SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. Giải phương trình   sin 2 3cos2 2 3 sin cos 1 3x x x x      . Câu 2. a) Xét khai triển:       2 2013 0 1 2 2013 1 1 2 1 2013 x x x a a x a x a x        . Tính   2 2 2 2 1 1 2 2013 2 a     . b) Chọn ngẫu nhiên một số có 4 chữ số đôi một khác nhau. Tính xác suất để số được chọn không nhỏ hơn 2013. Câu 3. a) Cho dãy số   n u được xác định như sau: 1 2 2 1 1, 3, 2 1, 1,2, n n n u u u u u n         Tính 2 lim n n u n  . b) Cho phương trình:     3 3 1 4 3 1 0m x x x x x      ( x là ẩn, m là tham số). Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt. Câu 4. a) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng mặt phẳng   'A BD song song với mặt phẳng   ' ' .CB D Tìm điểm M trên đoạn BD và điểm N trên đoạn CD’ sao cho đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng (A’BD). b) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BB’, C’D’. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, tính theo a diện tích thiết diện đó. Câu 5. Cho , ,a b c là các hằng số thực và   3 2 P x ax bx cx   . Tìm tất cả các số , ,a b c thỏa mãn   2 26P  và   1P x  với mọi số thực x sao cho 1x  . Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………….……… …….…….….….; Số báo danh……………………