CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Thông tin tài liệu

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1 Phương trình mũ A. Tóm tắt lý thuyết 1. Hàm số mũ  Định nghĩa: Hàm số mũ là hàm số có dạng x y a  , trong đó hằng số a thỏa mãn 0 1 a   được gọi là cơ số.  Tập xác định và tập giá trị: +) Tập xác đinh:  ; +) Tập giá trị:   0;  .  Sự biến thiên: hàm x y a  đồng biến khi 1 a  , nghịch biến khi 0 1 a   .  Đồ thị: 1 y=a x (0<a<1) O x y 1 y=a x (a>1) O x y  Tính chất: +) Với mọi 0 1 a   , x , y   , 2,3, n   ta có: x y x y a a a    ; x x y y a a a   ;   y x xy a a  ; x n x n a a  . +) Với mọi 0 a  , 1 b  , x   , ta có:   x x x a b ab  ; x x x a a b b        . 2. Phương trình mũ cơ bản  Với 0 1 a   , ta có     f x g x a a       f x g x  .  Với 0 1 a   , 0 b  , ta có   f x a b     log a f x b  . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. [TN09] Giải phương trình 25 6.5 5 0 x x    .   1 Ta thấy   2 5 25 x x  . Do đó, nếu đặt 5 x t  thì 0 t  và 2 25 x t  . Phương trình   1 trở thành 2 6 5 0 t t     1 5 t t      . Thay t vào phương trình 5 x t  , ta được 2 5 1 5 5 x x       0 1 t t      . Vậy tập nghiệm của   1 là   0,1 . Ví dụ 2. Giải phương trình     7 48 7 48 14 x x     .   1 Giải Ta thấy       7 48 7 48 7 48 7 48 1 1 x x x x          . Do đó nếu đặt   7 48 x t   thì 0 t  và   1 7 48 x t   . Khi đó,   1 trở thành 1 14 t t    2 14 1 0 t t     7 48 7 48 t t         . Thay t vào phương trình   7 48 x t   , ta được     7 48 7 48 7 48 7 48 x x                    1 2 2 7 48 7 48 7 48 7 48 x x               2 x   . Vậy tập nghiệm của   1 là   2  . Ví dụ 3. Giải phương trình 1 4 6 18 9 0 x x x     .   1 Giải Chia hai vế của   1 cho 9 x , ta được phương trình tương đương 4 2 4 18 0 9 3 x x                 . Đặt 2 3 x t        , suy ra 0 t  và 2 4 9 x t        . Phương trình đã cho trở thành 2 4 18 0 t t     2 9 4 t t        . Giá trị 2 t   không thỏa mãn điều kiện 0 t  . Thay giá trị còn lại của t vào phương trình 2 3 x t        , ta được 2 9 3 4 x         2 2 2 3 3 x                2 x   . 3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 2 x   . Ví dụ 4. Giải phương trình 3 1 3 1 1 8 8 3 2 125 24 2 2 x x x x                   .   1 Giải Ta có   1  3 3 1 1 8 2 24 2 125 2 2 x x x x                                 Đặt 1 2 2 x x t         , suy ra 1 2 2 2 2 x x t          và 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 x x x x x x x x t t                                                   3 3 3 1 2 3 2 x x t t          . Với phép đặt ẩn phụ như thế, phương trình đã cho trở thành   3 8 3 24 125 t t t    5 2 t  (thỏa mãn). Thay giá trị tìm được của t vào phương trình 1 2 2 x x t         , ta có 1 5 2 2 2 x x         .   2 Lại đặt 2 x u  , suy ra 0 t  và   2 trở thành 1 5 2 u u    2 2 5 2 0 u u     2 1 2 u u       . Thay các giá trị tìm được của u trở lại phương trình 2 x u  , ta được 2 2 1 2 2 x x         1 1 x x       . Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là   1  . Ví dụ 5. Giải phương trình 6 3 3 2 3 0 x x x      .   1 Giải Ta có   1      3 2 1 3 2 1 0 x x x          3 3 2 1 0 x x     3 3 2 1 x x       1 0 x x      . 4 Ví dụ 6. Giải phương trình 2 2 1 1 1 2 2 2 2 8 0 x x x x         .   1 Giải Ta có   1      2 1 2 2 2 4 2 2 0 x x x          2 1 2 4 2 2 0 x x     2 1 2 4 0 2 2 0 x x           2 1 2 1 x x         3 1 x x       . Ví dụ 7. Giải phương trình 2 3 8 6 x x x   .   1 Giải Lấy lô-ga cơ số 3 hai vế của phương trình ta được 3 3 3 log 2 1 log 2 2 x x x            3 3 2 3 log 2 1 log 2 2 x x x x           2 3 3 1 2log 2 2 1 log 2 0 x x        2 3 2log 2 3     3 1 2log 2 2 x x        . Ví dụ 8. Giải phương trình 3 4 5 x x x   .   1 Giải Chia hai vế của phương trình cho 5 x , ta được phương trình tương đương 3 4 1 5 5 x x               .   2 Ta thấy 3 0 5  , 4 1 5  nên   3 4 5 5 x x f x               là hàm nghịch biến. Do đó, phương trình   2 có nhiều nhất một nghiệm. Lại có   2 1 f  , suy ra   2 có nghiệm duy nhất 2 x  . Vậy   1 có nghiệm duy nhất 2 x  . Ví dụ 9. Giải phương trình       2 4 15 4 15 2 2 x x x     . Giải Ta thấy   2 2 2 8 x x  . Chia hai vế của phương trình cho 8 x , ta được phương trình tương đương 4 15 4 15 1 8 8 x x                     .   2 5 Ta thấy 4 15 0 8   , 4 15 1 8   nên   4 15 4 15 8 8 x x f x                     là hàm nghịch biến. Do đó, phương trình   2 có nhiều nhất một nghiệm. Lại có   1 1 f  , suy ra   2 có nghiệm duy nhất 1 x  . Vậy   1 có nghiệm duy nhất 1 x  . Ví dụ 10. Giải phương trình     2 2 3 25 3 10 5 3 0 x x x x        .   1 ( 2 , 5 2 log 3  ) Giải Đặt 2 5 x t   , suy ra 0 t  và phương trình   1 trở thành   2 3 3 10 3 0 t x t x      (   2 3 8 x   )  3 1 3 t x t         . Thay 3 t x    vào phương trình 2 5 x t   , ta có phương trình 2 5 3 x x     .   2 Ta thấy vế trái của phương trình   2 là hàm đồng biến, còn vế phải là hàm nghịch biến. Do đó,   2 có tối đa một nghiệm. Dễ thấy 2 x  là nghiệm của   2 . Vậy   2 có nghiệm duy nhất 2 x  . Thay 1 3 t  vào phương trình 2 5 x t   , ta được 2 1 5 3 x   5 2 log 3 x     5 2 log 3 x   . Vậy tập nghiệm của phương trình   1 là   5 2;2 log 3  . 6 C. Bài tập Bài 1. Giải các phương trình 1) [TN11] 2 1 7 8.7 1 0 x x    . ĐS: 0 , 1  . 2) 1 1 4 6.2 8 0 x x     . ĐS: 0 , 1 . 3) 8 2.4 2 2 0 x x x      . ĐS: 0 . 4) 4.9 12 3.16 0 x x x    . ĐS: 1 . 5) 2 1 1 3 4.3 27 0 x x     . ĐS: vô nghiệm. 6) 3.25 2.49 5.35 x x x   . ĐS: 0 , 7 5 3 2 log . 7) 1 1 3 3 10 x x    . ĐS: 1  . 8) 2 3 3 10 x x   . ĐS: 0 , 2 . 9) 2 4 2 2 3 45.6 9.2 0 x x x     . ĐS: 2  . 10) 2 1 2 3 3 108 x x   . ĐS: 2 . 11) 3.4 2.6 9 x x x   . ĐS: 0 . 12) 64 8 56 0 x x    . ĐS: 1 . 13) 4 3.2 2 0 x x    . ĐS: 0 , 1 . 14) 2 3 3 8 0 x x     . ĐS: 0 . 15) 1 9 3 4 0 x x    . ĐS: 3 log 4 . 16) 2 1 3 2 2 64 0 x x     . ĐS: 3 . 17) 6.9 13.6 6.4 0 x x x    . ĐS: 1  . 18) [A06] 3.8 4.12 18 2.27 0 x x x x     . 19) [D03] 2 2 2 2 2 3 x x x x     . 20) 2 2 4.3 9.2 5.6 x x x   . 21) 2 2 4.3 9.2 5.6 x x x   . 22) 2.4 6 9 0 x x x    . 23) 4 2.6 3.9 0 x x x    . 24) 8 18 2.27 x x x   . 25) 3 1 125 50 2 x x x    . 26)     2 3 2 3 4 x x     . 27)     1 2 2. 2 1 3 x x     . ĐS: 0 , 1 2 log 2  . 28)     7 4 3 3. 2 3 2 0 x x      7 29) [B07]     2 1 2 1 2 2 0 x x      . ĐS: 1  . 30)     cos cos 7 4 3 7 4 3 4 x x     . 31)     3 5 21 7. 5 21 2 x x x      32)     2 3 2 3 2 x x x     . 33) 2 2 sin cos 9 9 10 x x   . 34) 2 2 sin cos 4 2 2 2 x x    35) 2 3. 2 17 11 x x    . 36) 2 2 sin cos 81 81 30 x x   . 37) 2 2 sin cos 4.2 2 6 x x   . Bài 2. Giải các phương trình 1) 6 3 3.2 3 0 x x x     ĐS: 0 , 1 . 2) 14 2 4.7 4 0 x x x     . ĐS: 0 , 2 . 3) 1 1 6 3 2 6 0 x x x      . ĐS: 2 log 3 , 3 log 2 . 4) 6 8.3 5.2 40 0 x x x     . ĐS: 3 . 5)   3 9 2 2 2.3 18 0 x x x     . ĐS: 1  , 2 . 6) 12 8 6 4 0 x x x x     . ĐS: 0 . 7) 2 2 1 1 1 2 2 2 2 8 0 x x x x         . ĐS: 3  , 1 . 8) 2 2 5 6 1 6 5 2 2 2.2 1 x x x x       . ĐS: 1  , 2 , 3 . Bài 3. Giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số 1) 2 3 2 x x   . ĐS: 0 . 2) 2 3 5 x x   . ĐS: 1 . 3) 2 1 25 10 2 x x x    . ĐS: 0 . 4) 2 4.3 9.2 5.6 x x x   ĐS: 4 . 5) 3 1 125 50 2 x x x    ĐS: 0 . 6)   2 2 1 2 2 1 x x x x      ĐS: 1 . 7) 2 1 8 3 x x   . ĐS: 2 . 8)   2 3 2 3 3 10 3 3 0 x x x x        . ĐS: 1 , 2 . 9) 2 1 x x   . ĐS: 0 , 1 . 10) 3 5 6 2 x x x    . ĐS: 0 , 1 . 8 11) 2 3 3 2 x x x    . ĐS: 0 , 1 . . của u trở lại phương trình 2 x u  , ta được 2 2 1 2 2 x x         1 1 x x       . Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là   1  . Ví dụ 5. Giải phương trình 6 3 3. 3 1 2log 2 2 x x        . Ví dụ 8. Giải phương trình 3 4 5 x x x   .   1 Giải Chia hai vế của phương trình cho 5 x , ta được phương trình tương đương 3 4 1 5 5 x x       . và phương trình   1 trở thành   2 3 3 10 3 0 t x t x      (   2 3 8 x   )  3 1 3 t x t         . Thay 3 t x    vào phương trình 2 5 x t   , ta có phương trình

Ngày đăng: 23/08/2015, 14:54

Xem thêm: CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ