http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ôn thi ĐH BÀI GIẢNG SỐ 04: CÁC DẠNG TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN A: KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Phương trình tham số đường thẳng  Trong không gian Oxyz đường thẳng (d) qua điểm M  xo ; yo ; zo  có VTCP u  a; b; c  có phương trình:  x  xo  at  (d):  y  yo  bt , t  R  z  z  ct o  (1) Phương trình (1) gọi phương trình tham số đường thẳng Phương trình tắc đường thẳng Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số cho (1) suy ra: x  xo y  yo z  z o   a b c (2) Phương trình (2) với điều kiện a  0, b  0, c  gọi phương trình tắc đường thẳng Vị trí tương đối hai đường thẳng: Với hai đường thẳng (d1 ), (d ) có phương trình:  x  x1 y  y1 z  z1   d1  có VTCP u1  a1; b1; c1  qua M  x1 ; y1; z1    a1 b1 c1   x  x2 y  y2 z  z2   d  có VTCP u2  a2 ; b2 ; c2  qua M  x2 ; y2 ; z2     d2  : a2 b2 c2  d1  : Xét vị trí tương đối (d1 ), (d ) ta sử dụng kết sau:      u1 ; u2  M 1M         u ; u  M M   cắt      a1 : b1 : c1  a2 : b2 : c2    d1   d2  đồng phẳng   d1   d2   d1   d2  song song với  a1 : b1 : c1  a2 : b2 : c2   x1  x2  :  y1  y2  :  z1  z2    d1   d  trùng  a1 : b1 : c1  a2 : b2 : c2   x1  x2  :  y1  y2  :  z1  z2     d1   d2  chéo      u1 ; u2  M 1M    B: CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng khơng gian  Bài tốn 1:Lập phương trình đường thẳng qua điểm M  xo ; yo ; zo  có VTCP u  a; b; c  Phương pháp:  Bước 1: Tìm vectơ phương u ( chưa có sẵn) Bước 2: Phương trình tham số là: Hoặc phương trình tắc là:  x  xo  at   y  yo  bt , t  R  z  z  ct o  x  xo y  yo z  z o   a b c Ví dụ 1: Viết phương trình tham số đường thẳng (d), biết đường thẳng (d) qua điểm  A 1; 2;3 có VTCP u  2; 1;0  Bài giải:  Đường thẳng (d) qua A 1; 2;3 nhận u  2; 1;0  VTCP nên có phương trình tham số  x   2t  (d):  y   t , t  R z   Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B Phương pháp:    Bước 1: Tìm VTCP u  AB   Bước 2: Viết phương trình đường thẳng qua A ( B ) có VTCP AB ( dạng tham số tắc) Ví dụ 2: Viết phương trình tắc đường thẳng (d), biết (d) qua hai điểm A  2;1; 3  , B  3; 1;5  Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích không gian ôn thi ĐH Bài giải:   Ta có: AB  1; 2;8    (d) qua hai điểm A B nên nhận AB VTCP   Đường thẳng (d) qua A (2; 1; -3) nhận AB  1; 2;8  VTCP nên có phương trình tắc là: (d): x  y 1 z    2 Bài tốn 3:Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm vng góc với mặt phẳng Phương pháp:  Bước 1: Tìm VTPT n mặt phẳng cho   Bước 2: (d) có VTCP u  n Bước 3: Áp dụng tốn Ví dụ 3: Cho ba điểm A 1;0;2  , B  0;3;2  , C 1; 4; 1 Lập phương trình đường thẳng (d) vng góc với mặt phẳng  ABC  A Bài giải:    Ta có: AB   1;3;0  , AC   0; 4; 3      30 1 1  Gọi n VTPT (ABC) Khi n   AB; AC    ; ;    9; 3; 4     3 3 0   Vì đường thẳng (d) vng góc với mp (ABC) nên (d) nhận VTPT n (ABC) VTCP  Đường thẳng (d) qua A (1; 0; 2) nhận n   9; 3; 4  VTCP nên có PTTS là: Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tn –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH  x   9t  (d):  y   3t , t  R  z   4t  Bài tốn 4: Lập phương trình đường thẳng (d) qua điểm A song song với đường thẳng (d’)( song song với hai mặt phẳng cắt nhau) Phương pháp:  Bước 1: Tìm VTCP u ' (d’)   Bước 2: VTCP (d) u  u ' Bước 3: Áp dụng loại Ví dụ 4: Cho ba điểm A 1;0;  , B  3; 1;0  , C  1;1; 2  Lập phương trình đường thẳng (d) qua A song song với đường thẳng BC Bài giải:   Đường thẳng BC có VTCP BC   4;2; 2    Đường thẳng (d) song song với BC nên nhận BC VTCP   Đường thẳng (d) qua A (1; 0; 2), nhận BC   4;2; 2  VTCP nên có PTCT là: (d): x 1 y z    4 2 Ví dụ 5: Lập phương trình đường thẳng    qua điểm I 1;1;1 song song với hai mặt phẳng   : x  y  z   0,    : x  y  z  Bài giải:         Gọi n , n VTPT mặt phẳng       n   2; 1;3 , n  1;1;1  Gọi u VTCP đường thẳng       u  n       1 3 2 1   Vì    song song với      nên     u   n ; n    ; ;     1 11 11  u  n    Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH   4;1;3  Đường thẳng    qua I 1;1;1 , có u   4;1;3 VTCP nên có PTTS là:  x   4t  :  y  1 t ,t  R   z   3t  Bài tốn 5: Lập phương trình đường thẳng  d  qua điểm A vng góc với hai đường thẳng  d1  ,  d  ( không song song không trùng ) Phương pháp:    Bước 1: Tìm VTCP u1 , u2  d1  ,  d      Bước 2: Tìm VTCP đường thẳng (d): u  u1; u2    Bước 3: Áp dụng loại Ví dụ 6: Viết phương trình tắc (d) qua M 1;1;5  vng góc với hai đường thẳng x  1 t x y  z 1   d1  :  y   2t , t  R  d  :   2 z   t  Bài giải:        Gọi u , u1 , u2 VTCP  d  ,  d1  ,  d   u1  1; 2;1 , u2   2;3;5  Vì (d) vng góc với hai đường thẳng  d1  ,  d  nên :        21 1 2 u  u1  ; ;      u  u1 ; u2       7; 7;7    u  u2  5 2 2    Chọn u  1; 1;1  Đường thẳng (d) qua M 1;1;5  , có VTCP u  1; 1;1 nên có PTCT là: Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com (d): Khóa học: Hình học giải tích không gian ôn thi ĐH x 1 y 1 z    1 Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A cắt hai đường thẳng (d1 ), (d ) cho trước Phương pháp: Bước 1: Chuyển (d1 ), (d ) dạng tham số Bước 2: Gọi (d) cắt (d1 ), (d ) B, C Khi tọa độ B Ctheo thứ tự thỏa mãn phương trình (d1 ), (d )    Bước 3: A, B, C thẳng hàng  AB  k AC Từ tìm tọa độ B (hoặc C)    Bước 4: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A có VTCP AB ( AC ) Ví dụ 7: Cho hai đường thẳng sau:  d1   x 1 y  z  x  y 1 z 1   ,  d2  :   1 2 Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A (3; -1; 4) cắt hai đường thẳng (d1 ), (d ) Bài giải: x  1 t  Phương trình tham số (d1 ) là:  y   2t , t  R  z  2  t   x   3t '  Phương trình tham số (d ) là:  y   t ' , t '  R  z   2t '  Giả sử (d) cắt (d1 ), (d ) B C  B  (d1 ), C  (d )  B 1  t;3  2t ; 2  t  , C   3t ';1  t ';1  2t '     Vì (d) qua A cắt (d1 ), (d ) B C nên ba điểm A, B, C thẳng hàng  AB  k AC Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com   Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH  Ta có: AB   t  2;  2t; t   , AC   3t ' 1;  t '; 3  2t ' t   k  3t ' 1     t  t '   AB  k AC  2t   k   t '     AC   1;2; 3 k   t   k  3  2t '  Đường thẳng (d) qua A (3; -1; 4) nhận AC   1; 2; 3 VTCP nên có PTTS x   t  d  :  y  1  2t , t  R   z   3t  Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng  d1  ( vng góc với mặt phẳng (P)), cắt hai đường thẳng (d ), (d ) chéo cho trước Phương pháp:  Bước 1: Tìm VTCP u1  d1  Bước 2: Lập phương trình mp (P) chứa  d  song song với  d1  Bước 3: Xác định giao điểm A  d3  (P)  Bước 4: Lập phương trình đường thẳng (d) qua A có VTCP u1 x   Ví dụ 8: Lập phương trình đường thẳng    song song với  d1  :  y  2  4t z  1 t  x  1 t '  x  4  5t ''   cắt hai đường thẳng  d  :  y  2  4t ',  d  :  y  7  9t ''  z   3t '  z  t ''   Bài giải:       Gọi VTCP (d1 ), (d ) u1 , u2  u1   0; 4; 1 , u2  1; 4;3 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích không gian ôn thi ĐH  Gọi (P) mặt phẳng chứa  d  song song với  d1  n VTPT (P)       n  u1       n  u1 ; u2   16; 1; 4      n  u2  Mặt phẳng (P) chứa  d  nên điểm M (1; -2; 2)  ( P )  Vậy mặt phẳng (P) qua M (1; -2; 2) có VTPT n  16; 1; 4  nên có phương trình là: 16  x  1  1 y     z     16 x  y  z  10  Gọi A giao điểm  d3  (P)  A nghiệm hệ phương trình  x  4  5t ''  y  7  9t ''   16  4  5t ''   9t '' 4t '' 10    z  t '' 16 x  y  z  10    67t ''  67  t ''   A 1;2;1 x    Đường thẳng (d) qua A 1;2;1 có VTCP u1   0; 4; 1 nên có PTTS là:  d  :  y   4t z  1 t  Bài toán 8: Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A, vng góc với  d1  cắt  d  chéo cho trước Phương pháp: Bước 1: Lập phương trình mp (P) qua A vng góc với  d1  Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm B  d  (P) - Nếu không tồn giao điểm Kết luận vô nghiệm Nếu có vơ số giao điểm Kết luận có vơ số đường thẳng (P) qua A cắt  d  - Nếu có nghiệm thực bước ba - Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH   Bước 3: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A có VTCP AB Ví dụ 9: Lập phương trình đường thẳng    qua A (0; 1; 1) vng góc với  x  1 x 1 y  z    cắt  d  :  y   t  d1   1 z   t  Bài giải:   d1  có VTCP u1   3;1;1 Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với  d1  nên (P) nhận VTCP  d1  VTPT  Vậy phương trình mặt phẳng (P) qua A (0; 1; 1) có VTPT u1   3;1;1 là: (P): x  y  z   Gọi B giao điểm  d  (P) Khi B nghiệm hệ phương trình  x  1  y  1 t   z   t 3 x  y  z     3   t   t    2t   t    Vậy B  1; 2;3  AB   1;1;    Đường thẳng    qua A (0; 1; 1) có VTCP AB   1;1;  có PTCT là: x y 1 z    1 Bài tốn 9: Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A vng góc cắt đường thẳng    cho trước Phương pháp: Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích không gian ôn thi ĐH Bước 1: Nhận xét đường thẳng (d) cần tìm qua hình chiếu vng góc H A  Bước 2: Xác định tọa độ H cách: - Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với    - H      ( P)  Bước 3: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A có VTCP AH x   Ví dụ 10: Cho điểm M 1; 2; 1 đường thẳng (d):  y  t z  1 t  a Xác định tọa độ hình chiếu vng góc M đường thẳng (d) Từ suy tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua (d) b Lập phương trình đường thẳng qua M vng góc với (d) cắt (d) Bài giải: a Gọi (P) mặt phẳng qua M vuông góc với đường thẳng (d) Khi (P) nhận VTCP  u  0;1; 1 (d) VTPT  Vậy mặt phẳng (P) qua M 1; 2; 1 có VTPT u  0;1; 1 có phương trình là: y  z 3  Gọi H hình chiếu vng góc M đường thẳng (d) Khi H giao điểm (d) (P) x  y  t  Tọa độ H nghiệm hệ phương trình:   2t   t   H  2; 2; 1 z  1 t y  z    Vì M’ đối xứng với M qua (d) nên H trung điểm MM’ xM  xM '   xH   xM '  xH  x M  xM '   yM  yM '      yH    yM '  yH  yM   yM '  Vậy M '   3; 2; 1   z  2z  z  z  1  M' H M  M' zM  zM '  zH    Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH   b Phương tình đường thẳng    qua M 1; 2; 1 có VTCP MH 1;0;0  nên có PTTS là: x  1 t   :  y  , t  R   z  1  Bài toán 10: Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng (d) mặt phẳng Trên mặt phẳng tọa độ Phương pháp:  x  xo  at  Bước 1: Chuyển (d) dạng tham số  y  yo  bt , t  R  z  z  ct o  Bước 2: Khi đó:  x  xo  at   Hình chiếu vng góc (d) lên (Oxy) có phương trình  y  yo  bt , t  R z   x    Hình chiếu vng góc (d) lên (Oyz) có phương trình  y  yo  bt , t  R  z  z  ct o   x  xo  at   Hình chiếu vng góc (d) lên (Oxz) có phương trình  y  ,t  R  z  z  ct o  Trên mặt (P) Phương pháp: Bước 1: Lấy điểm A   d  Từ xác định tọa độ điểm H hình chiếu Atrên (P) Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tn –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH Bước 2: Phương trình hình chiếu vng góc (d) (P) đường thẳng qua H song song với (d) Ví dụ 11: Lập phương trình đường thẳng    hình chiếu vng góc đường thẳng  x  4t  d  :  y   3t mặt phẳng (P): x – y + 3z + =   z  1  2t  Bài giải:  Gọi VTCP (d) u   4;3; 2  điểm A  0; 4; 1  (d )  Đường thẳng qua A vng góc với (P) nên nhận VTPT n  1; 1;3 mp (P) VTCP  Phương trình đường thẳng qua A  0;4; 1 nhận n  1; 1;3 VTCP nên có PTTS là: x  t  y   t  z  1  3t  Gọi H hình chiếu vng góc A (P) Khi tọa độ H nghiệm hệ phương trình: x  t y   t 10   t   t   9t    11t  10  t   11  z  1  3t x – y  3z     10 54 41  H ; ;   11 11 11  Phương trình hình chiếu vng góc (d) lên mp (P) đường thẳng qua A song song với  (d) nên có VTCP u   4;3; 2  Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH 10  x  4t  11  54  Vậy phương trình cần tìm là:    :  y   3t 11  41   z   11  2t  Bài toán 11: Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng  d1   d  Phương pháp: Bước 1: Giả sử A, B theo thứ tự chân đường vng góc chung  d1   d  Bước 2: Chuyển phương trình  d1   d  dạng tham số, suy tọa độ A, B theo phương trình tham số  d1   d           d    d1    AB  u1  AB.u1  Bước 3: Từ điều kiện:           t , u  tọa độ A, B      d    d   AB  u2  AB.u2       Bước 4: Viết phương trình đường vng góc chung  d1   d  qua A có VTCP AB x  1 t  Ví dụ 12: Trong Oxyz cho hai đường thẳng  d1  :  y   z  5  t  x   d  :  y   2t '   z   3t '  a Chứng minh hai đường thẳng chéo b Lập phương trình đường vng góc chung     d1   d  Bài giải:    a Gọi VTCP  d1   d  u1  1;0;1 , u2   0; 2;3 Lấy M 1;0; 5    d1  , M  0; 4;5    d      Ta có: u1; u2    2; 3; 2  , M 1M   1; 4;10        Xét: u1; u2  M 1M  2  12  20  34    Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tn –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH Vậy hai đường thẳng  d1   d  chéo b Giả sử A, B theo thứ tự chân đường vng góc chung  d1   d     A 1  t ;0; 5  t  , B  0;  2t ';5  3t '   AB   1  t ;4  2t ';10  3t ' t           d    d1    AB  u1  AB.u1  Vì               d    d   AB  u2  AB.u2      1  t  10  3t ' t  3t ' 2t   t '  1     8  4t ' 30  9t ' 3t  13t ' 3t  22  t   A  4;0; 2  , B  0;6;2    Đường thẳng    qua A (4; 0; -2) có VTCP AB =(-4; 6; 4) có phương trình là: x4 y z2   4 Dạng 2: Vị trí tương đối hai đường thẳng Phương pháp: Với hai đường thẳng (d1 ), (d ) có phương trình:  d1  :  x  x1 y  y1 z  z1   d1  có VTCP u1  a1; b1; c1  qua M  x1 ; y1; z1    a1 b1 c1  d2  :   x  x2 y  y2 z  z2   d  có VTCP u2  a2 ; b2 ; c2  qua M  x2 ; y2 ; z2    a2 b2 c2 Xét vị trí tương đối (d1 ), (d ) ta thực bước sau: Bước 1: Thực hiện:  - Với đường thẳng  d1  VTCP u1 điểm M   d1  - Với đường thẳng  d  VTCP u2 điểm M   d    Bước 2: Kiểm tra:     - Nếu u1 , u2 , M 1M phương kết luận (d1 ), (d ) trùng - Nếu u1 , u2 phương không phương với M 1M kết luận (d1 ), (d ) song song    với Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tn –Vũ Thanh Hà  http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH    - Nếu u1 , u2 không phương , thực bước     Bước 3: xét: u1 ; u2  M1M Khi đó:       - Nếu u1; u2  M 1M  kết luận (d1 ), (d ) cắt   - Nếu u1; u2  M1M  kết luận (d1 ), (d ) chéo        x  2t  x  u    Ví dụ 13: Cho hai đường thẳng  d1  :  y  t   d  :  y  3  2u  z  3t   z  3u    Chứng hai đường thẳng chéo Bài giải:  d1  có VTCP  u1   2;1;3 điểm M 1; 2; 3   d1   d2  có VTCP   u2  1;2;3 điểm M  2; 3;1   d      Ta có: u1; u2  M1M   3; 3;31; 5;   24    Vậy (d1 ), (d ) chéo Dạng 3: Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Phương pháp: Bước 1: Xét hệ phương trình tạo (d) (P) Bước 2: Biện luận: - Nếu hệ vơ nghiệm,  d   ( P)    (d ) / /( P) - Nếu hệ có nghiệm nhất, - Nếu hệ có vơ số nghiệm,  d   ( P )  d   ( P )  A , với A nghiệm hệ Ví dụ 14: Biện luận theo m vị trí tương đối mặt phẳng (P) đường thẳng (d) biết: Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH  x  2  t  P  : m x  y  z   3m  (d):  y   2t , t  R   z   3t  Bài giải: Thay x, y, z từ phương trình (d) vào phương trình (P) ta được: m  2  t   1  2t    3t   3m    m2  1 t  2m  3m  (1) a Nếu m2    m  1 Với m = 1, ta có 1  0t  Vậy phương trình nghiệm với t  R   d    P  Với m = - , ta có 1  0t  6 Vậy phương trình vơ nghiệm   d  / /  P  2m  m 1 3m  m  17   Vậy (d) cắt (P) tai điểm A  ; ;  m 1 m 1   m 1 b Nếu m    m  1 Khi 1  t   3m  m  17  KL: Vậy với m  1 (d) cắt (P) A  ; ;  m 1 m 1   m 1 Với m =  d    P  Với m = -1  d  / /  P  Dạng 4: Chuyển dạng phương trình đường thẳng  x  xo  at  Với (d) cho dạng tham số  y  yo  bt , t  R  z  z  ct o  (1) a Bằng cách khử t từ (1) ta nhận phương trình tổng quát đường thẳng (d), cụ bx  bx0  ay  ay0 cx  cx0  az  az0 thể: 1   Đó phương trình tổng qt (d) b Bằng cách rút t từ hệ ta nhận phương trình tắc (d), cụ thể: Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích không gian ôn thi ĐH  x  x0  a t  y  y0 x  xo y  yo z  zo t   1    a b c  b  z  z0  c t  Đó phương trình tắc (d) Với (d) cho dạng tắc (d ) : a Quy đồng, x  xo y  yo z  zo   a b c khử mẫu ta nhận (1) phương trình tổng quát (d) bx  bx0  ay  ay0 cx  cx0  az  az0 1   Đó phương trình tổng qt (d) b Bằng cách đặt x  xo y  yo z  z o   =t ta phương trình tham số a b c  x  x0  a t  y  y0  t  (d): 1     b  z  z0  c t   x  xo  at   y  yo  bt , t  R  z  z  ct o  Đó phương trình tham số (d)  A1 x  B1 y  C1 z  D1   A2 x  B2 y  C2 z  D2       Bước 1: Gọi u VTCP (d) u   n1; n2    Với (d) cho dạng tổng quát (d):  Bước 2: Tìm điểm M  x0 ; y0 ; z0   (d )  Bước 3: Vậy ta có (d) qua M có VTCP u Từ có PTTS PTCT (d) B: BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho bốn điểm A(1; 2; 3), B(2; 2; 2), C(4; 1; 1) D(4; 1; 4) a Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh hình tứ diện Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tn –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH b Viết phương trình tham số đường cao tứ diện ABCD hạ từ D c Tìm tọa độ hình chiếu H D mặt phẳng (ABC) ĐS:     a  AB; AC  AD    x   t  b  y   t , t  R z   t  c H  3;0;3  Bài 2:Cho điểm M(1; -1; 2) hai mặt phẳng  P1  ,  P2  có phương trình  P1  : x  y  z   0,  P2  : x  y  z   a Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M song song với hai mặt phẳng  P1  ,  P2   x   6t  ĐS:  d  :  y  1  4t , t  R z   t  b Viết phương trình hình chiếu vng góc (d) mặt phẳng tọa độ  x  11  6t x   x  11  6t    ĐS:  dOxy  :  y   4t ,  dOyz  :  y   4t ,  d Oxz  :  y  z  z  t z  t    Bài 3:Viết phương trình hình chiếu đường thẳng d : + y +z -7 = x 1 y  z    lên mặt phẳng (P): x   x   2t  1  ĐS:  y   3t   14 z   t  Bài 4: Tìm hình chiếu H điểm A(1; 0; -4) lên đường thẳng  d  : Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà x 1 y  z   1 2 http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH 1 2 ĐS: H  ; ;  3 3 Bài 5: Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A(3; -3; 4) qua mặt phẳng  P  : x  y  z   ĐS: A’=(-1; 1; 2) Bài 6: Viết phương trình đường thẳng vng góc với mặt phẳng  P  : 3x  y  z  cắt hai đường thẳng  d1  : x 1 y  z  x  y 1 z    ,  d2  :   1 2  x   3t  ĐS:  d  :  y   3t  z  1  4t  Bài 7: Cho M(2; 2; 1) hai đường thẳng  d1  ,  d  có phương trình  d1  : x y 1 z  x 3 y 2 z   ,  d2  :   2     a Chứng minh hai đường thẳng  d1  ,  d  chéo nhauĐS: u1; u2  M 1M  11    b Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc với  d1  cắt  d  x   t  ĐS:  y  z  1 t  x   t  Bài 8: Cho mp (P): x + 2y + 3z – = đường thẳng (d): y  z  1  t  a Tìm toạ độ giao điểm A (d) mp (P) ĐS: A(0; 2; 0) b Viết phương trình đường thẳng () nằm (P) qua A vng góc với (d) x ĐS:    :  y2 z  2 Bài 9: Xét vị trí tương đối đường thẳng (d) mặt phẳng (P) biết: Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tn –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH  x   3t  a  d  :  y   2t , t  R ( P ) : x  y  z    z   4t  b (d ) : ĐS:  d    P  x2 y4 z2   ( P ) : x  y  z   ĐS:  d    P   A, A 1;1;1 Bài 10: Cho mặt phẳng (P) đường thẳng (d) có phương trình:  P  : mx  y  z   0,  d  : x 2 y 3 z 4   Tìm giá trị m để a (d) // (P) ĐS: m = -13 b  d    P  ĐS: m = Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà ...http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ôn thi ĐH Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng khơng gian  Bài tốn 1 :Lập phương trình đường thẳng qua điểm M  xo...  Lập phương trình đường thẳng (d) qua A song song với đường thẳng BC Bài giải:   Đường thẳng BC có VTCP BC   4;2; 2    Đường thẳng (d) song song với BC nên nhận BC VTCP   Đường. ..  y   t , t  R z   Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B Phương pháp:    Bước 1: Tìm VTCP u  AB   Bước 2: Viết phương trình đường thẳng qua A ( B ) có VTCP