Khóa học Vật lí 12–Thầy Đặng Việt Hùng Cực trị trong mạch điện xoay chiều. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Nguyên tắc chung thiết lập các biểu thức tìm cực trị trong mạch điện xoay chiều: Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ công thức tổng quát của chúng, thực hiện các phép biến đổi theo quy tắc nếu tử số và mẫu số đều là đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi (chia cả tử và mẫu cho tử số chẳng hạn ) Bổ đề :  Bất đẳng thức Cauchy : Cho hai số không âm a, b khi đó ab ab a b 2 ab 2 Dấu bằng xảy ra khi a = b.  Hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c, với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm 2 min b 4ac b ' x ;y 2a 4a 4a a I. MẠCH RLC CÓ R THAY ĐỔI BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 1: Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó R có thể thay đổi được (R còn được gọi là biến trở). Tìm giá trị của R để a) cường độ hiệu dụng I của mạch đạt giá trị cực đại. b) điện áp hiệu dụng hai đầu L hoặc C đạt cực đại. c) công suất tỏa nhiệt trên R là P o cho trước. d) công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại. e) điện áp giữa hai đầu đoạn mạch RL, RC đạt cực đại, cực tiểu (nếu có) Hướng dẫn giải: a) Cường độ hiệu dụng max 2 2 LC UU I I R 0. Z R Z Z Vậy R = 0 thì I max và giá trị max LC U I ZZ b) Ta có U L = I.Z L . Do L không đổi nên (U L ) max khi I max R = 0. Khi đó, L L max L max LC U.Z U I .Z ZZ Tương tự ta cũng có C max C C max C max LC U R 0 U.Z U I .Z ZZ c) Theo bài ta có 2 2 2 2 2 o o o o o L C 2 2 LC U P P I R P R P P R U R P Z Z 0 R Z Z Thay các giá trị của U, Z L , Z C và P o vào phương trình trên ta giải được R cần tìm. d) Công suất tỏa nhiệt trên R: 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 LC L C L C LC U U U U U P I R R R Z 2 Z Z R Z Z Z Z ZZ R 2 R. R R CỰC TRỊ TRONG MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU_P1 (TÀI LIỆU BÀI GIẢNG) Giáo viên: ĐẶNG VIỆT HÙNG Khóa học Vật lí 12–Thầy Đặng Việt Hùng Cực trị trong mạch điện xoay chiều. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - Dấu bằng xảy ra khi 2 LC LC ZZ R R Z Z R và 2 max LC U P 2 Z Z Vậy mạch RLC có R thay đổi, giá trị của R và P max tương ứng là LC 2 max LC R Z Z U P 2 Z Z Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có 4 2 4.10 u 150 2cos 100π V, L (H), C (F), π 5π điện trở R có thể thay đổi được. Tìm R để a) công suất tỏa nhiệt P = 90 W và viết biểu thức của cường độ dòng điện khi đó. b) hệ số công suất của mạch là cosφ = 1/2. c) công suất tỏa nhiệt trên mạch cực đại P max và tính giá trị P max Hướng dẫn giải: Ta có Z L = 200 Ω, Z C = 125 Ω, U = 150 V. a) Ta có 22 2 2 2 2 2 2 2 R 225Ω U 150 R P I R 90 90 R 90 90R 150 R 90.75 0 R 25Ω Z R 75  Với 22 o o U 150 2 2 R 225Ω Z 225 75 75 10 Ω I A. Z 75 10 5 Độ lệch pha của u va i thỏa mãn LC u i i ZZ 75 1 1 1 tanφ φ arctan φ φ φ arctan R 225 3 3 3 Biểu thức cường độ dòng điện là 21 i cos 100πt arctan A. 3 5  Với 22 o o U 150 2 6 R 25Ω Z 25 75 25 10 Ω I A. Z 25 10 5 Độ lệch pha của u va i thỏa mãn LC u i i ZZ 75 tanφ 3 φ arctan 3 φ φ φ arctan 3 R 25 Biểu thức cường độ dòng điện là 6 i cos 100πt arctan 3 A. 5 b) Từ công thức tính hệ số công suất ta có 2 22 2 LC 1 R 1 R 1 cosφ R 25 3 Ω. 2 2 R 75 4 R Z Z c) Ta có P max khi LC 2 max LC R Z Z U P 2 Z Z Thay số ta được R = 75 Ω và 22 max LC U 150 P 150W. 2 Z Z 2.75  Chú ý:  Trong trường hợp P max thì hệ số công suất của mạch khi đó là 22 1 2 LC RR cosφ , do R Z Z . Z RR Tức là độ lệch pha của u và i khi đó là π/4.  Khi cuộn dây có thêm điện trở hoạt động r 0 thì ta còn có thêm dạng bài tính công suât tỏa nhiệt trên R, trên cuộn dây và trên toàn mạch. TH 1 : Công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch cực đại Khóa học Vật lí 12–Thầy Đặng Việt Hùng Cực trị trong mạch điện xoay chiều. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 LC L C L C U U U U P I R r R r R r Z 2 Z Z R r Z Z Z Z Rr Rr Từ đó ta cũng được giá trị của R và P max tương ứng L C L C 22 max max L C L C R r Z Z R Z Z r UU PP 2 Z Z 2 Z Z TH 2 : Công suất tỏa nhiệt trên R cực đại Ta có 2 2 2 2 2 R 2 2 2 2 2 22 2 L C L C LC U U U U P I R R R Z R 2Rr r R r Z Z r Z Z ZZ R 2r R RR Áp dụng BĐT Cauchy cho mẫu số ta cũng được 22 R 22 22 L C L C UU P r Z Z 2r r Z Z 2r R. R Từ đó ta được giá trị của R và (P R ) max tương ứng là 2 2 LC 2 R max 2 2 LC R r Z Z U P 2r r Z Z Ví dụ 2: Cho mạch điện xoay chiều gồm cuộn dây có r = 50 Ω, L = 0,4/π (H) và tụ điện có điện dung C = 10 –4 /π (F) và điện trở thuần R thay đổi được. Điện áp hai đầu mạch là u 100 2 cos 100πt V. Tìm R để a) hệ số công suất của mạch là cosφ = 0,5. b) công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó. c) công suất tỏa nhiệt trên điện trở R cực đại. Tính giá trị cực đại của công suất đó. Hướng dẫn giải: Ta có LC Z 40Ω, Z 100Ω, U 100V a) Hệ số công suất của mạch là 22 LC R r R r 1 cosφ Z2 R r Z Z Thay số ta được 22 2 2 2 R 50 1 4 R 50 R 50 60 2 R 50 60 Giải phương trình trên ta được các nghiệm R cần tìm. b) Công suất tiêu thụ trên đoạn mạch đạt giá trị cực đại khi LC R r Z Z R 50 60 R 10Ω. Khi đó, công suất cực đại của mạch 22 max LC U 100 250 P W. 2 Z Z 2.60 3 c) Công suất tỏa nhiệt trên R cực đại khi 2 2 LC 2 R max 2 2 LC R r Z Z U P 2r r Z Z Thay số ta được 2 2 2 2 LC 22 R max 2 2 LC R r Z Z 50 60 10 61 Ω. U 100 P W. 100 20 61 2r 2 r Z Z Khóa học Vật lí 12–Thầy Đặng Việt Hùng Cực trị trong mạch điện xoay chiều. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - Ví dụ 3: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, biết R có thể thay đổi được. Biểu thức điện áp hai đầu mạch có dạng π u 100 2 cos 100πt V. 4 Điều chỉnh R để công suất tiêu thụ của mạch đạt giá trị cực đại và bằng 100 W. Viết biểu thức cường độ dòng điện trong mạch, biết mạch có tính dung kháng. Hướng dẫn giải: Khi công suất tỏa nhiệt trên R cực đại thì ta có LC 2 2 max LC R Z Z ZR R 50 Ω. U 100 P 100 2 Z Z 2R Khi đó, o o U 100 I 2A Z 50 1 π cosφφ 4 2 . Do mạch có tính dung kháng nên u i i ππ φ 0 φ φ φ φ . 42 Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện trong mạch là π i 2cos 100πt A. 2 BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 2: Cho mạch điện RLC có R thay đổi. Điện áp hiệu dụng hai đầu mạch điện là U. Khi R = R 1 và R = R 2 thì mạch tiêu thụ cùng một công suất (hay P 1 = P 2 ). Chứng minh rằng: a) 2 1 2 L C R R Z Z b) 12 π φφ 2 , với φ 1 , φ 2 lần lượt là độ lệch pha của u và i khi R = R 1 , R = R 2 . c) Công suất tỏa nhiệt tương ứng khi đó 2 12 12 U P P P RR Hướng dẫn giải: a) Theo giả thiết ta có P 1 = P 2 22 22 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 L C 2 1 L C 22 22 1 L C 2 L C UU I R I R R R R R Z Z R R Z Z R Z Z R Z Z 2 2 2 2 22 1 2 1 L C 2 1 2 L C 1 2 2 1 L C 2 1 1 2 L C R R R Z Z R R R Z Z R R R R Z Z R R R R Z Z b) Ta có LC 1 1 LC 2 2 ZZ tan φ R ZZ tan φ R , do 2 LC 2 1 2 L C 1 2 1 L C ZZ R R R Z Z tan φ cot φ R Z Z Từ đó ta được 12 π φ φ dpcm. 2 c) Ta có 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 L C U U U P P P I R P R R dpcm R R R R R R Z Z Khóa học Vật lí 12–Thầy Đặng Việt Hùng Cực trị trong mạch điện xoay chiều. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - Vậy mạch RLC có R thay đổi mà R = R 1 và R = R 2 thì P 1 = P 2 sẽ thỏa mãn 2 1 2 L C 12 2 12 R R Z Z π φφ 2 U P RR  Chú ý:  Trong trường hợp mạch điện bị khuyết một phần tử (hoặc L hoặc C) thì ta có các điều kiện tương tự + Với mạch R, L: 2 12 2 12 L R R Z U P RR + Với mạch R, C: 2 12 2 12 C R R Z U P RR  Các em cần phân biệt rõ hai trường hợp công suất cực đại khi R biến thiên và công suất bằng nhau. + Khi R biến thiên thì công suất cực đại là 22 22 max LC UU P Z Z R + Khi R biến thiên có hai giá trị cho P bằng nhau thì 2 22 12 2 12 12 2 2 max LC LC U P UU RR P ZZ RR Z Z R R Ví dụ 1: (Trích ĐTST Đại học 2009) Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với tụ điện. Dung kháng của tụ điện là 100 Ω. Khi điều chỉnh R thì tại hai giá trị R 1 và R 2 công suất tiêu thụ của đoạn mạch như nhau. Biết điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R 1 bằng hai lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R 2 . Các giá trị R 1 và R 2 là A. R 1 = 50 Ω, R 2 = 100 Ω. B. R 1 = 40 Ω, R 2 = 250 Ω. C. R 1 = 50 Ω, R 2 = 200 Ω. D. R 1 = 25 Ω, R 2 = 100 Ω. Hướng dẫn giải: Theo giả thiết ta có P 1 = P 2 22 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 C 2 1 C 2 2 2 2 1 C 2 C UU I R I R R R R R Z R R Z R Z R Z 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 C 2 1 2 C 1 2 2 1 C 2 1 1 2 C 1 2 R R R Z R R R Z R R R R Z R R R R Z R R 100 , (1) Mặt khác, gọi U 1C là điện áp tụ điện khi R = R 1 và U 2C là điện áp tụ điện khi R = R 2 Khi đó theo bài ta được 1 1C 2C 1 C 2 C 2 I U 2U I Z 2I Z 2 I Lại có 2 22 21 1 2 1 1 2 2 12 RI P P I R I R 4 RI , (2) Giải (1) và (2) ta được R 1 = 50 Ω, R 2 = 200 Ω. Ví dụ 2: Một mạch điện gồm một tụ điện C, một cuộn cảm L thuần cảm kháng và một biến trở R được mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu mạch điện một điện áp xoay chiều u 120 2cos 120πt V. . Biết rằng ứng Khóa học Vật lí 12–Thầy Đặng Việt Hùng Cực trị trong mạch điện xoay chiều. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 6 - với hai giá trị của biến trở R 1 = 18 Ω và R 2 = 32 Ω thì công suất tiêu thụ P trên đoạn mạch là như nhau. Công suất P của đoạn mạch có thể nhận giá trị nào ? Hướng dẫn giải: Theo chứng minh công thức ở trên ta được 22 12 U 120 P 288W. R R 18 32 Ví dụ 3: Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch là u 30 2cos(100πt)V, R thay đổi được. Khi mạch có R = R 1 = 9 Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ 1 . Khi mạch có R = R 2 = 16 Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ 2. biết 12 π φ φ . 2 a) Tính công suất ứng với các giá trị của R 1 và R 2 b) Viết biểu thức của cường độ dòng điện ứng với R 1 , R 2 c) Tính L biết 3 10 C (F). 2π d) Tính công suất cực đại của mạch. Hướng dẫn giải: a) Theo chứng minh công thức ở trên, khi 1 2 2 2 12 12 12 R R , R R U 30 P P P 36W. π R R 9 16 φφ 2 b) Ta có 12 2 L C 1 2 L C 12 R R , R R Z Z R R 9.16 144 Z Z 12Ω. π φφ 2  Khi R = R 1 = 9 Ω thì ta có tổng trở của mạch là 2 22 1 L C U Z R Z Z 9 144 15Ω I 2A. Z Độ lệch pha của u và i thỏa mãn LC u i i 1 ZZ 12 4 4 4 tanφ φ arctan φ φ φ artan R 9 3 3 3 Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện là 4 i 2 2cos 100πt artan A. 3  Khi R = R 1 = 16 Ω thì ta có tổng trở của mạch là 2 22 2 L C U Z R Z Z 16 144 20Ω I 1,5A. Z Độ lệch pha của u và i thỏa mãn LC u i i 2 ZZ 12 3 3 3 tanφ φ arctan φ φ φ artan R 16 4 4 4 Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện là 3 i 1,5 2cos 100πt artan A. 4 c) Khi 3 C 10 C (F) Z 20Ω. 2π Mà L LC L 8 L (H) Z 32Ω 25π Z Z 12Ω Z8Ω2 L (H) 25π d) Công suất cực đại của mạch khi R biến thiên được tính bởi 22 max LC U 30 P 37,5W. 2 Z Z 2.12 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Khóa học Vật lí 12–Thầy Đặng Việt Hùng Cực trị trong mạch điện xoay chiều. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 7 - Bài 1: Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch u U 2cos(ωt )V , R thay đổi được. Khi mạch có R = R 1 = 90 Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ 1 . Khi mạch có R = R 2 = 160 Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ 2. Biết rằng 12 π φ φ . 2 a) Tìm L biết C = 10 –4 /π (F) và ω = 100π rad/s. b) Tìm ω biết 4 3,2 10 L ( H ),C ( F ). π 2π Bài 2: Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch là u U 2cos(100πt )V , R thay đổi được. Khi mạch có R = R 1 = 90 Ω và R = R 2 = 160 Ω thì mạch có cùng công suất P. a) Tính C biết L = 2/π (H). b) Tính U khi P = 40 W. Bài 3: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, Hiệu điện thế hai đầu mạch là u 200 2cos(100πt )V , L = 2/π (H), C = 10 –4 /π (F). Tìm R để a) hệ số công suất của mạch là . 3 2 b) điện áp hiệu dụng giữa hai đầu điện trở là R U 50 2V. c) công suất tỏa nhiệt trên R là P = 80 W. Bài 4: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là 4 10 u 240 2cos(100πt )V ,C ( F ). π Khi R = R 1 = 90 Ω và R = R 2 = 160 Ω thì mạch có cùng công suất P. a) Tính L, công suất P của mạch. b) Giả sử chưa biết L, chỉ biết P max = 240 W và với 2 giá trị R 3 và R 4 thì mạch có cùng công suất là P = 230,4 W Tính giá trị R 3 và R 4. Giáo viên : Đặng Việt Hùng Nguồn : Hocmai.vn . Z ZZ R 2 R. R R CỰC TRỊ TRONG MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU _P1 (TÀI LIỆU BÀI GIẢNG) Giáo viên: ĐẶNG VIỆT HÙNG Khóa học Vật lí 12 Thầy Đặng Việt Hùng Cực trị trong mạch điện xoay chiều. Hocmai.vn. học Vật lí 12 Thầy Đặng Việt Hùng Cực trị trong mạch điện xoay chiều. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 5 8-5 8 -1 2 - Trang | 4 - Ví dụ 3: Cho mạch điện. học Vật lí 12 Thầy Đặng Việt Hùng Cực trị trong mạch điện xoay chiều. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 5 8-5 8 -1 2 - Trang | 6 - với hai giá trị