CƠNG THỨC TỐN HỌC (LỚP 10 + 11 + 12) Các tính chất bất đẳng thức: 1.1 Tính chất (tính chất bắc cầu): a > b b > c ⇔ a > c 1.2 Tính chất 2: a > b ⇔ a + c > b + c Tức là: Nếu cộng vế bắt đẳng thức với số ta bất đẳng thức chiều tương đương với bất đẳng thức cho Hệ (Quy tắc chuyển vế): a > b + c ⇔ a – c > b a > b ⇒ a+c >b+d c > d 1.3 Tính chất 3:  Nếu cộng vế tương ứng bất đẳng thức chiều ta bất đẳng thức chiều Chú ý: KHƠNG có quy tắc trừ hai vế bất đẳng thức chiều 1.4 Tính chất 4: a > b ⇔ a.c > b.c c > a > b ⇔ c.c < b.c c < a > b > ⇒ a.c > b.d c > d > 1.5 Tính chất 5:  Nếu nhân vế tương ứng bất đẳng thức chiều ta bất đẳng thức chiều Chú ý: KHƠNG có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức chiều 1.6 Tính chất 6: a > b > ⇒ an > bn (n nguyển dương) 1.7 Tính chất 7: a > b > ⇒ n a > n b (n nguyên dương) Bất đẳng thức Cauchy (Cơ-si): Định lí: Nếu a ≥ b ≥ a+b ≥ a.b Đẳng thức xảy khi: a = b Tức là: Trung bình cộng số khơng âm lớn trung bình nhân chúng Hệ 1: Nếu số dương có tổng khơng đổi tích chùng lớn số đõ bẳng Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn Hệ 2: Nếu số dương có tích khơng đổi tổng chùng nhỏ số Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có diện tích hình vng có chu vi nhỏ  x > 0nếu x ≥ x = Bất đẳng thức chứa giá trị trị tuyệt đối: x < −x >  Từ định nghĩa suy ra: với x ∈ R ta có: |x| ≥ ; |x|2 = x2 ; x ≤ |x| -x ≤ |x| Định lí: Với số thực a b ta có: |a + b| ≤ |a| + |b| (1) |a – b| ≤ |a| + |b| (2) |a + b| = |a| + |b| a.b ≥ |a – b| = |a| + |b| a.b ≤ Định lí Vi-et: Nếu phương trình bậc 2: ax2 + bx +c = (*) có nghiệm x1 , x2 (a ≠ 0) tổng tích nghiệm là: S = x1 + x2 = − Chú ý: b ; a P = x1.x2 = c a + Nếu a + b + c = phương trình (*) có nhiệm x1 = x2 = c a + Nếu a – b + c = phương trình (*) có nhiệm x1 = -1 x2 = − c a Hệ quả: Nếu số u, v có tổng S = u + v tích P = u.v chúng nghiệm phương trình x – S.x + P = Chia đoạn thẳng theo tỉ lệ cho trước: uu ur uu ur a Định nghĩa: Cho điểm phân biệt A, B Ta nói điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k MA = k MB uu uu ur ur u ur OA − kOB uu b Định lí: Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ≠ với điểm O ta có: OM = 1− k Trọng tâm tam giác: uu uu uu r ur ur ur a Điểm G trọng tâm tam giác khi: GA + GB + GC = u u uu u u uu ur ur ur ur b Nếu G trọng tâm tam giác, với điểm O ta có: 3OG = OA + OB + OC Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác: 7.1 Định lí Cosin tam giác: Định lí: Với tam giác ABC, ta ln có: a = b + c − 2bc.cos A ; b = a + c − 2ac.cos B ; c = b + a − 2ba.cos C 7.2 Định lí sin tam giác: a b c = = = 2R Định lí: Trong tam giác ABC, với R bán kính đường trịn ngoại tiếp ta có: sin A sin B sin C b2 + c2 a a + c2 b b + a c2 2 7.3 Công thức độ dài đường trung tuyến: m a = − ; m2 = − ; mc = − b 4 Tỉ số lượng giác số góc cần nhớ: 00 Góc sin cos tg cotg || 300 π 450 π 600 π 900 π 1200 2π 1350 3π 1500 5π 2 2 3 2 3 – 2 – || – 1 – 3 3 – – – 1800 π -1 || Công thức biến đổi tích thành tổng: cos a.cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)] ; 1 sin a.sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] ; sin a.cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] 2 10 Công thức biến đổi tổng thành tích: a+b a −b cos a + cos b = cos cos 2 a+b a −b cos a − cos b = −2 sin sin 2 a+b a−b sin a + sin b = 2sin cos 2 a+b a−b sin a − sin b = cos sin 2 11.Công thức nhân đôi: cos 2a = cos a − sin a = cos a − = − 2sin a sin a = 2sin a cos a 2tga π π π (a ≠ + kπ , a ≠ + k , k ∈ Z) − tg a 2 12 Công thức nhân ba: sin 3a = 3sin a − 4sin a tg 2a = cos 3a = cos3 a − 3cos a 13 Công thức hạ bậc: cos 2a + 1 − cos 2a − cos 2a cos a = ; sin a = ; tg 2a = 2 + cos 2a 3sin a − sin 3a 3cos a + cos 3a sin a = ; cos3 a = 4 14 Công thức cộng: sin( a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin( a − b) = sin a cos b − cos a sin b cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b Ngoài ta có cơng thức sau với số điều kiện: tga − tgb tga + tgb tg(a − b) = (*) ; tg(a + b) = (**) + tga.tgb − tga.tgb π π π (*) có điều kiện: a ≠ + kπ , b ≠ + kπ , a − b ≠ + kπ 2 π π π (**) có điều kiện: a ≠ + kπ , b ≠ + kπ , a + b ≠ + kπ 2 a 15 Cơng thức tính tga, cosa, sina theo t = tg : 2t 1− t2 2t π sin a = ; cos a = ; tga = , a ≠ + kπ 2 1+ t 1+ t 1− t 16 Công thức liên hệ góc bù nhau, phụ nhau, đối góc π 16.1 Hai góc bù nhau: sin(π − a) = sin a ; cos( π − a) = − cos a tg(π − a) = − tga ; cotg( π − a) = −cotga 16.2 Hai góc phụ nhau: π π sin( − a) = cos a ; cos( − a) = sin a 2 π π tg( − a) = cotga ; cotg( − a) = tga 2 16.3 Hai góc đối nhau: sin(−a) = − sin a ; cos( −a) = cos a tg( −a) = − tga ; cotg( −a) = −cotga π 16.4 Hai góc : π : π sin(a + ) = cos a π cos(a + ) = − sin a π tg (a + ) = −tga π cotg (a + ) = −cotga 16.5 Hai góc π : sin(a + π ) = − sin a cos(a + π ) = − cos a tg (a + π ) = tga cotg ( a + π ) = cotga 16.6 Một số công thức đặc biệt: π sin x + cos x = sin( x + ) π sin x − cos x = sin( x − ) 17 Phương trình lượng giác Phương trình bản: * sinx = sina x = a + k2π x = π - a + k2π * cosx = cosa ⟺ x = ± a + k2π * tgx = tg a ⟺ x = a + kπ (x ≠ k ) * cotgx = cotga ⟺ x = a + kπ (x ≠ kπ) Phương trình đẳng cấp sinx cosx: Các phương trình lượng giác * asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = (1) * asin3x + bsin2x.cosx + c.sinx.cos2x + dcos3x = (2) 2 * asin x + bsin x.cosx + csin x.cos x + dsinx.cos x + ecos x = (3) gọi phương trình đẳng cấp bậc 2, 3, sinx cosx Do cosx ≠ nên chia hai vế phương trình (1), (2), (3) theo thứ tự cho cos2x, cos3x, cos4x đưa phương trình cho phương trình ta dễ dàng giải phương trình Phương trình bậc sinx cosx: * sinx + bcosx + c = (1), a2 + b2 ≠ phương trình (1) có nghiệm a2 + b2 - c2 ≥ Có ba cách giải loại phương trình : b c - Giả sử a ≠ ; (1) ⇔ sin x + cos x + = (2) a a c c b Đặt : tgϕ = ; (2) ⇔ sin x + tgϕ cos x + = ⇔ sin( x + ϕ ) = − cos ϕ a a a Ta dễ dàng giải phương trình x 2t 1− t2 - Đặt : tg = t ; (1) ⇔ a +b +c =0 1+ t2 1+ t2 Giải phương trình bậc hai t, dễ dàng giải phương trình (1) - Do a + b ≠ , chia hai vế phương trình cho a + b : a b c (1) ⇔ sin x + cos x = − a + b2 a2 + b2 a + b2 a  = sin α   a + b2 Đặt :  b  = cos α  a + b2  ; (1) ⇔ sin( x + α ) = − c a + b2 (đây phương trình bản) Chú ý : Ta ln có : | a sin x + b sin x |≤ a + b Dấu "=" xảy sin(x + a) = Phương trình đối xứng sinx cosx: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1) (a, b, c số) Giải phương trình (1) cách đặt : sinx + cosx = t , | t |≤ Đưa (1) phương trình bt + 2at − (b + 2c) = Giải phương trình (2) với | t |≤ Hệ phương trình lượng giác: sin x = 1) Hệ phương trình lượng giác ẩn Chẳng hạn có hệ phương trình :  cos x = Có hai phương pháp giải : * Phương pháp thế, giải phương trình hệ nghiệm tìm vào phương trình cịn lại * Phương pháp tìm nghiệm chung, giải tìm nghiệm phương trình hệ, sau tìm nghiệm chung π  x + y = 2) Hệ phương trình lượng giác hai ẩn Chẳng hạn có hệ phương trình :  sin x + sin y =  Phương pháp chung đưa hệ phương trình đại số hai ẩn, đa phương trình tổng tích 18 Tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp: 18.1 Hoán vị: + Định nghĩa: Một hoán vị n phần tử gồm n phần tử đó, xếp theo thứ tự định, phần tử có mặt lần Số tất hoán vị khác n phần tử ký hiệu P n + Công thức : Pn =1.2.3 n = n ! 18.2 Chỉnh hợp: + Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập k n phần tử ( ≤ k ≤ n ) thứ tự gồm k phần tử lấy k từ n phần tử cho số tất chỉnh hợp chập k n phần tử ký hiệu An +Công thức : k An = n! ( n−k)! ; Ank = n(n − 1) (n − k + 1) k k An +1 = (n − k ) An ; Ann = Pn = n ! An = ; n Ann −1 = An = n ! (qui ước 0! = 1) 18.3 Tổ chợp: + Định nghĩa: Cho tập hợp a gồm n phần tử (n nguyên dương) Một tổ hợp chập k n phần tử ( k ≤ k ≤ n ) tập a gồm k phần tử Số tất tổ hợp chập k n phần tử ký hiệu Cn Ck = n + Công thức: n! ; k!(n − k)! Cnk = Cnn − k + Tính chất: Ck = n n(n − 1) (n − k + 1) k! n Cn = Cn = ; Cn + Cn + + Cnn = 2n ; k k k+ Cn + Cn +1 = Cn +11 k n −k k 18.4 Công thức Newton: Tk số hạng thứ k +1 khai triển nhị thức (a + b)n : Tk = Cn a b m n (a + b) n = Cn a n + Cn a n −1b + Cn a n − 2b + + Cn a n − mb m + + Cn b n 19 Phương pháp tọa độ mặt phẳng không gian: r r 19.1 Trong mặt phẳng: Cho vec-tơ a ( x1 , y1 ), b( x2 , y2 ) điểm A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) : r rr a.b = x1 x2 + y1 y2 ; ; d = AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) | a |= x12 + y12 r r cos(a, b) = x1 x2 + y1 y2 ; 2 x12 + y12 + x2 + y2 r r r a ⊥ b ⇔ x1 x2 + y1 y2 = r 12.2 Trong không gian: Cho vec-tơ a ( x1 , y1 , z1 ), b( x2 , y2 , z2 ) điểm A( x1 , y1 , z1 ), B ( x2 , y2 , z2 ) : r rr a.b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ; | a |= x12 + y12 + z12 d = AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z − z1 ) r r cos(a, b) = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 2 x12 + y12 + z12 x2 + y2 + z2 ; r r a ⊥ b ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 20 Đường thẳng mặt phẳng không gian: 20.1 Đường thẳng mặt phẳng: a Khoảng cách: + Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đương thẳng (d) : Ax + By + C = MH = | Ax + By0 + C | A2 + B + Khoảng cách hai đường thẳng song song: Ax + By + C1 = Ax + By + C2 = | C1 − C2 | A2 + B b Vị trí tương đối đường thẳng: (d1) : A1 x + B1 y + C1 = ; *(d1 ) ∩ ( d ) ≠ φ ⇔ *(d1 ) ≡ (d ) ⇔ A1 B1 ≠ A2 B2 ; (d2) : A2 x + B2 y + C2 = *( d1 ) //( d ) ⇔ A1 B1 C1 = ≠ A2 B2 C2 A1 B1 C1 = = ; *(d1 ) ⊥ (d ) ⇔ A1 A2 + B1 B2 A2 B2 C2 c Góc đường thẳng: (d1) : A1 x + B1 y + C1 = ; (d2) : A2 x + B2 y + C2 = ; α = (d1 , d ) ; cos α = | A1 A2 + B1 B2 | A12 + B12 A22 + B22 d Phương trình đường phân giác góc tạo đường thẳng (d1)và (d2): A1 x + B1 y + C1 A +B 2 =± A2 x + B2 y + C2 A22 + B2 (góc nhọn lấy dấu – , góc tù lấy dấu + ) e Phương trình chùm đường thẳng có tâm giao đường thẳng (d1)và (d2): α ( A1 x + B1 y + C1 ) + β ( A2 x + B2 y + C2 ) = với α + β > 20.2 Đường thẳng khơng gian: r Góc đường thẳng: (d1) có vector phương u = (a1 , b1 , c1 ) r (d2) có vector phương v = (a2 , b2 , c2 ) α góc (d1) (d2) ; cos α = | a1a2 + b1b2 + c1c2 | 2 a + b12 + c12 a2 + b2 + c2 (d1 ) ⊥ (d ) ⇔ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 21 Mặt phẳng: a Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = là: MH = | Ax0 + By0 + Cz0 + D | A2 + B + C b Chùm mặt phẳng qua giao tuyến mặt phẳng: ( P ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (Q) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = phương trình mặt phẳng có dạng: α ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 22.Cấp số cộng: + Định nghĩa: Cấp số cộng dãy số đó, kể từ số hạng thứ hai tổng số hạng đứng trước với số khơng đổi khác gọi công sai ∀n ∈ N *, U n +1 = U n + d + Tính chất cấp số cộng : U n +1 − U n = U n+ − U n +1 ; U n +1 = U n + U n+ 2 + Số hạng tổng quát: U n = U1 + d (n − 1) + Tổng n số hạng đầu: U n = ( a1 + an ) n ; Un = 2a1 + d (n − 1) n 23 Cấp số nhân: + Định nghĩa: Cấp số nhân dãy số số hạng đầu khác không kể từ số hạng thứ hai tích số hạng đứng trước với số không đổi khác khác gọi công bội "n Є N*, Un + = Un.q U n +1 U n+ = ; Un U n +1 + Tính chất : U n +1 = U n U n + , Un > + Số hạng tổng quát : Un = U1.qn - + Tổng n số hạng đầu tiên: S n = U1 + U + + U n = U1 − qn 1− q + Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < ; S n = U1 + U + + U n = U1 1− q CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM & TÍCH PHÂN 12 STT Hàm số y u STT 2 3 4 Hàm số y C u x eu x au x ln|u| n x 10 x logau sinuex cosuax ln|x| tgu 10 logax cotgu xα 11 11y=f(u) u=g(x) 12 sinx 13 cosx 14 tgx 15 cotgx Đạo hàm y’ u' Đạo hàm y’ u u' − u1 2x u'.eu u a lna.u’ 2' x u n.xn-1 u u '1 − u.lnx a ex cosu.u’ ax.lna sinx.u’ u' (x ≠ 0) x cos u u' − x ln a sin u α ' α (u) −1 y (x)=y’x g’(x) cosx sinx cos x − sin x Tính chất đạo hàm: a (u + v)’ = u’ + v’ b (u – v)’ = u’ – v’ c (u.v)’ = u’.v + u.v’ d (u.v.w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’ u ' u '.v − v '.u e  ÷ = v2 v II Nguyên hàm: Bảng nguyên hàm bản: I Đạo hàm: Bảng đạo hàm bản: STT Hàm số & Nguyên hàm ∫ dx = x + C α ∫ x dx = ∫ xα +1 + C (α ≠ −1) α +1 dx dx = ln | x | +C ( x ≠ 0) x x x ∫ e dx = e + C ax + C (0 < a ≠ 1) ln a ∫ sin xdx = − cos x + C x ∫ a dx = ∫ cos ∫ cos xdx = sin x + C dx = tgx + C (x ≠ x ∫ sin x dx = −cotgx + C π + kπ ) ( x ≠ kπ ) Một số nguyên hàm khác: a u' = u'.u-m (m ≠ 1) với u = x- α m (m ≠ 1) Hàm số có dạng : (x − α ) um a −1 dx = a Nguyên hàm : ∫ +C m (x −α ) (m − 1)( x − α ) m −1 2ax + b * Hàm y = Đặt t = ax + bx + c ⇒ t' = 2ax + b ax + bx + c t' ⇒ Họ nguyên hàm hàm số : ln|t| + C = ln| ax + bx + c | + C Hàm số có dạng : t 2ax + b ⇒ ∫ dx = ln | ax + bx + c | +C ax + bx + c * Hàm y = Ta có trường hợp sau : ax + bx + c + Mẫu số ax + bx + c có nghiệm phân biệt x1,x2 giả sử x1 < x2 Ta có : ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) Ta viết sau : * Hàm y = 1  ( x − x1 ) − ( x − x2 )  dx dx = ∫  dx = ∫  ∫ ax + bx + c a ( x − x1 )( x − x2 ) a  ( x − x1 )( x − x2 )  x2 − x1  1  x−x = ∫  x − x1 − x − x2 dx = a( x2 − x1 ) ln x − x12 + C a( x2 − x1 )   + Mẫu số có nghiệm kép : ax + bx + c = a ( x − m)2 dx dx −1 dx = ∫ = ∫ = +C 2 + bx + c a ( x − m) a ( x − m) a x−m + Mẫu số khơng có nghiệm (vơ nghiệm): ax + bx + c = a ( x + m) ± n ∫ ax Đặt u = ( x + m) Ta có : * ax + bx + c = a.u + n ⇒ ∫ n dx Đặt u = tgt au + n a dx Nguyên hàm : −n n u− 1 1 a +C ∫ au − ndx = a ∫ n = a n ln n u − u+ a a a * ax + bx + c = a.u − n ⇒ ∫ au Họ nguyên hàm hàm vô tỉ : 3.1 Hàm số có dạng : f ( x) = x2 + k x + k = -x + t ⇒ t = x + * Cách : Đặt x ⇒ dt = (1 + ⇒ dx x +k 2 x2 + k + x )dx = x2 + k = ; f ( x) = dt Do : t ∫ *Cách 2: Biến đổi : x +k x2 + k dx x +k = 2 dx = =∫ x2 − k x2 + k t x2 + k dx dt = ln | t | +C = ln | x + x + k | +C t x + x2 + k x + k (x + x + k ) 2 2 ( Nhân tử mẫu với x + x + k ) x +1 x + k2 ( Chia tử mẫu cho x + k ) ( x + x2 + k ) dt x dt = (1 + )dx ⇒ f ( x )dx = Đặt t = x + x + k Suy : t t x2 + k 2 Ta có : f ( x) = Vậy nguyên hàm : Tương tự : ∫ x − k2 ∫ f ( x)dx = ln | t | +C = ln | x + dx = ln | x + x − k | +C 3.2 Hàm số dạng : f ( x) = Đặt x = k sin t với x ∈ [ ⇒ dx = k cos tdt ⇒ x + k | +C k − x2 −π π ; ] (hoặc x = k cos t 2 ∫ f (u ) = k − x2 dx = ∫ k cos t.dt k − u2 với x ∈ [0; π ] ) =∫ k cos t.dt =∫ k (1 − sin t ) k cos 2t ) cos t.dt cos t −π π =∫ dt = ∫ dt = t + C Vì t ∈ [ ; ] nên cost > ⇒ ∫ | cos t | cos t 2 Tương tự: ∫ 2 du = t + C k −u 3.3 Hàm số dạng : f ( x) = x − k ; f (u ) = u − k x k2 x − k + ln | x + x − k | +C Nguyên hàm : ∫ x − k dx = 2 k k π Cách khác: đặt x = x = với t ∈ [0; ] sin t cost 2 3.4 Hàm số dạng : f ( x) = ax + bx + c cos t.dt | cos t | ⇒ Ta biến đổi hai dạng sau: f ( x ) = u − k f ( x) = u + k áp dụng theo mục 3.5 Hàm số dạng : f ( x) = x + k f (u ) = u + k π π Đặt x = ktgt , u = ktgt với t ∈ [- ; ] 2 1 f (u ) = 2 x −m u − m2 1 + Phân tích thành : f ( x) = áp dụng theo công thức học = x−m x+m x −m 1 3.7 Hàm số dạng : f ( x) = f (u ) = x + m2 u + m2 π π + Đặt x = mtgt , u = mtgt với t ∈ [- ; ] 2 1 m | cost | dx = ∫ dt = ∫ dx ⇒ ∫ 2 cos t x + m2 m (tg t + 1) cos t 3.6 Hàm số dạng : f ( x) = π π | cost | cost dx = ∫ dt Vì t ∈ [- ; ] nên ∫ 2 2 cos t − sin t + Đặt tiếp : u = sin t ⇒ du = costdt Do : cost ∫ − sin t dt = ∫ u −1 +C du = − ln 2 u +1 1− u Các trường hợp tổng quát cần ý : a Trường hợp: f(x) hàm lẻ cosx : Đặt: t = sinx b Trường hợp: f(x) hàm lẻ sinx : Đặt: t = cosx c Trường hợp: f(x) hàm chẵn đới với sinx cosx : R(sinx, cosx) = R(-sinx, -cosx) d Trường hợp: f(x) hàm lẻ sinx cosx : Đặt: t = tgx e.Trường hợp: f(x) chứa sinx cosx : Đặt t = tg x * Phương pháp chung: A Dạng f(x) = sin2nx.cos2mx : − cos x ) dx + cos x ) dx (b) ∫ cos m xdx = ∫ ( 2n 2m (c) ∫ s in xcos xdx Thay cos2x = – sin2x thay sin2x = – cos2x rối chuyển dạng (a) (b) (a) ∫ sin n xdx = ∫ ( B Dạng : f ( x) = s in 2n x + a Đặt t = tgx cos 2m + b - Hieptle ... a.b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ; | a |= x12 + y12 + z12 d = AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z − z1 ) r r cos(a, b) = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 2 x12 + y12 + z12 x2 + y2 + z2 ; r r a ⊥ b ⇔ x1 x2 +... y2 ; ; d = AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) | a |= x12 + y12 r r cos(a, b) = x1 x2 + y1 y2 ; 2 x12 + y12 + x2 + y2 r r r a ⊥ b ⇔ x1 x2 + y1 y2 = r 12. 2 Trong không gian: Cho vec-tơ a ( x1 , y1 ,... a − sin b = cos sin 2 11 .Công thức nhân đôi: cos 2a = cos a − sin a = cos a − = − 2sin a sin a = 2sin a cos a 2tga π π π (a ≠ + kπ , a ≠ + k , k ∈ Z) − tg a 2 12 Công thức nhân ba: sin 3a = 3sin