GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Đinh nghóa: Hàm số f đồng biến K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2) Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f đồng biến khoảng I f(x)  0, x  I b) Nếu f nghịch biến khoảng I f(x)  0, x  I Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = số hữu hạn điểm) f đồng biến I b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = taïi số hữu hạn điểm) f nghịch biến I c) Nếu f(x) = 0, x  I f không đổi I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực bước sau: – Tìm tập xác định hàm số – Tính y Tìm điểm mà y = y không tồn (gọi điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau: a) y  x  x  b) y  x  x  x  c) y  x  2x2 1 4 x  15x  2x 1 d) y  e) y  x5 3x Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau: a) y  6 x  x  x  d) y  2x 1 x2 g) y  x    x HTTP://THAYTOAN.NET b) y  e) y  x2  x2  x x  3x  h) y  x  x c) y  x2  x  x2  x  f) y  x   2  x i) y  x  x Trang Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97    x   2 k) y  sin x      l) y  sin x  x    x    2 VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) Cho hàm số y  f ( x, m) , m tham số, có tập xác định D  Hàm số f đồng biến D  y  0, x  D  Hàm số f nghịch biến D  y  0, x  D Từ suy điều kiện m Chú ý: 1) y = xảy số hữu hạn điểm 2) Nếu y '  ax  bx  c thì:  a  b   c   y '  0, x  R     a       a  b   c   y '  0, x  R     a      3) Định lí dấu tam thức bậc hai g( x )  ax  bx  c :  Nếu  < g(x) dấu với a b ) 2a  Nếu  > g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a  Nếu  = g(x) dấu với a (trừ x =  4) So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x )  ax  bx  c với số 0:     x1  x2    P  S        x1  x2   P  S    x1   x2  P  5) Để hàm số y  ax  bx  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) d ta thực bước sau:  Tính y  Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến: a  (1)     Biến đổi x1  x2  d thaønh ( x1  x2 )2  x1x2  d (2)  Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m  Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm  Bài Chứng minh hàm số sau đồng biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y  x  x  13 Trang b) y  x3  3x2  9x  c) y  2x 1 x2 HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 x2  2x  x  2mx  e) y  3x  sin(3x  1) f) y  x 1 xm Bài Chứng minh hàm số sau nghịch biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: d) y  a) y  5x  cot( x  1) b) y  cos x  x c) y  sin x  cos x  2 x Baøi Tìm m để hàm số sau đồng biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) nó: x mx a) y  x  3mx  (m  2) x  m b) y    2x  3 mx  xm Bài Tìm m để hàm số: d) y  e) y  x  2mx  xm c) y  xm x m f) y  x  2mx  3m2 x  2m a) y  x  x  mx  m nghịch biến khoảng có độ dài b) y  x  mx  2mx  3m  nghịch biến khoảng có độ dài baèng 3 c) y   x  (m  1) x  (m  3) x  đồng biến khoảng có độ dài Bài Tìm m để hàm số: a) y  x3  (m  1) x  (m  1) x  đồng biến khoảng (1; +) b) y  x  3(2m  1) x  (12m  5) x  đồng biến khoảng (2; +) c) y  mx  (m  2) đồng biến khoảng (1; +) xm d) y  xm đồng biến khoảng (–1; +) x m e) y  x  2mx  3m2 đồng biến khoaûng (1; +) x  2m   2 x  x  m f) y  nghịch biến khoảng   ;   2x 1   VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau:  Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc f(x0), với x  (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) f c) Nếu x0 điểm cực trị f điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị đồ thị hàm số f II Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm f (x0) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trị điểm mà đạo hàm đạo hàm III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x0 có đạo hàm (a; b)\{x0} a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 Trang HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f (x0) < f đạt cực đại x0 b) Nếu f (x0) > f đạt cực tiểu x0 VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí  Tìm f (x)  Tìm điểm xi (i = 1, 2, …) mà đạo hàm đạo hàm  Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trị xi Qui tắc 2: Dùng định lí  Tính f (x)  Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm xi (i = 1, 2, …)  Tính f (x) f (xi) (i = 1, 2, …) Neáu f (xi) < hàm số đạt cực đại xi Nếu f (xi) > hàm số đạt cực tiểu xi Bài Tìm cực trị hàm soá sau: a) y  x  x x4  x2   x  3x  g) y  x 2 d) y  b) y  x  x  x  e) y  x  x  3x  x  h) y  x 1 c) y   x  x  15 x x4 f) y    x2  2 x  x  15 i) y  x 3 Baøi Tìm cực trị hàm số sau: 4x2  2x 1 a) y  ( x  2)3 ( x  1)4 b) y  d) y  x x  e) y  x  x  2x2  x  c) y  3x  x  x2  x  f) y  x  x  x Bài Tìm cực trị hàm số sau: 3 x2 2x 1 a) y  x  b) y  d) y  x  x   ln x e) y  x  4sin x c) y  e x  4e  x f) y  x  ln(1  x ) VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f (x0) = x0 đạo hàm Để hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f (x) đổi dấu x qua x0 Chú ý:  Hàm số bậc ba y  ax  bx  cx  d có cực trị  Phương trình y = có hai nghiệm phân biệt Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: HTTP://THAYTOAN.NET Trang Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 + y( x0 )  ax03  bx02  cx0  d + y ( x0 )  Ax0  B , Ax + B phần dư pheùp chia y cho y ax  bx  c P( x ) = (aa 0) có cực trị  Phương trình y = có hai nghiệm a' x  b' Q( x ) b' phân biệt khác  a' Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: P ( x0 ) P '( x0 ) y ( x0 )  hoaëc y( x0 )  Q( x0 ) Q '( x0 )  Hàm số y   Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai  Khi giải tập loại thường ta sử dụng kiến thức khác nữa, định lí Vi–et Bài Chứng minh hàm số sau có cực đại, cực tiểu: a) y  x  3mx  3(m  1) x  m3 c) y  x  m(m2  1) x  m  xm b) y  x  3(2 m  1) x  m(m  1) x  d) y  x  mx  m  x  m 1 Bài Tìm m để hàm số: a) y  (m  2) x  x  mx  có cực đại, cực tiểu b) y  x  3(m  1) x  (2m2  3m  2) x  m(m  1) có cực đại, cực tiểu c) y  x  3mx  (m  1) x  đạt cực đại x = d) y   mx  2(m  2) x  m  có cực đại x  x  2mx  e) y  đạt cực tiểu x = xm x  (m  1) x  m  4m  f) y  có cực đại, cực tiểu x 1 x2  x  m g) y  có giá trị cực đại x 1 Bài Tìm m để hàm số sau cực trị: a) y  x  x  3mx  3m  c) y   x  mx  x 3 b) y  mx  3mx  (m  1) x  d) y  x  (m  1) x  m  4m  x 1 Bài Tìm a, b, c, d để hàm soá: a) y  ax  bx  cx  d đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = 27 b) y  ax  bx  c có đồ thị qua gốc toạ độ O đạt cực trị –9 x = Trang HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 x  bx  c đạt cực trị –6 taïi x = –1 x 1 ax  bx  ab d) y  đạt cực trị x = vaø x = bx  a c) y  e) y  ax  x  b đạt cực đại x = x2 1 Bài Tìm m để hàm số : a) y  x  2(m  1) x  (m  m  1) x  2(m2  1) đạt cực trị hai ñieåm x1, x2 cho: 1   (x  x ) x1 x2 2 x  mx  mx  đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1  x2  1 c) y  mx  (m  1) x  3(m  2) x  đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1  x2  3 b) y  Baøi Tìm m để đồ thị hàm số : a) y   x  mx  coù hai điểm cực trị A, B AB  900m 729 b) y  x  mx  x  m coù điểm cực trị A, B, C tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm Bài Tìm m để đồ thị hàm số : a) y  x  mx  12 x  13 có hai điểm cực trị cách truïc tung b) y  x  3mx  4m có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường phân giác thứ c) y  x  3mx  4m có điểm cực đại, cực tiểu phía đường thẳng (d): 3x  y   VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trị 1) Hàm số bậc ba y  f ( x )  ax  bx  cx  d  Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B  Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) điểm cực trị thì:  y1  f ( x1 )  Ax1  B  y  f ( x )  Ax  B  2  Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm đường thẳng y = Ax + B P( x ) ax  bx  c 2) Hàm số phân thức y  f ( x )   Q( x ) dx  e P '( x0 )  Giả sử (x0; y0) điểm cực trị y0  Q '( x0 )  Giả sử hàm số có cực đại cực tiểu phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị HTTP://THAYTOAN.NET Trang Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 y aáy laø: P '( x ) 2ax  b  Q '( x ) d Bài Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số : a) y  x  x  x  b) y  x  x x2  x  d) y  x 3 c) y  x  x  x  x2  x  e y x 2 Bài Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số: 2 a) y  x  3mx  3(m  1) x  m c) y  x  3(m  1) x  (2m  3m  2) x  m(m  1) x  mx  b) y  xm x  mx  m  d) y  x  m 1 Bài Tìm m để hàm số: a) y  x  3(m  1) x  6(m  2) x  coù đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x + b) y  x  3(m  1) x  6m(1  2m ) x có điểm cực đại, cực tiểu đồ thị nằm đường thẳng y = –4x c) y  x  mx  x  có đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – d) y  x  x  m x  m có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng (): y  x 2 III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Định nghóa: Giả sử hàm số f xác định miền D (D  R)  f ( x )  M , x  D a) M  max f ( x )   D  x  D : f ( x )  M  f ( x )  m, x  D b) m  f ( x )   D x  D : f ( x0 )  m Tính chất: a) Nếu hàm số f đồng biến [a; b] max f ( x )  f (b), f ( x )  f (a) [ a;b ] [ a;b ] b) Neáu hàm số f nghịch biến [a; b] max f ( x )  f (a), f ( x )  f (b) [ a;b ] [ a;b ] VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách lập bảng biến thiên Cách 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng Trang HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12  Tính f (x)  Xét dấu f (x) lập bảng biến thiên  Dựa vào bảng biến thiên để kết luận Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn [a; b]  Tính f (x)  Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm x1, x2, …, xn [a; b] (nếu có)  Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn)  So sánh giá trị vừa tính kết luận M  max f ( x )  max  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ) [a ; b ] m  f ( x )   f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ) [ a; b ] Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: a) y  x  x  b) y  x  x d) y  x  x  e) y  x 1 x2  2x  x2  x  1 ( x  0) h) y  x x2  x  Bài Tìm GTLN, GTNN hàm soá sau: g) y  x  c) y  x  x  f) y  i) y  x2  x  x2  x4  x2  x3  x a) y  x  x  12 x  treân [–1; 5] b) y  x  x treân [–2; 3] c) y  x  x  treân [–3; 2] ( x  0) d) y  x  x  treân [–2; 2] e) y  3x  treân [0; 2] x 3 f) y  x  7x  g) y  treân [0; 2] x2 h) y  x 1 treân [0; 4] x 1 1 x  x2 1 x  x2 treân [0; 1] i) y  100  x treân [–6; 8] k) y   x   x Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: 2sin x  a) y  b) y  c) y  2sin x  cos x  sin x  cos x  cos x  d) y  cos x  2sin x  e) y  sin3 x  cos3 x g) y  x  x   x  x  f) y  x2  x  x2  h) y   x  x  x  x  IV ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ Định nghóa: Điểm U  x ; f ( x )  đgl điểm uốn đồ thị hàm số y = f(x) tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho hai khoảng (a; x0) (x0; b) tiếp tuyến đồ thị điểm U nằm phía đồ thị khoảng tiếp tuyến nằm phía đồ thị Tính chất: HTTP://THAYTOAN.NET Trang Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97  Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai khoảng chứa điểm x0, f(x0) = f(x) đổi dấu x qua x0 U  x ; f ( x )  điểm uốn đồ thị hàm số  Đồ thị hàm số bậc ba y  ax  bx  cx  d (a  0) có điểm uốn tâm đối xứng đồ thị Bài Tìm điểm uốn đồ thị hàm số sau: a) y  x  x  x  b) y  x  x  x  c) y  x  x  x4 d) y   2x2  e) y  x  12 x  48 x  10 f) y  x  x  x  Baøi Tìm m, n để đồ thị hàm số sau có điểm uốn ra: x3  (m  1) x  (m  3) x  ; I(1; 3) 3 2  d) y  x  mx  nx  ; I  ; 3  3  a) y  x  x  3mx  3m  ; I(1; 2) b) y   c) y  mx  nx  ; I(1; 4) x3  3mx  ; I(1; 0) f) y  mx  3mx  ; I(–1; 2) m Bài Tìm m để đồ thị hàm số sau có điểm uoán: e) y   x5 4 x  mx   x  (4m  3) x  5x  b) y  x2  Bài Chứng minh đồ thị hàm số sau có điểm uốn thẳng haøng: a) y  a) y  d) y  g) y  2x 1 b) y  x2  x  2x 1 e) y  x2  x  3x h) y  x 1 c) y  x2  x f) y  x2  x  3x x  3x x2  x2  2x  x2  x  i) y  x2  3x  x2 1 Bài Tìm m, n để đồ thị hàm số: x3 x2  4x  a) y  x  x  x  mx  m  có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2) x3  x  mx  có điểm uốn đường thẳng y  x  3 c) y   x  mx  n coù điểm uốn Ox b) y   V ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ Định nghóa:  Đường thẳng x  x0 đgl đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  f ( x ) điều kiện sau thoả mãn: lim  f ( x )   ; lim  f ( x )   ; x  x0 x  x0 lim f ( x )   ; x  x0  lim f ( x )   x  x0   Đường thẳng y  y0 đgl đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f ( x ) Trang 10 HTTP://THAYTOAN.NET Đại số lớp 12  Jn   GV: Nguyễn Vaên Huy - 0968 64 65 97 x n sin x.dx n   Đặt u  x dv  sin x.dx n    Đặt u  x x dv  e dx  e) I n  x n e x dx e n   Đặt u  ln x dv  dx f) I n   ln n x.dx 1 g) I n   (1  x )n dx  Đặt x  cos t 2n  Đặt u  sin t dv  sin t.dt  h) I n   dx (1  x )n  Phân tích (1  x )n x2 Tính J n   (1  i) I n   x n  x dx  k) I n   dx n cos x dx  x )n  x2  (1  x )n x2 (1  x )n u  x  x Đặt  dv  dx  (1  x )n  dx n    Ñaët u  x dv   x dx   Phân tích n cos x  cos x cos n 1 x  Đặt t  cosn1 x III ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Diện tích hình phẳng  Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thị (C) hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b] – Trục hoành – Hai đường thẳng x = a, x = b b laø: S   f ( x ) dx (1) a  Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục đoạn [a; b] – Hai đường thẳng x = a, x = b b laø: S   f ( x )  g( x ) dx (2) a Chú ý: b  Nếu đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:  a b f ( x ) dx   f ( x )dx a  Trong công thức tính diện tích trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối hàm số dấu Trang 76 HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 tích phân Ta làm sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = f(x) – g(x) = đoạn [a; b] Giả sử tìm nghiệm c, d (c < d) Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b  c d b f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx a a c c =  d d f ( x )dx  a  b f ( x )dx  c  f ( x )dx d (vì đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)  Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thị x = g(y), x = h(y) (g h hai hàm số liên tục đoạn [c; d]) – Hai đường thẳng x = c, x = d d S   g( y )  h( y ) dy c Thể tích vật thể  Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm điểm a b S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x (a  x  b) Giả sử S(x) liên tục đoạn [a; b] b V   S ( x )dx Thể tích B là: a  Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường: (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh quay quanh truïc Ox: b V    f ( x )dx a Chú ý: Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Oy: (C): x = g(y), truïc tung, y = c, y = d d V    g2 ( y )dy là: c VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng Bài 25 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y  x  x  6, y  0, x  2, x  c) y   ln x , y  0, x  1, x  e x e) y  ln x , y  0, x  , x  e e HTTP://THAYTOAN.NET b) y  d) y  ln x , y  0, x  , x  e x e ln x x , y  0, x  e, x  f) y  x , y  0, x  2, x  Trang 77 Đại số lớp 12 g) y  x GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 , y  0, x  0, x  h) y  lg x , y  0, x  , x  10 10 1 x4 Baøi 26 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: 3 x  a) y  , y  0, x  b) y  x , y   x , y  x 1 c) y  e x , y  2, x  d) y  x , x  y   0, y  e) y  x , y  x  x  1, y  f) y  x  x  5, y  2 x  4, y  x  11 g) y  x , y  x2 27 ,y 27 x h) y  x , y  x  x  4, y  i) y  x , x  y   0, y  k) y   x  x  5, y   x  x  3, y  x  15 Baøi 27 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y  x , y  , y  0, x  e b) y  sin x  cos x , y  3, x  0, x   x c) y  x 2 , y  0, y   x , x  d) y  x  x , y  x  x  6, x  0, x  e) y  x, y  0, y   x f) y  x  x  2, y  x  x  5, y  g) y  x , y   x , y  h) y  a) y   x , y  x  x b) y  x  x  , y  x  2 x , y  e x , x  e Bài 28 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: c) y  x , y   x2  d) y  1  x2 ,y  x2 e) y  x , y   x f) y  x  x , y   x  x x2 g) y  ,y 1 x2 h) y  x   , y  x i) y  x  x , y  x  k) y  x  2, y   x Bài 29 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y  x , x   y b) y  x   0, x  y   c) y  y  x  0, x  y  d) y  x  1, y  x  e) y  x , y  x , y  0, y  f) y  ( x  1)2 , x  sin y g) y  x , x  y  16 h) y  (4  x )3 , y  x i) x  y   0, x  y   k) x  y  8, y  x Bài 30 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y  x.e x ; y  0; x  1; x  b) y  x.ln x; y  0; x  1; x  e c) y  e x ; y  e x ; x  d) y  x 2 ; y  0; x  0; y   x e) y  ( x  1)5 ; y  e x ; x  1 f) y  ln x , y  0, x  , x  e e g) y  sin x  cos2 x , y  0, x  0, x   h) y  x  sin x; y  x; x  0; x  2 i) y  x  sin x; y  ; x  0; x   k) y  sin x  sin x  1, y  0, x  0, x   Bài 31 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: Trang 78 HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 a) (C ) : y  x  Đại số lớp 12 , tiệm cận xiên (C), x = vaø x = x2 x2  x  b) (C ) : y  , y  , tiệm cận xiên (C), x = –1 vaø x = x2 c) (C ) : y  x  x  x  3, y  tiếp tuyến với (C) điểm có hoành độ x = d) (C ) : y  x  x  2, x  1 tiếp tuyến cới (C) điểm có hoành độ x = –2 e) (C ) : y  x  x tiếp tuyến với (C) O(0 ; 0) A(3; 3) (C) VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Ox:  a) y  sin x , y  0, x  0, x  b) y  x  x , y  0, x  0, x   c) y  sin x  cos6 x , y  0, x  0, x  d) y  x , x  e) y  x  1, y  0, x  1, x  g) y  x2 x3 ,y f) y  x , y  x h) y   x  x , y  x  i) y  sin x , y  cos x , x    ,x k) ( x  2)2  y  9, y  l) y  x  x  6, y   x  x  m) y  ln x, y  0, x  Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Oy: a) x  , y  1, y  b) y  x , y  y c) y  e x , x  0, y  e d) y  x , y  1, y  Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh: i) truïc Ox ii) truïc Oy a) y  ( x  2)2 , y  c) y  , y  0, x  0, x  x 1 e) y  x.ln x, y  0, x  1, x  e b) y  x , y  x , y  d) y  x  x , y  f) y  x ( x  0), y  3 x  10, y  g) y  x , y  x h)  x –   y  1  x2 y2 i)  1 k) y  x  1, y  2, y  0, x  l) x  y  0, y  2, x  m) y  x , y  0, x  IV ÔN TẬP TÍCH PHÂN Bài Tính tích phân sau: HTTP://THAYTOAN.NET Trang 79 Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97  x  x dx a) b) d) k) x  x l) dx f) i) 1 x  x  2x  5x  x3  x2  x   x2  xdx 1 dx  dx    x  dx  ( x   x  )dx h) x2  3 ( x  1) 1 x  2x e) xdx   c) dx  x 1    x   dx  1  g) x7 m) x2 dx xdx  ( x  1) Bài Tính tích phân sau: a)  1 d) x x 1 x5  2x3  x2  b) dx dx e)   2 x  2x o)  x x p)  x dx x2  x 1 7/3 q) 3 ( x  1)2 s)  x 1  x  x 1  10 dx x 3  0  x dx m) x  1x dx  dx 1 x5  i) l)  x x  dx  1  x x 3dx x4 xdx  f) x54 h) 2 dx 1 r) c)  x  x dx g)  x  x dx k)  x  x dx 3x  dx dx dx t)  x  x dx x  x 1 Bài Tính tích phân sau:  /4 a)  /2 d) e) cos x  4sin x l) /2 r)  /2 tan x   sin 2004 x sin 2004 x  cos2004 x f)  cos3 x dx sin x  p)   dx i) cos5 xdx  cos /2  /4 sin x dx  cos x q)  /3 sin xdx x sin x  cos x cos 2 x sin x  m) /2 s)  cos2 x  sin x dx cos x  /2 dx sin x cos x dx  cos x /3 /2 x tan x dx /2    sin x sin x sin x dx /4 cos x   3cos x /2 c) dx cos x (sin x  cos4 x )dx h) /4 o) sin x  sin x /2 dx k)   b) sin x  /2 g) /2  2sin x dx  sin x t)  x dx sin x dx  cos x  sin x dx  sin x x sin xdx sin x cos2 x Bài Tính tích phân sau: Trang 80 HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 a)  x ln( x  5)dx  e (esin x  cos x ) cos x dx e) x 1 ln xdx x ( x  2)  l) dx   (4 x e p)   ln x x  ln x f)  x ln x dx 3 1 i) 2x e dx s)  dx  1 e  x  1)e dx m)  e3 x sin x dx e  2e x 0 r) ln3 e x x 2e x /2 o) dx  h)  ( x  1)e x dx   e k) c)  ( x  2)e2 x dx ln g) b)  ln( x  x)dx /2 d) Đại số lớp 12 ln(1  x ) x2 ln x x2 x dx q)  x ln(1  x )dx dx  ln x ln x dx x e3 t)  ln2 x x ln x  dx Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: , y  0, x  2, x  2 x a) y  x  x  1, y  0, x  0, x  1 b) y  c) y   x  x  , y  4 1 e) y  x   , y  0, x  2, x  x 1 d) y  e x , y  2, x  f) y  x  x , y   x  x x2  x 2x 1 , y  0, x  h) y  , y0 x 1 x 1 x  3x  m) y  , tiệm cận xiên, x  0, x  x 1 g) y  x2  x  n) y  , y  0, tiếp tuyến vẽ từ gốc toạ độ x 1 o) y  x  x  x  , tiếp tuyến giao điểm (C) với trục tung x  x , tiếp tuyến điểm M thuộc đồ thị có hoành độ x = Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường sau quanh trục: p) y  a) y  x , y  0, x  3; Ox b) y  x ln x , y  0, x  1, x  e; Ox c) y  xe x , y  0, x  1; Ox d) y   x , y  x  2; Ox e) y   x , x  0; Oy f) x  ye y , x  0, y  1; Oy CHƯƠNG IV I SỐ PHỨC HTTP://THAYTOAN.NET Trang 81 Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 Khái niệm số phức  Tập hợp số phức: C  Số phức (dạng đại soá) : z  a  bi (a, b  R , a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i2 = –1)  z số thực  phần ảo z (b = 0) z ảo  phần thực z (a = 0) Số vừa số thực vừa số ảo a  a '  Hai số phức nhau: a  bi  a’  b’i   (a, b, a ', b '  R ) b  b ' Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b R) biểu diễn điểm M(a; b) hay  u  (a; b) mp(Oxy) (mp phức) Cộng trừ số phức:   a  bi    a’  b’i    a  a’   b  b’ i   a  bi    a’  b’i    a  a’   b  b’ i  Số đối z = a + bi laø –z = –a – bi        u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' u  u ' biểu diễn z + z’ u  u ' biểu diễn z – z’ Nhân hai số phức :    a  bi  a ' b ' i    aa’– bb’   ab’  ba’ i  k (a  bi )  ka  kbi (k  R) Số phức liên hợp số phức z = a + bi z  a  bi z  z  z  z ; z  z '  z  z ' ; z.z '  z.z ';    ;  z2  z2  z số thực  z  z ; z số ảo  z   z z.z  a2  b2 Môđun số phức : z = a + bi    z  a2  b2  zz  OM  z  0, z  C , z 0 z0  z.z '  z z '  Chia hai số phức:  z 1  z (z  0) z Căn bậc hai số phức: z z  z' z'   z  z'  z  z'  z  z' z' z '.z z '.z  z ' z 1   z z.z z  z'  w  z '  wz z   z  x  yi bậc hai số phức w  a  bi  z2  w   x  y  a  xy  b  w = có bậc hai z =  w  có hai bậc hai đối  Hai bậc hai a >  a  Hai bậc hai a <   a i Trang 82 HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 Phương trình baäc hai Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trước, A  )   B  AC B   , (  bậc hai cuûa ) 2A B    : (*) có nghiệm kép: z1  z2   2A Chú ý: Nếu z0  C nghiệm (*) z0 nghiệm (*)    : (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2  10 Dạng lượng giác số phức:  z  r (cos   i sin ) (r > 0) dạng lương giác z = a + bi (z  0)  r  a2  b2  a   cos   r  b sin     r   acgumen z,   (Ox, OM )  z   z  cos   i sin  (  R ) 11 Nhaân, chia số phức dạng lượng giác Cho z  r (cos   i sin ) , z '  r '(cos  ' i sin  ') :  z.z '  rr '. cos(   ')  i sin(   ')  z r   cos(   ')  i sin(   ') z' r ' 12 Công thức Moa–vrơ: n   r (cos   i sin )  r n (cos n  i sin n) , ( n  N*) n   cos   i sin    cos n  i sin n 13 Caên bậc hai số phức dạng lượng giác:  Số phức z  r (cos   i sin  ) (r > 0) có hai bậc hai là:     r  cos  i sin   2         vaø  r  cos  i sin   r  cos      i sin       2  2   2  Mở rộng: Số phức z  r (cos   i sin  ) (r > 0) có n bậc n là:  n    k 2   k 2 r  cos  i sin n n    , k  0,1, , n   VAÁN ĐỀ 1: Thực phép toán cộng – trừ – nhân – chia Áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, bậc hai số phức Chú ý tính chất giao hoán, kết hợp phép toán cộng nhân Bài 32 Tìm phần thực phần ảo số phức sau: a) (4 – i)  (2  3i) –(5  i) HTTP://THAYTOAN.NET 1  b)  i    2i  3  2  c)   3i     i  3  Trang 83 Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97   3      d)   i      2i   i e)   i      i      4    3 i i g)  h) 1 i i  2i ai a m k) l) i m ai a ai b 1 i o) p) 2i i a Bài 33 Thực phép toaùn sau: a) (1  i )2  (1 – i )2 1  d)   3i  2  b) (2  i )3  (3  i )3 e) (1  2i )  (1  i ) (3  2i )  (2  i ) f) (2  3i)(3  i ) i) 1 i 1 i m) 3 i (1  2i )(1  i ) q)  3i  5i c) (3  4i )2 f) (2  i )6 g) (1  i )3  (2i )3 h) (1  i)100 i) (3  3i)5 Bài 34 Cho số phức z  x  yi Tìm phần thực phần ảo số phức sau: z i iz  Bài 35 Phân tích thành nhân tử, với a, b, c  R: a) z2  z  4i b) a) a2  b) a2  c) 4a  9b2 d) 3a2  5b g) a3  h) a  a2  b)  5i c) 1  6i d) 5  12i f)  24i g) 40  42i h) 11  3.i k) 5  12i l)  6i m) 33  56i e) a  16 f) a3  27 Bài 36 Tìm bậc hai số phức: a) 1  3i e)   i 2 i)  i VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình tập số phức Giả sử z = x + yi Giải phương trình ẩn z tìm x, y thoả mãn phương trình Bài Giải phương trình sau (ẩn z): a) z  z  b) z  z  c) z  z   4i e) z  z  1  8i d) z  z  f) (4  5i)z   i 2i   3i z 1 i 2i  zi g)   1  zi h) i) z  3z   12i k) (3  2i )2 ( z  i )  3i  1 l)  (2  i ) z   i   iz    2i     m) z   i    i   o)  5i   4i z q) ( z2  9)( z2  z  1)  Trang 84 p) ( z  3i )( z2  z  5)  r) z3  3z2  5z  3i   HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 Bài Giải phương trình sau (ẩn x): a) x  3.x   b) x  3.x   c) x  (3  i) x   3i  e) 3x  x   g) 3x  24  d) 3i.x  x   i  f) i.x  2i.x   h) x  16  i) ( x  2)5   k) x   l) x  2(1  i) x   2i  m) x  2(2  i) x  18  4i  o) ix  x   i  p) x  (2  3i ) x  Bài Tìm hai số biết tổng tích chúng là: a)  3i vaø   3i b) 2i   4i Bài Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận  làm nghiệm: a)    4i b)    i d)   2  i c)    5i e)    i f)   i 5i g)   (2  i )(3  i ) h)   i 51  2i 80  3i 45  4i 38 i)   2i Bài Tìm tham số m để phương trình sau có hai nghiệm z1, z2 thoả mãn điều kiện ra: 2 a) z2  mz  m   0, ñk : z1  z2  z1z2  3 b) z2  3mz  5i  0, ñk : z1  z2  18 2 c) x  mx  3i  0, ñk : z1  z2  Baøi Cho z1 , z2 hai nghiệm phương trình 1  i  z2  (3  2i )z   i  Tính giá trị biểu thức sau: 2 a) A  z1  z2 2 b) B  z1 z2  z1z2 c) C  z1 z2  z2 z1 Baøi Giải hệ phương trình sau:  z1  z   i a)  2  z1  z   2i  z1 z  5  5.i b)  2  z1  z  5  2.i  z13  z2   c)   z1 ( z2 )    z1  z2  z3   d)  z1  z2  z3   z z z    z  12  z  8i   e)   z 4 1  z 8   z  2i  z  h)   z  i  z 1   z 1  z i 1  f)   z  3i   z i    i) z1  z2  4z1z2  z1  z2  2i  z2  z2   2i  g)  z1  z2   i  Bài Giải hệ phương trình sau: x  y   i  x  y   2i a)  b)  2 x  y   i  x  y   8i 1 1  x  y2  6     i  d)  x y 2 e)  1  x  y2   2i x  y    x  y   i g)  2  x  y   2i HTTP://THAYTOAN.NET x  y  c)   xy   4i  x  y   2i  f)  1 17    i  x y 26 26  x  y  h)  3  x  y  2  3i Trang 85 Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm Giả sử số phức z = x + yi biểu diển điểm M(x; y) Tìm tập hợp điểm M tìm hệ thức x y Bài Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn điều kiện sau: a) z  z   b) z  z   i  c) z  z  2i  z  i d) 2i.z   z  e) 2i  z  z  f) z   g) z  i  z   3i h) k)  z  i  z l) z   z  3i 1 zi i) z   i  m)  z  i  Bài Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn điều kiện sau: a) z  2i số thực b) z   i số ảo c) z.z  VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác số phức Sử dụng phép toán số phức dạng lượng giác Bài Tìm acgumen số phức sau: a)   3.i b) – 4i     d) cos  i.sin e)  sin  i cos 4 8 Bài Thực phép tính sau: a)  cos 20o  i sin 20o  cos 25o  i sin 25o  c)  cos120o  i sin120o  cos 45o  i sin 45o  e) g)  cos18o  i sin18o  cos 72o  i sin 72o  (cos 45  i sin 45 ) (cos15  i sin 15 ) c)  3.i f) (1  i )(1  i )       b)  cos  i.sin   cos  i.sin   6  4       d)  cos  i sin   cos  i sin  6  4    cos85  i sin 85 f) cos 40  i sin 40 2(cos 45  i sin 45 ) h) 3(cos15  i sin15 ) 2 2  2 2   cos  i sin  i sin )  3   3 i) k)      2(cos  i sin )  cos  i sin  2 2  Bài Viết dạng lượng giác số phức sau: a)  i b)  i c) (1  i )(1  i ) d) 2.i.(  i) (cos 1 i 1 i f)  2i i)  i k) i e) g) sin   i cos  h) l)  0i m) tan i 5 i Bài Viết dạng đại số số phức sau: Trang 86 HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12    b)  cos  i sin  6  3i e) (1  i)(1  2i) a) cos 45o  i sin 45o d) (2  i)6 1 i g) 2i  h)  1  i   3 3  k)  i sin  cos  4  2 1 i  l)    1 i  100 c)  cos120o  i sin120o  f) i 1 i  i) (2  2i )    1 i  60 40     cos  i sin  m)  4 17   i Bài Tính: a)  cos12o  i sin12o  d)   cos30  i sin 30     16 b) 1  i  21   3i   g)    2i      k) (cos  i sin )i 5.(1  3i )7 3 c) (  i ) e) (cos15o  i sin15o )5 f) (1  i)2008  (1  i)2008 12 2008 1   i  1  i 3 h)  i)     i  2  1 l) z2008  , bieát z   z z2008 Bài Chứng minh: a) sin 5t  16sin5 t  20sin3 t  5sin t b) cos 5t  16 cos5 t  20 cos3 t  cos t c) sin 3t  cos2 t  sin3 t d) cos 3t  cos3 t  cos t II OÂN TẬP SỐ PHỨC Bài Thực phép tính sau:  1  i    i  b)         a) (2  i )(3  2i )(5  4i ) 16 1 i  1 i  c)      1 i  1 i  d)  7i  8i   3i  3i e) (2  4i)(5  2i)  (3  4i )(6  i ) f)  i  i2  i3   i 2009 g) i 2000  i1999  i 201  i82  i 47 h)  i  i   i n , (n  1) i) i.i i i 2000 k) i 5 (i )7  (i)13  i 100  (i)94 Bài Cho số phức z1   2i, z2  2  3i, z3   i Tính: a) z1  z2  z3 b) z1z2  z2 z3  z3 z1 d) z12  z2  z32 e) z1 z2 z3   z2 z3 z1 c) z1z2 z3 f) z12  z2 z22  z32 Bài Rút gọn biểu thức sau: a) A  z4  iz3  (1  2i )z2  3z   3i, với z   3i b) B  (z  z2  z3 )(2  z  z2 ), với z  HTTP://THAYTOAN.NET 1  i Trang 87 Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 Bài Tìm số thực x, y cho: a) (1  2i) x  (1  y)i   i b) x 3 y 3  i 3i 3i x  (3 xy  y )i Bài Tìm bậc hai số phức sau: a)  6i b)  4i c)  i c) (4  3i ) x  (3  2i ) xy  y  1 i  e)    1 i  i) 1 i  f)    i    i k)  2  i 2 g) l) 2 1  i  i 1 i 2 Baøi Tìm bậc ba số phức sau: a) i b) –27 c)  2i Baøi Tìm bậc bốn số phức sau: a)  i 12 b)  i Bài Giải phương trình sau: a) z3  125  c) 2i b) z  16  d)  24i h) i, –i m) 1  1 i 1 i d) 18  6i d) 7  24i c) z3  64i  d) z3  27i  e) z7  2iz4  iz3   f) z6  iz3  i   g) z10  (2  i )z5  2i  Baøi Gọi u1; u2 hai bậc hai z1   4i v1; v2 hai bậc hai z2   4i Tính u1  u2  v1  v2 ? Baøi 10 Giải phương trình sau tập số phức: a) z2   b) z2  z   c) z2  z  10  d) z2  5z   e) 2 z2  3z   f) 3z2  z   g) ( z  z )( z  z )  h) z2  z   i) z2  z  k) z  z   3i l)  z  2i  +2  z  2i    m) z3  z 2 n) 4z2  z  o) iz2  (1  2i )z   Bài 11 Giải phương trình sau tập số phức: p) (1  i )z2   11i   4z  i  4z  i a)  6   5 zi  zi  b)  z  5i  z    z2  z    c)  z2  z    z2  z   16  d) z3  1  i  z2    i  z  3i  e)  z  i   z2   z     f) z2  2iz  2i   g) z2  (5  14i )z  2(12  5i)  h) z2  80 z  4099  100i  i) ( z   i)2  6( z   i )  13  k) z2  (cos   i sin )z  i cos  sin   Bài 12 Giải phương trình sau tập số phức: a) x  (3  4i) x  5i   b) x  (1  i ) x   i  c) x  x   d) x  x   e) x   Bài 13 Giải phương trình sau biết chúng có nghiệm aûo: a) z3  iz2  2iz   b) z3  (i  3)z2  (4  4i )z   4i  Baøi 14 Tìm m để phương trình sau:  z  i   z2  2mz  m  2m   Trang 88 HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 a) Chỉ có nghiệm phức c) Có ba nghiệm phức Đại số lớp 12 b) Chỉ có nghiệm thực Bài 15 Tìm m để phương trình sau: z3  (3  i )z2  3z  (m  i )  có nghiệm thực Bài 16 Tìm tất số phức z cho ( z  2)( z  i ) số thực Bài 17 Giải phương trình trùng phương: a) z  8(1  i )z2  63  16i  b) z  24(1  i )z2  308  144i  c) z  6(1  i )z2   6i  Baøi 18 Cho z1 , z2 hai nghiệm phương trình: z2  1  i  z   3i  Tính giá trị biểu thức sau: 2 a) z1  z2 2 b) z1 z2  z1z2 3 c) z1  z2 1 1 2 2 3 d) z1     z2    e) z2 z1  z1z2 z  z   z1   z2  z1 z2  z2 z1 f) Baøi 19 Cho z1 , z2 laø hai nghiệm phương trình: x  x   Tính giá trị biểu thức sau: 2016 2016 a) x1  x2 2015 2015 b) x1  x2 Bài 20 Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức thoả mãn hệ thức sau: a) z 3 z i b) z2  z  c) z  Baøi 21 Hãy tính tổng S   z  z2  z3  z n 1 biết z  cos z 2 2  i sin n n Bài 22 Viết dạng lượng giác số phức sau: a) i  i3  i  i  b) (1  i )(2  i) c)     e) 3  cos  i sin   6  g) sin   i(1  cos  ),    Bài 23 Tìm môđun acgumen số phức sau: d)  sin   i cos ,    a) 2  2i  (1  i)6  (1  i)6 b) ( 1  i ) 10  n c) 1  i   1  i  n   2i   i     d)  sin  i cos e) cos  i sin f) 2  3i 8 4   cos  i sin   g)  sin   i cos ,    h) , 0  i)  3i  cos   i sin  Bài 24 Tìm môđun acgumen số phức sau: a) 2  2i  (1  i)6 2  2i  (1  i)6   f) cot   i,      2i 1 i b) ( 1  i ) 10   i    2i   2i  Bài 25 Chứng minh biểu thức sau có giá trị thực: 2 7 a)   i     i  HTTP://THAYTOAN.NET n  n c) 1  i   1  i   19  7i   20  5i  b)       i    6i  n n Trang 89 Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97  1  i   1  i  c)         i  i  e)          1  i   1  i  d)         Tìm số phức z có môđun nhỏ Bài 27 Xét điểm A, B, C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức sau: Bài 26 Trong số phức z thoả mãn điều kiện z   3i  4i  6i ; (1  i)(1  2i); i 1 3i a) Chứng minh ABC tam giác vuông cân b) Tìm số phức biểu diễn điểm D cho tứ giác ABCD hình vuông Bài 28 Giải phương trình sau, biết chúng có nghiệm ảo: a) z3  (2  2i)z2  (5  4i )z  10i  b) z3  (1  i)z2  (i  1)z  i  c) z3  (4  5i )z2  (8  20i )z  40i  Baøi 29 Cho đa thức P ( z)  z3  (3i  6)z2  (10  18i)z  30i a) Tính P(3i ) b) Giải phương trình P( z)   z 1  Bài 30 Giải phương trình z     , biết z   4i nghiệm phương trình z7  Bài 31 Giải phương trình sau: a) z  z3  z2  z   b) z  z3  z2  z   c) z  1   z3     z2  1   z   d) z  z3  z2  z  15  e) z6  z5  13z  14 z3  13z2  z   Baøi 32 Giải phương trình sau: 2 2 a) ( z  3z  6)  z( z  3z  6)  3z   zi  b)   8  z i  2 c) ( z  z  1)  z ( z  z  1)  5z   zi   zi   zi  d)       1   zi   zi  zi  Lớp Học Thêm Toán Giáo viên: Nguyễn Văn Huy Địa chỉ: 66 – Đặng Đức Thuật – KP6 – Phường Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai (cạnh trường THPT Trấn Biên) Điện thoại: 0968 64 65 97 Website: http://thaytoan.net Face: http://facebook.com/hocthemtoan Fanpage: http://facebook.com/hocthemtoan.vn ĐĂNG KÝ HỌC: 0933 619 841 Trang 90 HTTP://THAYTOAN.NET ... N , với số a, b, c lập thành cấp số nhân III HÀM SỐ LUỸ THỪA HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Trang 40 HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 Khái niệm a) Hàm số luỹ thừa... hàm số: y  (1) (m tham số) x 1 Trang 34 HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) ứng với m = –1 b) Tính diện tích. .. x2  x  m  x  2mx  m  Trang 11 Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 Bài Chứng minh tích khoảng cách từ điểm đồ thị hàm số đến hai tiệm cận số: x2  x  x2  5x  a) y  b) y 