Bài 8. Tiếp tuyến 71 BÀI 8. TIẾP TUYẾN §8.1. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TIẾP TUYẾN A. TIẾP TUYẾN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG PHẲNG Cho đồ thị (C): y = f ( x ). Gọi M 0 , M là 2 điểm phân biệt và cùng thuộc đồ thị (C). Khi đó nếu cố định điểm M 0 và cho điểm M chuyển động trên (C) đều gần điểm M 0 thì vị trí giới hạn của cát tuyến (M 0 M) là tiếp tuyến (M 0 T) tại điểm M 0 . ( ) 0 0 0 M M lim M M (M T) → = TiÕp tuyÕn B. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TIẾP TUYẾN I. BÀI TOÁN 1: Viết PTTT tại 1 điểm thuộc đồ thị 1. Bài toán: Cho đồ thị (C): y = f ( x ) và điểm 0 0 0 M ( , ) x y ∈ (C). Viết PTTT của (C) tại điểm 0 0 0 M ( , ) x y 2. Phương pháp:  Từ ý nghĩa hình học của đạo hàm suy ra phương trình tiếp tuyến tại 0 0 0 M ( , ) x y của (C) là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 y y f x x x y f x x x f x ′ ′ − = − ⇔ = − + II. BÀI TOÁN 2: Viết PTTT theo hệ số góc cho trước 1. Bài toán: Cho (C): y = f ( x ) và số k ∈ » . Viết PTTT của (C) có hệ số góc k . 2. Phương pháp: 2.1. Phương pháp tìm tiếp điểm  Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với (C): y = f ( x ) tại điểm có hoành độ x i ⇒ ( ) i f x k ′ = ⇒ i x là nghiệm của ( ) f x k ′ =  Giải phương trình ( ) f x k ′ = ⇒ nghiệm x ∈ { x 0 , x 1 ,… x i ,… x n } PTTT tại x = x i là: ( ) ( ) i i y k x x f x = − + 0 M M 1 M M 2 T T 0 M 0 f(x ) 0 x O x y (C): y=f(x) x x 0 1 x i x n x Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 72 2.2. Phương pháp điều kiện nghiệm kép (chưa được dùng trong khi thi) Xét đường thẳng với hệ số góc k có phương trình y = kx + m (ẩn m ) tiếp xúc (C): y = f ( x ) ⇔ phương trình ( ) kx m f x + = có nghiệm bội (nghiệm kép) ⇔ … ⇔ nói chung: ( ) ( ) 2 0 ux v m x w m + + = có nghiệm kép ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 4 . 0 g m v m u w m ∆ = = − = . Giải phương trình ( ) 0 g m = ⇒ các giá trị của m ⇒ PTTT. c) Chú ý: Vì điều kiện ( ) ( ) 1 : C y f x = và ( ) ( ) 2 : C y g x = tiếp xúc nhau là hệ điều kiện ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x  =   ′ ′ =   có nghiệm chứ không phải là điều kiện ( ) ( ) f x g x = có nghiệm kép nên cách 2 chỉ sử dụng được cho các dạng hàm số f ( x ) mà phương trình tương giao ( ) kx m f x + = có thể biến đổi tương đương với 1 phương trình bậc 2. 3. Các dạng biểu diễn của hệ số góc k a ) Dạng trực tiếp: 1 1 1, 2, , , 2, 3, 2 3 k = ± ± ± ± ± ± b) Tiếp tuyến tạo với chiều dương O x góc α ⇒ k = tg α với { } 15 ,30 , 45 ,60 ,75 ,105 ,120 ,135 ,150 ,165 α = ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° (*) c) Tiếp tuyến  với đường thẳng ( ) : y ax b ∆ = + ⇒ k = a d) Tiếp tuyến ⊥ với đường thẳng ( ) : y ax b ∆ = + ⇒ 1 k a − = với a ≠ 0 e ) Tiếp tuyến tạo với ( ) : y ax b ∆ = + góc α ⇒ tg 1 k a ka − = α + với (*) α ∈ III. BÀI TOÁN 3: Viết PTTT đi qua 1 điểm cho trước 1. Bài toán: Cho đồ thị (C): y = f ( x ) và điểm A( a , b ) cho trước. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A( a , b ) đến đồ thị ( ) ( ) : C y f x = 2. Phương pháp: Bài 8. Tiếp tuyến 73 2.1. Phương pháp tìm tiếp điểm: • Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A( a , b ) tiếp xúc (C): y = f ( x ) tại tiếp điểm có hoành độ x i suy ra PTTT có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) : i i i t y f x x x f x ′ = − + Do ( ) ( ) , A a b t ∈ nên ( ) ( ) ( ) i i i b f x a x f x ′ = − + ⇒ i x x = là nghiệm của phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 b f x a x f x f x x a b f x ′ ′ = − + ⇔ − + − = (*) Giải phương trình (*) ⇒ nghiệm x ∈ { x 0 , x 1 ,… x i ,… x n }. Phương trình tiếp tuyến tại x = x i là: ( ) ( ) i i y k x x f x = − + • Cách 2: Đường thẳng đi qua A( a , b ) với hệ số góc k có PT ( ) y k x a b = − + tiếp xúc với đồ thị (C): y = f ( x ) ⇔ Hệ phương trình ( ) ( ) ( ) f x k x a b f x k  = − +   ′ =   có nghiệm ⇒ ( ) ( ) ( ) f x f x x a b ′ = − + ⇔ ( ) ( ) ( ) 0 f x x a b f x ′ − + − = (*) Giải phương trình (*) ⇒ nghiệm x ∈ { x 0 , x 1 ,… x i ,… x n } Phương trình tiếp tuyến tại x = x i là: ( ) ( ) ( ) i i i y f x x x f x ′ = − + 2.2. Phương pháp điều kiện nghiệm kép (chưa được dùng khi đi thi) • Cách 3: Đường thẳng đi qua A( a , b ) với hệ số góc k có phương trình ( ) y k x a b = − + tiếp xúc (C): y = f ( x ) ⇔ phương trình ( ) ( ) k x a b f x − + = có nghiệm bội (nghiệm kép) ⇔ … ⇔ nói chung: ( ) ( ) ( ) 2 0 u k x v k x w k + + = có nghiệm kép ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 và 4 . 0 u k g k v k u k w k ≠ ∆ = = − = ⇔ ( ) ( ) 2 0 . . 0 u k g k k k  ≠   = α + β + γ =   (**) Hệ sinh ra hệ số góc Giải hoặc biện luận hệ điều kiện (**) suy ra các giá trị của k hoặc số lượng của k. Từ đó suy ra PTTT hoặc số lượng các tiếp tuyến đi qua A( a , b ). A(a,b) (C): y=f(x) (C): y=f(x) A(a,b) Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 74 §8.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA VỀ TIẾP TUYẾN I. DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI 1 ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ Bài 1. Cho hàm số ( ) ( ) 3 ( ) : 1 1 m C y f x x m x = = + − + . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C m ) tại giao điểm của (C m ) với O y . Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn 2 trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 8. Giải: ( ) 2 3 y x x m ′ = − . Gọi ( ) O m C y A ≡ ∩ ⇒ 0 A x = ; ( ) 1 ; 0 A y m y m ′ = − = − Tiếp tuyến của (C m ) tại A là: ( ) ( ) ( ) ( ) : 0 0 0 1 t y y x y mx m ′ = − + = − + − . Xét tương giao: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 O 0,1 ; O , 0 m t y A m t x B m − ≡ − ≡∩ ∩ 2 1 1 . 8 1 16 2 2 OAB A B S OA OB y x m m ∆ ⇒ = = = ⇔ − = 2 2 2 2 2 1 16 18 1 0 9 4 5 2 1 16 14 1 0 7 4 3 m m m m m m m m m m m m    − + = − + = = ±    ⇔ ⇔ ⇔       − + = − + + = = − ±    Bài 2. Cho ( ) ( ) 3 2 : 3 1 m C y f x x x mx = = + + + . a. Tìm m để (C m ) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E. b. Tìm m để các tiếp tuyến với (C m ) tại D và E vuông góc với nhau. Giải: Đạo hàm: ( ) 2 3 6 y x x x m ′ = + + a. ( ) ( ) 1 m C y = ∩ : ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 0 C 0,1 3 1 1 3 0 3 0 x x x mx x x x m g x x x m  = ⇒ + + + = ⇔ + + = ⇔  = + + =   §iÓm Yêu cầu bài toán ⇔ x D , x E là 2 nghiệm phân biệt khác 0 của g ( x ) = 0 ⇔ ( ) 9 9 4 0 9 0 4 4 0 0 0 m m m g m m ∆ = − >   <   ⇔ ⇔ ≠ <   = ≠ ≠     (*) ⇒ D E D E ; 3 x x m x x + = = − b. Với điều kiện 9 0 4 m ≠ < thì các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 D E D D E E 1 3 6 3 6 y x y x x x m x x m ′ ′ − = = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D D E E D E 3 3 2 3 3 2 3 2 3 2 g x x m g x x m x m x m     = − + − + = + +     ( ) ( ) 2 2 2 D E D E 9 6 4 9 6 . 3 4 4 9 x x m x x m m m m m m = + + + = + − + = − ⇔ 2 9 65 4 9 1 0 8 m m m ± − + = ⇔ = (thoả mãn điều kiện (*) ) Bài 8. Tiếp tuyến 75 Bài 3. Cho hàm số ( ) 3 2 ( ) : 3 2 C y f x x x = = − + a) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua ( ) 23 , 2 9 A − đến (C) b) Tìm trên đường thẳng y = − 2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến ⊥ nhau Giải: Đạo hàm: ( ) 2 3 6 3 2 y x x x x ′ = − = − Đường thẳng đi qua ( ) 23 , 2 9 A − với hệ số góc k có phương trình ( ) 23 2 9 y k x = − − tiếp xúc với ( ) ( ) : C y f x = ⇔ Hệ ( ) ( ) ( ) 23 2 9 f x k x f x k  = − −    ′ =  có nghiệm ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 23 23 2 3 2 3 2 2 9 9 f x f x x x x x x x ′ = − − ⇔ − + = − − − ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 23 2 2 2 3 2 2 3 10 3 0 9 3 x x x x x x x x x − − − = − − ⇔ − − + = ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 23 2 : 2 2 2 9 23 3 : 3 2 9 25 9 23 5 61 1 1 : 2 3 3 9 3 27 x x t y y x y x x t y y x y x x x t y y x y x  ′ = = ⇒ = − − ⇔ = −   ′ = = ⇒ = − − ⇔ = −   −  ′ = = ⇒ = − − ⇔ = +   TiÕp tuyÕn TiÕp tuyÕn TiÕp tuyÕn b) Lấy bất kì M( m , − 2) ∈ đường thẳng y = − 2 Đường thẳng đi qua M( m , − 2) với hệ số góc k có phương trình ( ) 2 y k x m = − − tiếp xúc với ( ) ( ) : C y f x = ⇔ Hệ ( ) ( ) ( ) 2 f x k x m f x k  = − −   ′ =   có nghiệm ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 3 2 2 f x f x x m x x x x x m ′ = − − ⇔ − + = − − − ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 2 2 3 2 2 2 3 1 2 0 x x x x x x m x x m x − − − = − − ⇔ − − − + = ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 : 2 2 2 2 3 1 2 0 x t y y x m y g x x m x ′  = ⇒ = − − ⇔ = −  = − − + =   TiÕp tuyÕn Do không thể có tiếp tuyến nào vuông góc với tiếp tuyến 2 // O y x = − nên để từ M( , 2) m − kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau đến (C) thì g ( x ) = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 và các tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ x 1 , x 2 vuông góc với nhau ⇒ ( ) ( )( ) 2 5 3 1 16 3 5 3 3 0 1 3 g m m m m m ∆ = − − = − + > ⇔ > ∨ < − (*) Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 76 Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 3 1 ; 1 3 2 .3 2 1 2 m x x x x f x f x x x x x − ′ ′ + = = ⇒ = − − = − ⇔ ( ) ( ) [ ] 1 2 1 2 1 2 9 2 4 1 9 1 3 1 4 1 54 27 1 x x x x x x m m   − + + = − ⇔ − − + = − ⇔ − = −   55 27 m⇔ = (thoả mãn (*) ). Vậy ( ) ( ) 55 M , 2 2 27 y − ∈ = − thoả mãn yêu cầu. Bài 4. Cho hàm số ( ) 3 ( ) : 12 12 C y f x x x = = − + Tìm trên đường thẳng y = − 4 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) Giải: Đạo hàm: 2 3 12 y x ′ = − Lấy bất kì M( m , − 4) trên đường thẳng y = − 4. Đường thẳng đi qua M( m , − 4) với hệ số góc k có phương trình ( ) 4 y k x m = − − tiếp xúc với ( ) ( ) : C y f x = ⇔ Hệ ( ) ( ) ( ) 4 f x k x m f x k  = − −   ′ =   có nghiệm ⇒ ( ) ( ) ( ) 4 f x f x x m ′ = − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 3 2 2 12 12 3 12 4 2 2 8 3 2 2 x x x x m x x x x x x m ⇔ − + = − − − ⇔ − + − = − + − ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 2 2 8 2 3 6 3 6 x x x x x m x m ⇔ − + − = − + − − ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 2 3 4 2 3 4 0 x x m x m ⇔ − − − − − = . Để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) thì ( ) ( ) ( ) 2 2 3 4 2 3 4 0 g x x m x m = − − − − = phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2 ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 16 3 4 0 2 8 4 3 4 0 m m g m  ∆ = − + − >   = − − ≠   ⇔ ( )( ) ( ) 4 3 3 4 4 0 4 2 12 2 0 3 m m m m m < −   − + >   ⇔  < ≠  − ≠    Bài 5. Tìm trên đồ thị ( ) ( ) 3 2 ( ) : 0 C y f x ax bx cx d a = = + + + ≠ các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) Giải: Đạo hàm: ( ) 2 3 2 y f x ax bx c ′ ′ = = + + Lấy bất kì M( m , f ( m )) ∈ (C): y = f ( x ). Đường thẳng đi qua M( m , f ( m ) với hệ số góc k có phương trình: ( ) ( ) y k x m f m = − + tiếp xúc với ( ) ( ) : C y f x = ⇔ Hệ ( ) ( ) ( ) ( ) f x k x m f m f x k  = − +   ′ =   có nghiệm ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x x m f m ′ = − + ( ) ( ) 3 2 2 3 2 3 2 ax bx cx d ax bx c x m am bm cm d ⇔ + + + = + + − + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 3 2 a x m b x m c x m ax bx c x m ⇔ − + − + − = + + − Bài 8. Tiếp tuyến 77 ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 2 2 2 0 2 0 x m ax am b x m am b x m ax am b ⇔ − − − − − + = ⇔ − + + = ⇔ 2 am b x m x a + = ∨ = − . Từ điểm M( m , f ( m )) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) ⇔ 3 2 3 am b b m am b m a a + − − = ⇔ = − ⇔ = Vậy ( ) M , 3 3 b b f a a   − −     ∈ (C) là điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C). Bình luận : ( ) 6 2 0 3 b f x ax b x a − ′′ = + = ⇔ = ⇒ Điểm uốn ( ) , 3 3 b b U f a a   − −     Bài 6. Cho đồ thị (C): ( ) 2 2 x mx m y f x x m − + = = + . 1) Chứng minh rằng: Nếu (C m ) cắt Ox tại x 0 thì tiếp tuyến của (C m ) tại điểm đó có hệ số góc là 0 0 0 2 2 x m k x m − = + 2) Tìm m để (C m ) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến của (C m ) tại 2 điểm đó vuông góc với nhau. Giải: 1) Giả sử ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 O , 0 0 x mx m x mx m C x x y x m x m  − + = − +  ≡ ⇒ = = ⇔  + ≠ −   ∩ (*) Tiếp tuyến của (C m ) tại giao điểm của (C m ) với O x có hệ số góc là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 do (*) 2 2 2 2 2 x m x m x mx m x m k y x x m x m − + − − + − ′ = = = + + (đpcm) 2) Giả sử (C m ) cắt O x tại 2 điểm phân biệt ⇒ ( ) 2 2 0 g x x mx m = − + = có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thoả mãn: 1 2 1 2 1 2 2 ; ; , x x m x x m x x m + = = ≠ − . Tiếp tuyến tại x 1 , x 2 vuông góc nhau ⇔ 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 x m x m k k x m x m − − = ⋅ = − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 4 0 x m x m x m x m ⇔ − − + + + = ⇔ ( ) 2 1 2 1 2 5 3 5 0 x x m x x m − + + = ( ) ( ) 2 5 3 2 5 0 5 0 m m m m m m ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ { } 0;5 m ∈ . Với m = 0 thì ( ) 2 1 2 0 0 g x x x x = = ⇔ = = (loại) Với m = 5 thì ( ) 2 1,2 10 5 0 5 2 5 g x x x x m = − + = ⇔ = ± ≠ − (thoả mãn) Vậy để (C m ) cắt O x tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến của (C m ) tại 2 điểm đó vuông góc với nhau thì m = 5. Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 78 Bài 7. Cho đồ thị ( ) 2 2 2 2 1 ( ) : m mx m x m C y x m + − − − = − . Tìm m để hàm số có cực trị. Chứng minh rằng: Với m tìm được, trên đồ thị hàm số luôn tìm được 2 điểm mà tiếp tuyến với đồ thị tại 2 điểm đó vuông góc với nhau . Giải:  Đạo hàm: 1 2y mx x m = + − − ⇒ ( ) 2 1 y m x m ′ = + − Hàm số có cực trị ⇔ 0 y ′ = có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m < 0  Với m < 0, chọn 2 m k = . Xét PT: ( ) y x k ′ = ⇔ ( ) 2 1 2 m m x m + = − ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 m x m x m x m m m m x m − − − − ⇔ = ⇔ − = ⇔ − = ± ⇔ = ± − . Xét PT: ( ) 1 y x k − ′ = ⇔ ( ) 2 1 2 m m x m − + = − ( ) ( ) 2 2 2 1 m m x m − + ⇔ = − ( ) 2 2 2 2 2 m m x m x m m m − − ⇔ − = ⇔ − = ± + + 2 2 m x m m − ⇔ = ± + . Vậy với m < 0 và 2 m k = thì các PT ( ) y x k ′ = có nghiệm x 1 và ( ) 1 y x k − ′ = có nghiệm x 2 nên ( ) ( ) 1 2 . 1 y x y x ′ ′ = − , tức là luôn tìm được 2 điểm thuộc đồ thị mà tiếp tuyến với đồ thị tại 2 điểm đó vuông góc với nhau. Bài 8. Cho 2 2 ( ) : 1 x x C y x + + = − . Tìm A ∈ (C) sao cho tiếp tuyến tại A vuông góc với đường thẳng đi qua A và tâm đối xứng của (C) Giải:  ( ) 2 2 4 2 1 1 x x y f x x x x + + = = = + + − − ⇒ TCÐ: 1 TCX : 2 x y x =   = +  ⇒ TĐX: I(1, 3)  Đạo hàm: ( ) 2 4 1 1 y x ′ = − − ⇒ ( ) ( ) 2 4 1 1 y a a ′ = − − . Gọi ( ) 4 , 2 1 A a a a + + − ∈ (C) ⇒ Đường thẳng (AI) có hệ số góc là: ( ) 2 4 1 1 A I A I y y k x x a − = = + − − Do tiếp tuyến tại A vuông góc với đường thẳng (AI) nên ( ) . 1 y a k ′ = − ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 44 4 4 4 4 4 4 4 4 1 8 1 8,3 2 2 8 16 1 1 1 8 1 1 8 1 8,3 2 2 8 a A a a a A  = − ⇒ − − −  − = − ⇔ − = ⇔  − = + ⇒ + + +  Bài 8. Tiếp tuyến 79 Bài 9. Tiếp tuyến của 1 ( ) :C y x x = + cắt Ox, Oy tại A( α , 0) và B(0, β ). Viết phương trình tiếp tuyến khi αβ = 8 Giải:  Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x 0 là: ( ) ( )( ) ( ) 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 1 1 2 2 : 1 x t y y x x x y x y x y x x x x x −   ′ = − + ⇔ = − + ⇔ = ⋅ +     ( ) ( ) 0 2 0 2 O ,0 ; 1 x t x A x = α ⇔ α = − ∩ ( ) ( ) 0 2 O 0,t y B x = β ⇔ β =∩ αβ = 8 ⇔ 0 2 2 0 0 0 2 2 4 8 8 1 1 x x x x ⋅ = ⇔ = − − 2 2 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 x x x⇔ − = ⇔ = ⇔ = ± Vậy PTTT là: 2 2 y x= − ± Bài 10. Cho đồ thị ( ) 2 3 4 : 2 2 x x C y x − + = − và điểm M bất kì ∈ (C). Gọi I là giao của 2 tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B. a) Chứng minh rằng: M là trung điểm của AB. b) Chứng minh rằng: Tích khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là không đổi c) Chứng minh rằng: IAB S const ∆ = . d) Tìm M để chu vi ∆ IAB nhỏ nhất. Giải • 2 3 4 1 1 2 2 2 1 x x x y x x − + = = − + − − ( ) 1 TCÐ: 1; TCX : 1 1, 2 2 x x y I − ⇒ = = − ⇒ ( ) ( ) 2 1 1 2 1 y x x ′ = − − ⇒ ( ) ( ) 2 1 1 2 1 y m m ′ = − − với ( ) 1 M , 1 2 1 m m m − + − ∈ (C). Tiếp tuyến tại M là (t): ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 2 1 1 m y y m x m y m y x m m m   ′ = − + ⇔ = − − + − +   − −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 TCÐ: 1 1, ; TCX : 1 2 1, 1 2 2 2 x t x A t y B m m m = ≡ − = − ≡ − − − ∩ ∩ M x B 2 B A x y O y A I − 1 H α ϕ 1 Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 80 a) Do M 2 A B x x m x + = = và A, M, B thẳng hàng ⇒ M là trung điểm của AB. b) 1 2 2 2 . 1 5. 1 5 d d m m = − ⋅ = − c) BH ⊥ AI ⇒ 1 1 1 2 1 . . . 2 2 4 2 2 2 2 1 2 IAB A I B H S IA BH y y x x m m ∆ = = − − = − = ⋅ = − d) Gọi góc giữa 2 tiệm cận là α , góc giữa tiệm cận xiên với chiều dương O x là ϕ ⇒ α + ϕ = 2 π . Do TCX: 1 2 x y = − có hệ số góc là 1 2 nên 1 tg 2 ϕ = 2 2 sin sin 1 1 cos 2 4 cos ϕ ϕ ⇔ = ⇒ = ϕ ϕ 2 2 2 sin 1 1 2 sin ; cos 1 4 sin cos 5 5 ϕ ⇔ = ⇒ ϕ = ϕ = + ϕ + ϕ Ta có chu vi ∆ IAB là: 2 2 2 . cos P IA IB AB IA IB IA IB IA IB = + + = + + + − α ( ) 2 . 2 . 2 . sin 2 . 2 1 sin IA IB IA IB IA IB IA IB ≥ + − ϕ = + − ϕ ( ) 2 . 2 1 sin sin IA BH = + − ϕ α ( ) 8 2 1 sin cos = + − ϕ ϕ 4 2 20 2 5 1 = ⋅ + − ⇒ 4 Min 2 20 2 5 1 P = ⋅ + − . Dấu bằng xảy ra ⇔ 4 20 . .cos 4 IA IB IA IB IA IB =  ⇔ = =  α =  ⇔ 4 4 4 2 4 4 20 1 1 5 5 1 m m m = ⇔ − = ⇔ = ± − Bài 11. Cho đồ thị: ( ) 2 3 : 2 x x C y x − + = − . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tạo với đường thẳng ( ) : 1 y x ∆ = − + góc 60 ° . Giải  Do tiếp tuyến của (C) tạo với ( ) : 1 y x ∆ = − + góc 60 ° nên hệ số góc k của tiếp tuyến thoả mãn ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 1 2 3 1 tg 60 3 1 . 1 1 3 1 2 3 k k k k k k k k   + = − = − − − = ° = ⇔ ⇔   + −   + = − = +    2 3 5 1 2 2 x x y x x x − + = = + + − − ⇒ ( ) ( ) 2 5 1 2 y x x ′ = − − - Xét 2 3 k = + , khi đó hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: ( ) 2 5 1 2 3 2x − = + − ⇔ ( ) ( ) 2 5 1 3 2 0 2 x − − = < (Vô nghiệm) [...]... x − 6 ) + 4 ti p xúc v i (C) ⇔ H  có nghi m  f ′( x) = k  2 ( x − 1) ( x − 3) ( ⇒ f ( x ) = f ′ ( x ) ( x − 6) + 4 ⇔ x − 2 x + 1 = ⋅ x − 6) + 4 x−2 ( x − 2)2 81 Chương I Các bài gi ng tr ng tâm v hàm s – Tr n Phương ⇔ … ⇔ x 2 − 3 x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 3 T ó suy ra có 2 ti p tuy n ( t1 ) : y = f ′ ( 0 ) ( x − 6 ) + 4 = 3 ( x − 6 ) + 4 ⇔ y = 3 x − 1 và 4 4 2 (t 2 ) : y = f ′ ( 3) ( x − 6 ) + 4 = 0... ( x − 1) 2 L y b t kì i m A(0, a)∈Oy ư ng th ng i qua A(0, a) v i h s góc k có  f ( x ) = kx + a  PT y = kx + a ti p xúc v i (C) ⇔ H  có nghi m  f ′( x) = k  83 Chương I Các bài gi ng tr ng tâm v hàm s – Tr n Phương 1 x+a ⇒ f ( x ) = f ′ ( x ) x + a ⇔ x + 1 = 1 − x − 1  ( x − 1) 2    ⇔ x 1 + = a ⇔ 2 x − 12 = a ⇔ ax 2 − 2 ( a + 1) x + a + 1 = 0 (1) x − 1 ( x − 1) 2 ( x − 1) Qua A k n (C) ⇔ . Bài 8. Tiếp tuyến 71 BÀI 8. TIẾP TUYẾN §8.1. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TIẾP TUYẾN A. TIẾP TUYẾN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG PHẲNG Cho đồ thị (C): y = f ( x ). Gọi M 0 ,. Tìm m để hàm số có cực trị. Chứng minh rằng: Với m tìm được, trên đồ thị hàm số luôn tìm được 2 điểm mà tiếp tuyến với đồ thị tại 2 điểm đó vuông góc với nhau . Giải:  Đạo hàm: 1 2y. bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 74 §8.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA VỀ TIẾP TUYẾN I. DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI 1 ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ Bài 1. Cho hàm số ( ) ( ) 3 ( ) :