là phương trình có dạng:   ( ) ( 1) 10 0, nn ni y a y a y a const        (1.7) Phương pháp giải. Xét phương trình 1 10 0 nn n k a k a       (1.8) Phương trình (1.8) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (1.7). Ta đi giải (1.8) trên trường số phức. Giả sử trên trường này phương trình (1.8) có n nghiệm 1 2 n , , ,k k k Trường hợp 1: 1 2 n i j , , , , k k i j   k k k R Các nghiệm riêng của phương trình (1.7) là: 12 12 , , ,   n kx k x k x n y e y e y e 1   j n kx j j y c e là nghiệm tổng quát của phương trình (1.7). Trường hợp 2: Phương trình (1.8) có một nghiệm k j nào đó là nghiệm thực bội s (s  1). Ứng với các k j ta có các nghiệm riêng của (1.7) như sau: 1 11 , , , j j j k x k x k x s j j j s y e y xe y x e        Từ đó suy ra nghiệm tổng quát của phương trình (1.7). Trường hợp 3: Phương trình (1.8) có một nghiệm k j nào đó là nghiệm phức j j j ki   . Khi đó ứng với các k j ta có các nghiệm riêng của phương trình (1.7) như sau: 1 cos , sin jj xx j j j j y e x y e x     . [...]... RIÊNG TRONG GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÔNG KHÍ 2.1 Mô hình hóa không khí theo phƣơng pháp Gauss 2.1.1 Phƣơng trình cơ bản để tính nồng độ chất ô nhiễm trong không khí Khi mô tả quá trình khuyếch tán chất ô nhiễm trong không khí bằng mô hình toán học thì mức độ ô nhiễm không khí thường được đặc trưng bằng trị số nồng độ chất ô nhiễm phân bố trong không gian và biến đổi theo thời gian Trong trường hợp tổng quát,... mô hình môi trường là không thực tế do có rất nhiều phản ứng trong một hệ sinh thái thực Tính thường xuyên thay đổi của một hệ sinh thái mâu thuẫn với vi c áp dụng các thông số là hằng số cho các mô hình * Các hằng số Thí dụ như hằng số khí và trọng lượng nguyên tử, cũng được sử dụng trong hầu hết các mô hình 12 CHƢƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG GIẢI BÀI... của hàm cần tìm   F là hàm nhiều biến, x  x1, x2, , x n  n ; Cấp của phương trình đạo hàm riêng là bậc cao nhất của các đạo hàm riêng có trong phương trình Phương trình đạo hàm riêng là tuyến tính nếu nó có dạng:   Lu  a 0 x u  m  k1 ,k2 , ,kn k1 k2  kn m k1 ,k2 , ,kn ak   x ku b x k x 1 x n n   Phương trình đạo hàm riêng là tuyến tính thuần nhất nếu Lu = 0 Nghiệm tổng quát của phương. .. thành phần hữu sinh và vô sinh cũng như đến tỷ lệ các quá trình xảy ra trong một hệ sinh thái Đây là hàm điều khiển nhưng không phải là các hàm kiểm soát * Phương trình toán học Phương trình toán được sử dụng để biểu diễn các quá trình sinh học, hóa học và vật lý Chúng mô tả mối quan hệ giữa hàm điều khiển và biến trạng thái Cùng một quá trình có thể có tìm thấy trong nhiều ngữ cảnh môi trường khác nhau,... là cùng một phương trình có thể được sử dụng trong nhiều mô hình khác nhau Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là cùng một quá 11 trình sẽ luôn luôn được biểu diễn bằng cùng một phương trình Quá trình đang xét có thể được mô tả tốt hơn khi sử dụng phương trình toán có lưu ý tới ảnh hưởng của các nhân tố cụ thể Thứ hai, mức độ chi tiết cần phải có trong mô hình có thể là khác nhau trong các trường hợp... của nồng độ ô nhiễm trong không khí phân bố theo thời gian và không gian được mô tả từ phương trình chuyển tải vật chất (hay là phương trình truyền nhiệt) có biến đổi hoá học đầy đủ như sau: C C C C   C    C    C  u v w   kx ky   kz   t x y z x  x  y  y  z  z    C   C   C  wc z (2.1) Trong đó:     C x, y, z : Nồng độ chất ô nhiễm trong không khí, ... thiết chất ô nhiễm không có phản ứng hoá học với không khí xung quanh tức là không sản sinh ra cũng như không phân huỷ đi, thì mật độ 21 chất ô nhiễm trên tất cả các mặt cắt trực giao với trục gió ở mọi khoảng cách x đều như nhau (hình 2.1) Nhưng nồng độ chất ô nhiễm trong luồng khói thì giảm dần khi khoảng cách x tăng do có hiện tượng khuyếch tán theo phương ngang (trục y) và theo phương ứng (trục... d (2.9)  Nếu các đạo hàm của phương trình (2.5) có thể tính được bằng cách vi phân hàm dưới dấu tích phân (2.9) thì có nghĩa phương trình (2.9) sẽ thoả mãn phương trình (2.5) hay phương trình (2.9) sẽ là nghiệm của phương trình (2.5)   Điều kiện ban đầu t = 0 : u x, 0    Đặt:  x    A   e   A   e d i x  d i x    Tính tích phân Fourier ngược ứng với hàm số  x ta được:... Các thành phần của hệ số khuyếch tán rối theo các trục Ox, Oy, Oz u, v, w : Các thành phần vận tốc gió theo trục Ox, Oy, Oz wc: Vận tốc lắng đọng của các chất ô nhiễm 13  : Hệ số liên kết của chất ô nhiễm với các phần tử khác của môi trường không khí  : Hệ số biến đổi chất ô nhiễm thành các chất khác do những quá trình phản ứng hoá học xảy ra trên đường lan truyền Tuy nhiên phương trình (2.1) rất... truyền nhiệt trong môi trường đẳng hướng và không có 2 u  2u  2u  2   u nguồn nhiệt có dạng: a  2  2  2 t y z   x Giả sử sau một thời gian nào đấy, nhiệt độ trong môi trường ổn định,   nghĩa là u x, y, z, t không phụ thuộc thời gian, tức ta có u 0 t 2u 2u 2u Khi đó ta có phương trình Laplace sau:   0 x 2 y 2 z 2 10 1.3 Một số khái niệm cơ bản của mô hình hóa môi trƣờng Các . phương trình vi phân vào các bài toán về ô nhiễm không khí và chất lượng nước. Phạm vi nghiên cứu: Phương trình vi phân, và ứng dụng của phương trình vi phân vào các bài toán về ô nhiễm môi trường. . trình đạo hàm riêng trong bài toán ô nhiễm không khí và ô nhiễm môi trường nước . Luận văn tìm hiểu về: Mô hình ô nhiễm không khí theo phương pháp Gauss và phương pháp Berliand. Mô hình ô nhiễm. ghi trong phần tài liệu tham khảo. Tôi xin cam đoan nội dung đề tài Ứng dụng của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng trong bài toán ô nhiễm không khí và ô nhiễm môi trường nước