Đang tải... (xem toàn văn)
Tổng hợp các đề thi và đáp án kì thi học sinh giỏi môn Toán THPT Hoa Kì (từ trước đến 2014)Tổng hợp các đề thi và đáp án kì thi học sinh giỏi môn Toán THPT Hoa Kì (từ trước đến 2014)Tổng hợp các đề thi và đáp án kì thi học sinh giỏi môn Toán THPT Hoa Kì (từ trước đến 2014)
THI HOẽC SINH GIOI TOAN THPT HOA KYỉ 1993-2003 Tran Quang Nghúa dũch VIETMATHS.NET www.hoctoancapba.com.vn 2 THI HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC HOA KỲ (AHSME và AMC)) (American High School Mathematics Examination and American Mathematics Competition) The American High School Mathematics Examination (AHSME) là kì thi đầu tiên trong loạt kì thi dùng để thử thách các học sinh giỏi toán, khối 12 và thấp hơn, từ đó chọn ra đội tuyển đại diện cho nước Mỹ tham gia kì thi Olympic Toán Quốc tế (International Mathematics Olympiad (IMO)). Kì thi AHSME gồm 30 câu hỏi trắc nghiệm 5 lựa chọn làm trong 75 phút. Các câu hỏi có độ khó tăng dần. Mỗi trả lời đúng: 5 điểm. Mỗi trả lời sai: - 2 điểm. Mỗi câu hỏi không làm: 0 điểm nào. Bắt đầu từ năm 2000, kỳ thi AHSME được thay bằng AMC 12 (American Mathematics Competition) dành cho học sinh học lớp 12. Bài thi AMC 12 có 25 câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn trong thời hạn 75 phút. Bắt đầu từ năm 2008 thí sinh không được sử dụng máy tính. Những thí sinh đạt điểm cao sẽ được mời tham gia tiếp vào kỳ thi AIME (American Invitation Mathematics Examination). Những thí sinh đạt điểm cao trong kỳ thi này lại bước vào kỳ thi UMO (USA Mathematical Olympiad) mà những thí sinh được điểm cao nhất được tập hợp thành đội tuyển dự thi vào kỳ thi danh giá nhất trên thế giới, đó là kỳ thi IMO (International Mathematical Olympiad: (Olympic Toán Quốc Tế). Các bài toán thuộc lãnh vực số học, đại số, hình học, lý thuyết số, tỗ hợp và xác suất và những nội dung khác của chương trình toán phổ thông mà học sinh có thểà giải được mà không cần công cụ giải tích. VIETMATHS.NET www.hoctoancapba.com.vn 3 NĂM 1993 1 Với số nguyên a, b, c, ta đònh nghóa: [a, b, c] = ab – bc + ca. Thế thì: [1, - 1, 2] = a) – 4 b) – 2 c) 0 d) 2 e) 4 2 Trong tam giác ABC, góc A = 550, góc C = 750, D trên cạnh AB, E trên cạnh BC. Nếu DB = BE, thế thì góc BED = a) 500 b) 550 c) 600 d) 650 e) 700 3 Tính (không dùng máy) 15 30 45 15 a) (1/3) 15 b) (1/3) 2 c) 1 d) 3 15 e) 5 15 4 Ta đònh nghóa phép toán “ o “ như sau: x o y = 4x – 3y + xy, với mọi số thực x và y. Có bao nhiêu số thực y sao cho: 3 o y = 12? a) 0 b) 1 c) 3 d) 4 e) nhiều hơn 4 5 Năm trước một xe đạp giá 160 $, một mũ bảo hộ giá 40$. Năm nay giá xe đạp tăng 5 %, giá mũ tăng 10%. Vậy giá xe đạp và mũ kể chung tăng bao nhiêu phần trăm? a) 6 % b) 7 % c) 7, 5 % d) 8 % e) 15 % 6 114 1010 48 48 a) 2 b) 16 c) 32 d) 12 2/3 e) 512, 5 7 Kí hiệu R k chỉ một số nguyên mà trong cơ hệ 10 nó được biểu diễn thành một dãy k số 1. Ví dụ: R 3 = 111, R 5 = 11111, Khi lấy R 24 chia cho R 4 , thương số Q là một số nguyên mà trong cơ hệ 10 được biễu diễn thành một dãy chỉ chứa chữ số 0 và 1. Vậy số chữ số 0 trong Q là: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15 8 Gọi C 1 , C 2 là các đường tròn bán kính 1 nằm trong cùng một mặt phẳng và tiếp xúc nhau. Hỏi có bao nhiêu đường tròn bán kính 3 nằm trong mặt phẳng ấy và tiếp xúc với cả hai đường tròn C 1 và C 2 . a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 9 Xứ A có c % dân số trái đâát và sở hữu d % của cải thế giới. Xứ B có e % dân số trái đâát và sở hữu f % của cải thế giới. Giả sữ mọi công dân của A đều chia xẻ của cải như nhau, công dân xứ B cũng vậy. Hãy tìm tỉ số giữa của cải công dân xứ A và công dân xứ B. a) cd/ef b) ce/df c) cf/de d) de/cf e) df/ce 10 Gọi r là số sinh ra khi nhân cả cơ số và số mũ của a b lên ba lần, a, b > 0. Nếu r bằng tích của a b và x b với x > 0, thế thì x = a) 3 b) 3a 2 c) 27a 2 d) 2a 3 b e) 3a 2 b 11 Biết log 2 (log2 (log2 (x))) = 2, thế thì trong cơ hệ 10, biểu diễn của x có bao nhiêu chữ số? a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13 12 Nếu x xf 2 2 )2( với mọi x > 0, thế thì 2 f(x) = a) x1 2 b) x2 2 c) x1 4 d) x2 4 e) x4 8 VIETMATHS.NET www.hoctoancapba.com.vn 4 13 Một hình vuông có chu vi 20 nội tiếp trong hình vuông có chu vi 28. Tìm khoảng cách lớn nhất giữa một đỉnh của hình vuông trong với một đỉnh của hình vuông ngoài. a) 58 b) 7 5 /2 c) 8 d) 65 e) 5 3 14 Ngũ giác lồi ABCDE có góc A = góc B = 1200, EA = AB = BC = 2 và CD = DE = 4. Tìm diện tích của ngủ giác. a) 10 b) 7 3 c) 15 d) 9 3 e) 12 5 15 Có bao nhiêu giá trò của n sao cho các góc trong của đa giác n-cạnh đều có số đo là số nguyên? a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24 16 Xét dảy số không giãm những số nguyên dương 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5 trong đó số nguyên dương thứ n xuất hiện n lần. Tìm dư số khi chia số hạng thứ 1993 cho 5. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 17 An vẽ một tấm bia lên mặt một đồng hồ hình vuông, dùng các vò trí chỉ giờ làm đường biên (xem hình). Nếu t là diện tích của một trong 8 miền tam giác như miền giữa 12 giờ và 1 giờ, và q là diện tích của một trong bốn tứ giác ở góc như tứ giác giữa 1 giờ và 2 giờ, thế thì q/t = a) 2 3 - 2 b) 3/2 c) ( 5 + 1)/2 d) 3 e) 2 18 An và Bình bắt đầu công việc mới của họ vào cùng một ngày. Lòch làm việc của An là làm 3 ngày rồi nghỉ một ngày. Còn lòch của Bình là làm liền 7 ngày rồi nghỉ 3 ngày. Hỏi trong số 1000 ngày làm việc hai người có bao nhiêu ngày nghỉ chung? a) 48 b) 50 c) 72 d) 75 e) 100 19 Phương trình 1 24 nm có bao nhiêu nghiệm (m, n) với m, n là các số nguyên dương? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) nhiều hơn 4 20 Cho phương trình: 10z 2 – 3iz – k = 0, trong đó z là ẩn số phức và i 2 = - 1, k là tham số. Phát biểu nào sau đây là đúng a) Với mọi số thực dương k, cả hai nghiệm đều là số thuần ảo. b) Với mọi số thực âm k, cả hai nghiệm đều là số thuần ảo. c) Với mọi số thuần ảo k, cả hai nghiệm đều thực và hữu tỉ. d) Với mọi số thuần ảo k, cả hai nghiệm đều thực và vô tỉ. e) Với mọi số phức k, không có nghiệm nào là thực. 21 Cho a 1 , a 2 , . . . , a k là cấp số cộng với a 4 + a 5 +. . . . + a 13 + a 14 = 77. Biết a k = 13, thế thì k = a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24 VIETMATHS.NET www.hoctoancapba.com.vn 5 22 Hai mươi khối lập phương được sắp xếp như sau. Dưới cùng là lớp thứ nhất gồm 10 khối được xếp theo hình tam giác, sau đó lớp thứ hai gồm 6 khối cũng sắp xếp theo hình tam giác đặt chồng lên và ngay chính giữa lớp dưới, tiếp theo là lớp gồm 3 khối. cũng theo hình tam giác đặt chồng lên cũng ngay chính giữa lớp thứ hai, và cuối cùng là một khối đặt ở trên cùng ngay chính giữa lớp thứ ba. Các khối ở lớp dưới cùng được đánh số từ 1 tới 10 theo một trật tự nào đó. Mỗi khối thuôc lớp 2, 3 và 4 được gán cho một số là tổng của các số đã gán cho ba khối mà nó nằm lên. Hãy tìm con số nhỏ nhất có thể gán cho khối trên cùng. a) 55 b) 83 c) 114 d) 137 e) 144 23 Các điểm A, B, C và D thuộc đường tròn đường kính 1, và điểm X trên đường kính AD. Biết BX = CX và 3 góc BAC = góc BXC = 360, thế thì AX = a) 0 18cos 12cos6cos oo b) 0 18sin 12sin6cos oo c) 0 18cos 12sin6cos oo d) 0 18sin 12sin6sin oo e) 0 18cos 12sin6sin oo 24 Một hộp chứa 3 đồng tiền mới và 4 đồng tiền cũ. Từng đồng một được lấy ra một cách ngẫu nhiên khỏi hộp và không được thay thế. Nếu a/b (a/b tối giản) là xác suất sao cho phải lấy ra hơn bốn lần thì đồng tiền mới thứ ba mới xuất hiện, thế thì a + b = a) 11 b) 20 c) 35 d) 58 e) 66 25 Cho góc xOy = 120 0 , và P là một điểm cố đònh thuộc tia phân giác trong của góc xOy. Xét tất cả những tam giác đều phân biệt PQR với Q và R thuộc hai tia Ox và Oy. (Điểm Q và R có thể thuộc cùng một tia, và hoán vò hai tên Q và R vẫn được coi là một tam giác). Vậy thì có bao nhiêu tam giác như thế? a) đúng 2 b) đúng 3 c) đúng 7 d) đúng 15 e) nhiều hơn 15 26 Tìm giá trò lớn nhất của hàm số: F(x) = Rxxxxx ,48148 22 a) 7 - 1 b) 3 c) 2 3 d) 4 e) 555 VIETMATHS.NET www.hoctoancapba.com.vn 6 27 Đô dài các cạnh của tam giác ABC là 6, 8, và 10. Một đường tròn có tâm P và bán kính 1 lăn bên trong tam giác ABC, luôn luôn tiếp xúc với ít nhất một cạnh của tam giác. Khi P trở lại vò trí đầu tiên đã xuất phát, P đã đi được một đoạn đường dài bao nhiêu? a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 17 28 Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ (x, y) với x, y nguyên thỏa 1 ≤ x ≤ 4 và 1 ≤ y ≤ 4. a) 496 b) 500 c) 512 d) 516 e) 560 29. Tập hợp nào dưới đây KHÔNG thể là đô dài đường chéo của các mặt một hình hộp chữ nhật a){4, 5, 6 } b){4, 5, 7 } c){4, 6, 7 } d){5, 6, 7 } e){5, 7, 8 } 30 Cho 0 ≤ x 0 < 1, và: x n = 1212 122 1 1 1 1 nn nn xkhix xkhix với mọi số nguyên n > 0. Có bao nhiêu x 0 sao cho x 0 = x 5 a) 0 b) 1 c) 5 d) 31 e) nhiều vô số BÀI GIẢI 1. (d) [1, - 1, 2] = 1 (- 1) – (- 1)2 + 2. 1 = 1 – 1 + 2 = 2 2. (d) Ta có: góc B = 180 0 – (55 0 + 75 0 ) = 50 0 . Vi tam giác BDE cân nên: góc BED = (180 0 – B) = 65 0 3. (e) 15 15 15 1515 30 5 3 15 15.3 15 4.(e) Thế x = 3, ta được: 3 o y = 12 – 3y + 3y Vậy mọi y. 5. (a) Năm trước xe đạp và mũ giá 160 $ + 40 $ = 200 $. Năm nay, giá xe đạp tăng 0, 05.160 $ = 8 $, trong khi giá mũ tăng 0,10. 40$ = 4 $. Do đó giá xe và mũ tăng tổng cộng 12 $, tức tăng: 12/200 = 6% 6. (b) 2212 2030 11243 102103 114 1010 22 22 )2()2( )2()2( 48 48 1622 2 2 )21(2 )12(2 48 12 20 1012 1020 7. (e) Vì 110 1)10( 110 110 9 9 4 64 4 24 4 24 4 24 R R R R = 10 20 + 10 16 + 10 12 + 10 8 + 10 4 + 1 = 100010001000100010001 Vậy có 15 chữ số 0 trong Q. 8. (d) Có tất cả 6 đường tròn như thế. Hai đường tròn tiếp xúc trong với C 1 và C 2 , hai đường tròn tiếp xúc ngoài với C 1 , C 2 và hai đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn này và ngoài với đường tròn kia. VIETMATHS.NET www.hoctoancapba.com.vn 7 Câu hỏi: Nếu đường tròn thứ ba có bán kính là 2 (hay 3/2 hay 1/2) thì kết quả trên thay đổi thế nào? 9. (d) Gọi P là dân số và W là của cải thế giới, thế thì Pc / 100 công dân của A sở hữu Wd / 100 đơn vò của cải, vì thế mỗi công dân của A sở hữu Pc Wd Pc Wd 100/ 100/ đơn vò của cải Tương tự, mỗi công dân của B sở hữu Wf / Pe đơn vò của cải. Tỉ số cần tìm là: cf de PeWf PcWd / / 10. (c) Vì r = (3a) 3b = ((3a) 3 ) b = (27a 3 )b, và r = a b x b = (ax) b , ta suy ra: (27a 3 ) b = (ax) b <=> 27a 3 = ax <=> x = 27a 2 . Ghi chú: Có thể chứng tỏ các lựa chọn khác đều sai bằng cách cho a = b = 1. 11. (a) Ta có: log 2 (log 2 (log 2 (x))) = 2 <=> log 2 (log 2 (x)) = 2 2 = 4 <=> log 2 x = 2 4 = 16 <=> x = 2 16 = 2 6 . 2 10 64. 1000 Vậy nó có 5 chữ số khi viết trong cơ hệ 10. 12. (e) x4 8 13. (d) Đỉnh hình vuông nội tiếp chia cạnh hình vuông lớn thành hai đoạn x và y với x ≤ y. Ta có: x + y = 7 và x 2 + y 2 = 25 Giải hệ trên ta được: x = 3 và y = 4. Khoảng cách lớn nhất là: AB = 22 y + y) +(x = 22 4 + 7 = 65 14. (b) Nối CE, tứ giác ABCE là hình thang cân. Vẽ AF và BG vuông góc CE. Các tam giác AEF và BCG là nửa tam giác đều, cho ta: EF = CG = AE/2 = 1, AF = 3 và FG = AB = 2 => CE = 4 => tam giác CDE đều. Vậy diện tích cần tìm là: | ABCE | + | CDE | = 1/2. (2 + 4) 3 + 4 2 3 /4 = 7 3 Ghi chú: Nếu kéo dài DE, DC cắt AB cắt tại J và K như hình bên, ta có thể tính diện tích ABCDE bằng 7/9 diện tích tam giác đều DJK. 15. (d) Vì số đo của một góc trong của đa giác n – cạnh đều là nn n o 360 180 180)2( Suy ra n phải là ước số của 360. Vì 360 = 2 3 . 3 2 . 5 1 , nên ước số của nó có dạng: N = 2 a . 3 b . 5 c với a = 0, 1, 2 hay 3; b = 0, 1 hay 2; và c = 0 hay 1. Do đó có 4. 3. 2 = 24 ước số của 360. Vì n ≥ 3, ta loại bỏ số 1 và 2, còn lại 22 giá trò có thể có của n. 16. (d) Số nguyên dương thứ n xuất hiện lần cuối cùng tại vò trí thứ: 1 + 2 + 3 + + n = n(n + 1)/2 Vì 62. 63/2 = 1953, 63. 64/2 = 2016, suy ra rằng số hạng thứ 1993 là số 63. Số này khi chia cho 5 có dư số là 3. VIETMATHS.NET www.hoctoancapba.com.vn 8 17. (a) Gọi O là tâm đồng hồ, tam giác từ 12 giờ đến 1 giờ là AOB, tứ giác từ 1 giờ đến 2 giờ là OBCD, và tam giác từ 2 giờ đến 3 giờ là ODE. Đặt AB = 1, ta có góc AOB = góc BOD = góc DOE = 30 0 nên OA = 3 , suy ra: |OACE| = 3 và | AOB | = | DOE | = 3 /2. Do đó: 232 2/3 33 || ||2|| || || AOB AOBOACE AOB OBCD t q Ghi chú: Kí hiệu | AB D | chỉ diện tích đa giác AB D 18. (e) Lòch làm việc của An có chu kì 4 ngày, của Bình có chu kì 10 ngày. Bội số chung của 4 và 10 là 20. Xét chung họ có chu kì 20 ngày, và có 50 chu kì như thế trong 1000 ngày. Nếu đánh số ngày trong mỗi chu kì là 1, 2, , 20, thì An nghỉ vào các ngày 4, 8, 12 và 20, còn Bình nghỉ vào các ngày 8, 9, 10, 18, 19, 20. Như vậy cả hai cùng nghó vào ngày 8 và 20, tức nghỉ chung hai ngày trong mỗi chu kì. Do đó họ có cả thảy 2 x 50 = 100 ngày nghó chung trong 1000 ngày đầu tiên. Cách khác: Ta lập bảng như sau: A: x x x o x x x o x x x o x x x o x x x o B: x x x x x x x o o o x x x x x x x o o o Chú ý cứ 20 ngày bảng lại lập lại như cũ. Vì có 50 chu kì trong 1000 ngày, nên có tất cả 2 x 50 = 100 ngày nghỉ chung. 19. (d) Vì m và n phải dương, suy ra m > 4 và n > 2. Mặt khác: 1 24 nm <=> (m – 4) (n – 2) = 8 ta chỉ cần tìm xem có bao nhiêu cách phân tích 8 dưới dạng ấy. Có 4 cách: 1. 8, 2. 4, 4. 2 và 8. 1, ứng với 4 nghiệm (m, n) = (5, 10), (6, 6), (8, 4) và (12, 3). 20. (b) Dùng công thức nghiệm, ta được: z = 20 4093 ki với = - 9 + 40k. • Nếu k = 1: = 31 => (a) sai. • Nếu k < 0: < 0 => (b) đúng • Nếu k = i: = - 9 + 40i = (4 + 5i) 2 => nghiệm là: ii 10 1 5 1 ; 5 2 5 1 => (c) và (d) sai. • Nếu k = 0 (một số phức): nghiệm là 0 và 3i/10 => (e) sai. 21. (b) Trong một cấp số cộng có số các số hạng là lẻ thì số hạng chính giữa là trung bình cộng của tất cả các số hạng. Vì a 4 , a 7 , a 10 lập thành một cấp số cộng có tổng là 17, do đó: a 7 = 17/3. Vì a 4 , a 5 , , a 14 lập thành cấp số cộng có 11 số hạng và tổng là 77 nên số hạng giữa a 9 = 77/11 = 7. Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho, ta có: 2d = a 9 – a 7 = 4/3 => d = 2/3. Từ: a 7 = a 1 + 6d, suy ra: a 1 = 5/3. Từ: a k = a 1 + (k – 1) d, ta suy ra: 13 = 5/3 + (k - 1)2/3 <=> k = 18. 22. (c) Theo trực giác, ta thấy rằng khối lập phương ở trung tâm được đếm nhiều lần nhất, do đó nên được gán số 1 và những khối lập phương ở góc được xét tới ít lần nhất, do đó nên được gán những số 8, 9 và 10. Ví dụ, để đi đến đáp số VIETMATHS.NET www.hoctoancapba.com.vn 9 đúng, ta gán cho lớp dưới cùng những số sau Chính xác hơn, ta giải như sau: Giả sử các số được gán ở lớp dưới là: Các số ở lớp thứ hai được sắp xếp như sau: Các số của lớp thứ ba là: Do đó t = 6c + 3(e 1 + e 2 + e 3 + e 4 + e 5 + e 6 ) + (v 1 + v 2 + v 3 ) là con số được gán cho khối lập phương trên cùng. Số này nhỏ nhất khi c = 1, {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 } ={2, 3, , 6, 7 } Và {v 1 , v 2 , v 3 } ={8, 9, 10 }. Do đó giá trò nhỏ nhất của t là: 6 (1) + 3 (2 + 3 + + 7) + (8 + 9 + 10) = 114. 23. (b) Ta có AD là phân giác góc BAC và BXD => góc BAD = 6 0 . Trong tam giác vuông ABD: AB = AD cosBAD = cos 6 0 . Chú ý góc AXB = 162 0 và góc ABX = 12 0 . p dụng đònh lí hàm sin: oo o AX ABX AX AXB AB 12sin62sin 6cos sinsin Mà sin 162 0 = sin 18 0 , suy ra: o oo AX 18sin 12sin6cos 24. (e) Ta tính xác suất sao cho không hơn bốn lần rút, ta đã được đồng tiền mới thứ ba. Vì có C 4 3 cách chọn ba đồng tiền mới trong bốn lần rút và có tất cả C 7 3 cách chọn được chúng, xác suất được ba đồng tiền mới trong bốn lần rút là: 35 4 7 3 4 3 C C . Vậy xác suất cần tìm là: 1 - 4/35 = 31/35 => a + b = 66. 25. (e) Gọi A là điểm trên tia Ox sao cho OA = OP. Tam giác OAP là tam giác đều cố đònh. Gọi Q là điểm bất kì trên đoạn OA. Trên Oy ta lấy điểm R sao cho OR = AQ. Hai tam giác ABQ và ORP bằng nhau (c.g.c) => PQ = PR và góc QPR = góc APO = 60 0 , chứng tỏ tam giác PQR là tam giác đều. Vì Q bất kì nên có vô số tam giác PQR thỏa điều kiện đề bài. Câu hỏi: Nếu xOy ≠ 120 0 , kết quả còn đúng không? VIETMATHS.NET www.hoctoancapba.com.vn 10 26. (c) Viết lại f(x) = 22 7) -(x - 1 4) -(x - 16 Số hạng đầu tiên là hàm số mà đồ thò là nửa đường tròn ở phiá trên trục hoành, có tâm (4, 0), bán kính 4. Số hạng thứ hai là hàm số mà đồ thò là nửa đường tròn ở phía trên trục hoành, có tâm (7, 0), bán kính 1. Suy ra f (x) chính là hiệu hai tung độ của hai điểm trên nưả đường tròn cùng có hoành độ là x với 6 ≤ x ≤ 8. Căn cứ vào hình vẽ, f(x) lớn nhất khi x = 6. Giá trò lớn nhất là: f(6) = 2 3 . Cách khác: Hs f(x) 6) - x)(x - (8 x)x- (8 xác đònh khi 6 ≤ x ≤ 8. Ta có: f(x) = 6 86 6 6 )6(8 xx x xx xx xxx Tử lớn nhất và mẫu nhỏ nhất cùng lúc khi x = 6, do đó gtln của f(x) là f(6). 27. (b) Tập hợp các điểm P là tam giác A’ B’ C’ đồng dạng với tam giác ABC, gổm những đoạn cách AB, BC, CA một khoảng là 1. Gọi D và E là tiếp điểm với AB và BC của đường tròn (P) khi P trùng với B’. Ta có: BD = BE = B’DcotgB/2 = cotgB/2 Tương tự khi P trùng với B’ và C’. Như vậy đoạn đường mà P di được là: A’B’ + B’C’ + C’A’ = AB + BC + CA – - 2 cotgA/2 - 2 cọtgB/2 - 2cotgC/2 Ta có:: cot A/2 = 3 5/3 5/41 sin cos1 A A Tương tự, ta tính được: cot C/2 = 2. Còn cot B/2 = cot(45 o ) = 1. Vậy đoạn đường cần tìm là: 8 + 6 + 10 – 2(3) – 2(1) – 2(2) = 12 Cách khác: Theo cách giải trên AA’ là phân giác trong góc A cũng như của góc A’. Tương tư, BB’ và CC’ là phân giác của góc B, B’ cũng như góc C. C’. Do đó các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng tâm đường tròn nội tiếp. Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác A’B’C’ nhỏ hơn của tam giác ABC là 1. Bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác vuông cạnh góc vuông là a và b, cạnh huyền c cho bởi công thức r = S/p với S diện tích và p là nửa chu vi của tam giác. Như vậy: r = ab/(a +b + c) Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là (8)(6)/(8 + 6 + 10) = 2, và do đó bán kính đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’ là 2 – 1 = 1. Vì tỷ số hai bán kính bằng tỷ số chu vi, do đó chu vi tam giác A’B’C’ là: (8 + 6 + 10)/2 = 12. VIETMATHS.NET [...]... Vậy số các tam giác cần tìm là: 560 – 32 – 12 = 516 cho x0 = x5 Thách thức: Tìm số tam giác có các đỉnh là các GHI NHẬN: m x n Trong số 347.720 bài thi được phát cho các thí VIE mắt lưới có kích thước n x n, hay tổng quát hơn sinh trên 5694 trường PT, chỉ có 2 bài thi được 29 (b) Gọi a ≤ b ≤ c là đô dài các cạnh hình điểm tuyệt đỉnh Trong số 3273 học sinh được hộp, x ≤ y ≤ z là đô dài đường chéo các mặt... tích phần chung của hình chữ nhật và hình tròn là đến trước và chôn ghế ngồi sao cho mỗi thầy ngồi ở giữa hai học sinh Có bao nhiêu cách mà ba thầy có 14 www.hoctoancapba.com.vn thể lựa chọn ghế ngồi? a) 12 b) 36 c) 60 27 d) 84 e) 630 Một bao bắp rang chứa 2/3 bắp trắng và 1/3 bắp vàng Chỉ có 1/2 bắp trắng sẽ nổ, trong khi 2/3 bắp vàng sẽ nổ Một hạt bắp được chọn một cách 23 Trong mặt phẳng Oxy, xét... 1, mặt 5 và 2, mặt 4 và 3 đối diện nhau Để được một tổng số là 1994 với nhiều mặt 6 nhất, ta phải có 332 mặt 6 và một mặt 2 hiện lên Khi đó 332 mặt 1 và 1 mặt 5 ở bên dưới ứng với tổng số 332 + 5 = 337, là giá trò nhỏ nhất của S cần tìm 20 www.hoctoancapba.com.vn NĂM 1995 6 Hình bên khi gấp lại có thể tạo thành khối Kim đạt được 87, 83 và 88 điểm trong ba kì lập phương Trong khối lập thi toán đầu tiên... Bài toán cộng bên dưới không đúng Hãy khán giả thực sự của hai trận, cho biết: (i) Số khán giả thực sự ở thành phố Atlanta thì trong vòng 10% mà An ước lượng (ii) ơc lượng của Bình thì trong vòng 10% số sữa một chữ số d, ở bất cứ vò trí nào, thành chữ khán giả thực sự ở thành phố Boston số e để bài toán trên là đúng Tìm tổng của d Tính gần đúng đến 1000, hiệu số lớn nhất có và e thể có giữa số khán... 18 (d) Gọi D và F là tâm các đường tròn, C và B là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và trục tung Gọi E và G là các tiềp điểm Ta có: OD = DE = 2, DF = 3 và FG = 1 Đặt FC = u và OB = y Tam giác FGC và DEC ET đồng dạng cho ta: hình chữ nhật (Xem hình) Tam giác A có chiều Suy ra: GC = cao b/2 và cạnh đáy a/n cho ta: ATH S.N 1 a b 2 n 2 m 1 b a n 2 m 2 8 Tương tự hai tam giác BOC và FGC đồng... hiệu số khán giả của 13 (c) Tổng số trong cột vạn hai trận là 21 666 và 10 vạn là sai Chữ số duy Vậy ( e) là đáp số đúng nhất chung của hai cột là 2 Thay chữ số 2 bằng chữ số 6 ET 17 (e) Gọi O là tâm đường tròn Vì tổng các góc ở hai cột, ta có phép cộng trong của n – giác là ( n – 2) 1800, nên tổng các đúng Thay hai chữ số 2 ở các cột khác bằng chữ góc trong ngủ giác ABCDO là: 5400 số 6 các phép tính... (0, 0, 21/2), bán kính 6, và có tâm (0, 0, 1), bán kính 9/2 Hỏi có bao nhiêu điểm (x, y, z) với x, y, z 22 đều nguyên và thuộc phần giao của hai khối cầu Bốn điểm A, B, C, và D được chọn trong số a) 7 1996 điểm cách đều nhau trên đường tròn Mọi bốn điểm đều có cùng cơ hội được chọn như nhau Tìm b) 9 c) 11 d) 13 e) 15 28 Cho hình hộp chữ nhât có kích thước 4 x 4 x xác suất sao cho dây AB và dây CD cắt... có: u1 = 20, un = 40 và công sai d = 17 (d) 1/5 Vậy số các số hạng là: nhật, A, B, C, D là giao điểm của của chúng Gọi O là tâm đường tròn và hình chữ Vì AO = OB = 2 và AB = 2 2 nên AOB là tam 17 www.hoctoancapba.com.vn r = 1/3 hay r = 1 giác vuông cân Suy ra các góc tại O đều vuông Vì x ≠ y nên r ≠ 1, do đó: r = 1/3 Tổng diện tích các hình quạt AOB và COD là: 2 2 (π /4) = 2π Tổng diện tích hai tam... giả ở thành phố Boston Theo = 1800 – 600 – 300 = 900 giả thi t, ta có: Các tam giác CDE và AEF nũa đều và bằng 45.000 ≤ A ≤ 55 000 nhau, do đó nếu đặt CD = AE = x thì CE = 2x 26 www.hoctoancapba.com.vn tìm và DE = x 3 Tỉ số diện tích hai tam giác là: 22 (e) Gọi a, b, c, d, e là đô dài các cạnh ngủ DE 2 ( x 3 ) 2 1 AC 2 (3x) 2 3 giác, và r và s là đô dài cạnh tam giác được cắt rời ra ( Xem hình... 2C và B = 3C (vì 5 và 2 là các số Cộng (1) và (2): 2r2 = 48 r2 = 24 nguyên tố ) (2) Dựng OG ED Trong tam giác vuông ODE: Vi A, B, C không có ước số chung lớn hơn 1 nên: OD2 = DG DE = 1/2 DF DE= 24 C = 1: A = 2, B = 3 và A + B + C = 6 27 (e) Ta tính 5 giá trò đầu tiên của f: 25 (b) Vì số trung vò và số mốt đều bằng 8 và f(1) = 1, f (2) = 2, f(3) = 6, f(4) = 14, f(5) = 30 hiệu số số lớn nhất và