http://baigiangtoanhoc.com Các phương pháp tính tích phân ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 03: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO NGUYÊN HÀM CƠ BẢN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Các công thức tính tích phân a) ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a     b) ( ) 0 a a f x dx   c) ( ) ( ) , b b a a kf x dx k f x dx k R     d)   ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx       e) ( ) ( ) ( ) 0 a b b b a b f x dx f x dx f x dx       g) ( ) ( ) ( ) b c c a b a f x dx f x dx f x dx      h) Nếu     xgxf  ;   b,ax thì  ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx    i) Nếu   Mxfm  ;   b,ax thì ( ) b b b a a a mdx f x dx Mdx      B. VÍ DỤ MINH HỌA Vídụ 1: Tính các tích phân sau: a. I = dx 1xx 1x2 1 0 2    d. I =   3 1 23 dx x xxx g. I = 4 4 0 3 x x e dx         b. I =   2 2 3 1 2x x dx x   e. I = 1 2 0 4 xdx x   h. I = 1 2 2 0 4 x dx x   c. I = 2 2 sin7 .sin 2 x xdx     f. I = 4 2 0 sin 4 x dx           i. I = 2 4 2 (10 sin ) x x dx     Bài giải: a. I =   2 1 1 2 2 0 0 1 ln 1 ln3 1 d x x x x x x          b. I = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 (ln ) ln 2 1 ln1 2 ln 2 1 dx dx x dx x x x x x                      c. I = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 (cos5 cos9 ) cos5 cos9 2 2 2 x x dx xdx xdx                http://baigiangtoanhoc.com Các phương pháp tính tích phân ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 2 2 1 1 1 1 1 1 4 sin5 sin9 10 18 10 18 10 18 45 x x                 d. I = 3 3 3 3 2 2 1 1 1 1 ( 1) x x dx x dx xdx dx          3 3 2 1 3 2 x x x          = 9 1 1 20 9 3 1 2 3 2 3                   e. I =   2 3 1 2 2 1 0 4 1 1 1 3 ln 4 ln 2 4 2 2 4 d x x x          f. I = 4 0 1 cos 2 2 x dx                     4 4 0 0 1 1 1 1 sin 2 cos2 2 2 2 x dx x x               4 0 1 1 2 2 cos2 1 4 4 2 8 x x                g. I = 4 4 4 4 4 2 4 4 4 0 0 0 0 0 3 3 3 4 4 4 2 x x x x x xdx e dx xdx e d e                      =   24 4 0 4 28 4 e e       h. I = 1 1 1 2 2 0 0 0 4 4 1 4 4 dx dx dx x x               =    1 1 1 0 0 0 2 4 ln ln3 1 2 2 2 dx x dx x x x x                  i. I = 2 2 2 4 4 2 2 2 10 cos 36 10 sin 4ln10 10 ln10 x x x dx xdx                       Vídụ 2: Tính các tích phân sau: a. dx|1x| 2 0   b. I = 2 2 2 1 x dx    Bài giải: a. Xét biểu thức y = x – 1 trên đoạn   0;2 0 1 y x        1, 1;2 1 1 , 0;1 x x x x x             http://baigiangtoanhoc.com Các phương pháp tính tích phân ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Vậy I =     1 2 1 2 2 2 0 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 x x x dx x dx x x                                         b. Xét biểu thức y = x 2 – 1 trên đoạn   2;2  2 0 1 0 1 y x x        Vậy       2 2 2 1, 2; 1 1;2 1 1 , 1;1 x x x x x                Do đó: I =       1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 x dx x dx x dx            = 1 1 2 3 3 3 2 1 1 1 1 1 4 3 3 3 x x x x x x                            Vídụ 3: Tính các tích phân sau a. I =   16 0 x9x dx c. I =   2 1 2 9x dx b. I = dx8xx 2 0 3 32   Bài giải: a. I = 16 16 16 0 0 0 9 1 9 9 9 x x dx x dx xdx               =   16 3 3 2 2 0 1 2 1 2 . 9 . 9 3 9 3 x x   1348 27  b. I =     2 2 2 1 4 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 0 1 1 1 3 8 ( ) 8 . 8 4 3 3 3 4 x d x x dx x          c. I =    2 5 2 2 2 4 1 0 ( 9 1 3 1 2 ln ln 3 3 6 3 6 3 9 d x dx x x x x x            Vídụ 4: Tính các tích phân sau: a. I =   1 0 1x3 dxe c. I =   4 0 x2cos dxx2sine b.  e 1 2 dx x xln d. I =    1 0 x2 dx) 1x 3 e( Bài giải: a. I =   1 1 3 1 3 1 4 0 0 1 1 1 (3 1) 3 3 3 x x e d x e e e        http://baigiangtoanhoc.com Các phương pháp tính tích phân ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà b. I = 3 2 0 0 ln 1 ln (ln ) 3 3 e e x xd x    c. I =   4 cos2 cos2 4 0 0 1 1 1 1 (cos2 ) 1 2 2 2 2 2 x x e e d x e e            d. I = 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 1 ( 1) 1 1 1 1 (2 ) 3 ( 3ln 1 3ln 2 3ln 2 2 1 2 2 2 2 x x d x e e d x e x e x               Vídụ 5: Tính các tích phân sau: a. I =   2/ 0 3 xdxcosxsin b. I = dx)xsin3 xcos 4 ( 4 4 2     c. I =   4 0 2 dx 2 x sin Bài giải: a. I = 4 2 2 3 0 0 sin 1 sin (sin ) 4 4 x xd x      b. I =   4 4 4 2 4 4 4 3 2 3 2 4 3 sin 4tan 3cos 4 4 8 cos 2 2 dx xdx x x x                            c. I =   4 4 4 4 0 0 0 4 1 cos 1 1 1 cos sin 2 2 2 2 x dx dx xdx x x                     1 2 2 2 2 4 2 4 2 2                  Ví dụ 6: Chứng minh các bất đẳng thức tích phân sau đây: a. 2 dx xsin23 1 4 4 3 4 2         b. dxxsin2dxx2sin 2 0 2 0    Bài giải: a. Trên đoạn 3 ; 4 4         ta có: http://baigiangtoanhoc.com Các phương pháp tính tích phân ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 2 2 2 2 1 1 1 sinx 1 sin 1 1 3 2sin 2 1 2 2 2 3 2sin x x x              Do đó: 3 3 3 3 3 4 3 4 4 4 4 4 2 2 4 4 4 4 4 4 1 1 2 3 2sin 2 3 2sin dx dx dx dx x x x x                         2 dx xsin23 1 4 4 3 4 2         b. Trên đoạn 0; 2        , ta có: 0 cos ,sinx 1 sin2 2sin cos 2sin x x x x x      Do đó: 2 2 2 0 0 0 sin 2 2sin 2 sin xdx xdx xdx         C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1:Tính các tích phân sau đây a)   1 0 dx 1x 1 b) dx) x3 1 x4( 8 1 3 2   c) dx|1x| 2 2    d) 2 2 0 | x 2x 3| dx    e) 2 1 dx x 1 x 1     f)    3 2 2 dx 2xx 1x g) dx 2x3x x 1 0 2   h)   3 1 2 3 16x dxx i)   5 4 2 dx 9x 1 j) 1 2 0 dx x 1   k)   3 2 2 dx 1x 1 l)    1 1 5 dx 2x x ĐS: a) ln2 b) 125 c) 5d) 4 e) 1 (3 3 2 2 1) 3   f) 4 5 ln 3 1 2ln 3 2  g) 8 9 ln h) 15 7 ln84  i) 74 9 ln  j)   ln 2 1  k) )21ln(  l) 3ln32 15 526  Bài 2:Tính các tích phân sau: http://baigiangtoanhoc.com Các phương pháp tính tích phân ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà a)   1 0 x xdxe 2 b)  4 1 x dx x e c) dx xcos31 xsin 2 0    d) dx x )xsin(ln e 1  e) dx x xln1 e 1   f)    2/ 6/ 32 xdxcosxsin g)    4 0 dx x2sin21 x2cos h) dx x xln 2 e e  i)    3 4 2 xdxtg j) coxdxxsin41 6 0    k)    4 0 2 dx xcos x2sin1 m) dx xcotxsin 1 4 6 2    n) 2 0 sinxsin2xsin3xdx   ĐS: a) 2 1 e 2 1   b) e2e2 2  c) 4ln 3 1 d) 1 – cos1 e) 3 224  f) 480 47 g) 3ln 4 1 h) 3 224  i) 3 1 12    j) 6 133  k) 1 + ln2, m) 232 4  n) 6 1 Bài 3: Chứng minh các bất đẳng thức tích phân sau đây: a) 4 5 dxxsin23 2 2 4 2       b) 2 5 dx 2 x4 1 1 0 2     . pháp tính tích phân ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 03: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO NGUYÊN HÀM CƠ BẢN. j)   ln 2 1  k) )21ln(  l) 3ln32 15 526  Bài 2 :Tính các tích phân sau: http://baigiangtoanhoc.com Các phương pháp tính tích phân ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com.  ;   b,ax thì ( ) b b b a a a mdx f x dx Mdx      B. VÍ DỤ MINH HỌA Vídụ 1: Tính các tích phân sau: a. I = dx 1xx 1x2 1 0 2    d. I =   3 1 23 dx x xxx g. I = 4 4 0 3 x x