Khóa h ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Bài 1. Xét sự ñồng biến, nghịch biến của hàm số: 1. 4 2 1 1 3 4 2 y x x = − + Giải Hàm số ñồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1; ) +∞ ; nghịch biến trên các khoảng (- ∞ ; -1) và (0;1). 2. 3 2 2 2 3 y x x = − + Giải Hàm số ñồng biến trên các khoảng (- ∞ ;-1) và (1;+ ∞ ); Nghịch biến trên các khoảng (-1;1). 3. 3 1 1 2 x y x + = − Giải Hàm số ñồng biến trên các khoảng 1 ( ; ) 2 −∞ và 1 ( , ) 2 +∞ . 4. 2 1 2 1 x x y x − + = − Giải Hàm số ñồng biến trên các khoảng 1 3 ( ; ) 2 − −∞ và 1 3 ( ; ) 2 + +∞ ; Nghịch biến trên các khoảng 1 3 1 ( ; ) 2 2 − và 1 1 3 ( ; ) 2 2 + . Bài 2. Xét chiều biến thiên của hàm số: 1. 2 1 3 5 y x x = − − − Giải TXð: 5 ; 3 D   = +∞     Ta có: 3 4 3 5 3 89 ' 2 ; ' 0 4 3 5 3 48 2 3 5 2 3 5 x y y x x x x − − = − = = ⇔ − = ⇔ = − − Bảng biến thiên: KHOẢNG ðỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khoảng ñồng biến nghịch biến của hàm số thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khoảng ñồng biến nghịch biến của hàm số. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này. (Tài liệu dùng chung bài 01+02+03) Khóa h ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - x 5 3 89 48 +∞ ' y - 0 + y 7 3 Hàm số nghịch biến trên khoảng 5 89 ; 3 48       ; ñồng biến trên khoảng 89 ; 48   +∞     . 2. [ ] 1 1 os2 3 cos ; 0, 2 2 y c x x x π = − − + ∈ Giải ' sin 2 3 sin 2sin cos 3 sin sin (2cos 3) y x x x x x x x= + = + = + sin 0 0, ' 0 5 3 cos 6 2 x x x y x x π π =  = =    = ⇔ ⇔   = = −    Bảng biến thiên: x 0 5 6 π π ' y + 0 - y Hàm số ñồng biến trên khoảng 5 0, 6 π       ; nghịch biến trên khoảng 5 , 6 π π       (Chú ý: Với [ ] 0, x π ∈ thì sin 0 x ≥ nên dấu của y’ chính là dấu của 2cos 3 x + ). 3. 1 2 3 3 .(1 ) y x x = − Giải TXð: R Ta có: 2 3 1 1 3 1 ' . ; ' 0 27 3 (1 ) x y y x x x − = = ⇔ = − Dấu của y’ chính là dấu của (1-3x)(1-x). Do ñó ta có bảng biến thiên như sau: x - ∞ 0 1 3 1 + ∞ ' y + + 0 - + y Hàm số ñồng biến trên các khoảng 1 ; 3   −∞     và (1; ) +∞ ; nghịch biến trên khoảng ( 1 3 ; 1). 4. 2 2 . os 2 os 2 cos 1 x c x c y x x α α α − + = − + ; α là tham số. Khóa h ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - Giải TXð: R Ta có: 2 2 2 2 2 2sin .( 1) ' ; ' 0 1 0 1 ( 2 . os 1) x y y x x x x c α α − = = ⇔ − = ⇔ = ± − + Bảng biến thiên: x - ∞ -1 1 + ∞ ' y + 0 - 0 + y Hàm số ñồng biến trên các khoảng ( ; 1) −∞ − và (1; + ∞ ); nghịch biến trên khoảng (-1;1) Bài 3. Tìm các giá trị của tham số m ñể hàm số: 3 2 1 ( 6) 2 1 3 y x mx m x m = + + + − − ñồng biến trên R (ñồng biến với mọi x) Giải TXð: R ðể hàm số ñồng biến trên R (ñồng biến với mọi x) thì ta phải có ' 0 y x ≥ ∀ 2 2 2 6 0 ' 0 6 0 2 3 x mx m x m m m ⇔ + + + ≥ ∀ ⇔ ∆ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ Bài 4. Cho hàm số: 3 2 ( 1) . (3 2) 3 m y x mx m x − = + + − Tìm m ñể hàm số luôn ñồng biến. Giải 2 ' ( 1) 2 3 2 y m x mx m = − + + − ðể hàm số luôn ñồng biến thì ' 0 y x ≥ ∀ + Với m-1 = 0  m = 1 thì y’ = 2x +1 ñổi dấu khi x vượt qua 1 2 − Vậy hàm số không thể luôn ñồng biến. Bài 5. Cho hàm số: 4 2 ( 1) 3 y m x mx m = − − + − Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên (1, ) +∞ Giải 3 2 ' 4( 1) 2 2 2( 1) y m x mx x m x m   = − − = − −   Hàm số ñồng biến trên ( ) (1; ) ' 0 1;y x +∞ ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞ +) m = 1 thì y’ = -2x Khi ñó y’ không thể lớn hơn hoặc bằng 0 trên ( ) 1; +∞ => m = 1 không thỏa mãn. +) m-1 > 0  m > 1, y’ = 0 có 3 nghiệm Khi ñó ta có dấu của y’ như sau: - ∞ - 2( 1) m m − 0 2( 1) m m − + ∞ - + - + Khóa h ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - ( ) ' 0 1; 1 2( 1) 2 2( 1) m y x m m m m ≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ ≤ ⇔ ≤ − ⇔ ≥ − +) m – 1 < 0  m < 1 Xét f(x) = 2(m - 1)x 2 – m 8 ( 1); 1 0 f m m m ∆ = − − < - Nếu 0 8 0 0 m m ∆ ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥ kết hợp với m < 1 => 0 1 m ≤ < thì ( ) 0 f x x ≤ ∀ => dấu của 2 ' 2 2( 1) y x m x m   = − −   như sau: - Nếu 0 0 m ∆ > ⇔ < thì y’ có 3 nghiệm. Khi ñó dấu của 2 ' 2 2( 1) y x m x m   = − −   như sau: - ∞ + - + ∞ Vậy không thể có ' 0 y ≥ trên (1; +∞ ) ðáp số: 2 m ≥ Bài 6. Cho hàm số: 2 3 2 ( 5 ) 6 6 5 y m m x mx x = − + + + − Tìm m ñể hàm số ñơn ñiệu trên R. Khi ñó hàm số ñồng biến hay nghịch biến? Giải 2 2 ' 3( 5 ) 12 6 y m m x mx = − + + + Hàm số ñơn ñiệu trên R khi và chỉ khi y’ không ñổi dấu. Xét các trường hợp sau: +) 2 0 5 0 5 m m m m =  + = ⇔  = −  Với m = 0 => y’ = 6 > 0 => Hàm số ñơn ñiệu trên R và hàm số ñồng biến Với m = -5 => y’ = -60x + 6 => Hàm số ñổi dấu khi x vượt qua 1 10 (không thỏa mãn) +) 2 0 5 0 5 m m m m ≠  + ≠ ⇔  ≠ −  Khi ñó y’ không ñổi dấu nếu 2 5 ' 3 5 0 0 3 m m m ∆ = + ≤ ⇔ − ≤ < Với ñiều kiện ñó ta có: 2 3( 5 ) 0 ' 0 m m y − + > ⇒ > trên R => Hàm số ñồng biến trên R. Kết luận: 5 0 3 m − ≤ ≤ thì hàm số ñơn ñiệu trên R cụ thể là hàm số luôn ñồng biến. Bài 7. Cho hàm số: 2 1 m y x x = + + − Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên TXð (ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó) Giải TXð: 1 x ≠ 2 ' 1 ( 1) m y x = − − - Nếu 0 m ≤ thì y’ > 0 1 x ∀ ≠ do ñó hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng ( ;1) −∞ và (1;+ ∞ ), tức ñồng biến trên TXð. Khóa h ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - - Nếu m > 0 thì 2 2 2 1 ' , ' 0 1 ( 1) x x m y y x m x − + − = = ⇔ = ± − Ta có bảng biến thiên: x - ∞ 1 m − 1 1 m + + ∞ ' y + 0 - - + y Hàm số nghịch biến trên (1- m ;1) và (1;1+ m ) nên không thể ñồng biến trên tập xác ñịnh. ðáp số : 0 m ≤ Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn . ñồng biến, nghịch biến của hàm số: 1. 4 2 1 1 3 4 2 y x x = − + Giải Hàm số ñồng biến trên các khoảng (-1 ;0) và (1; ) +∞ ; nghịch biến trên các khoảng (- ∞ ; -1 ) và (0;1). 2. 3 2 2 2 3 y. tham số. Khóa h ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 5 8-5 8 -1 2 - Trang | 3 - . Giải Hàm số ñồng biến trên các khoảng (- ∞ ;-1 ) và (1;+ ∞ ); Nghịch biến trên các khoảng (-1 ;1). 3. 3 1 1 2 x y x + = − Giải Hàm số ñồng biến trên các khoảng 1 ( ; ) 2 −∞ và 1 ( , ) 2 +∞ .