Khoá học tích phân ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Page 1 Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 07: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I. Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng: Dạng 1: Áp dụng trực tiếp công thức Phương pháp: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường g(x) y f(x), y b, x a, x     với a b  là ( ) ( ) b a S f x g x dx    Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 3 , 2 1 x y y x    Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là: 3 2 1 x x   0 1 x x       Diện tích hình phẳng cần tìm là: 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 3 2 1 ( 3 2 1) 3 2 x x x S x dx x dx dx xdx dx                 1 2 0 3 3 1 2 2 2 ln3 ln3 ln3 ln3 x x x                 Ví dụ 2: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( 1) , (1 ) x y e x y e x     Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là: ( 1) (1 ) ( ) 0 x x e x e x e e x       0 1 x x       Diện tích hình phẳng cận tìm là: 1 1 1 1 0 0 0 0 ex ( ex) x ex x x x S xe dx xe d dx xe dx            Ta có: 1 1 2 0 0 ex 2 2 e e xdx    1 1 1 1 0 0 0 0 1 x x x x xe xe e dx e e        Khoá học tích phân ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Page 2 Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Vậy 1 2 e S   (đvdt) Bài 1: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau a) 2 2 4, 4 y x x y x      b) 2 2 2 2, 3 y x x y x x        c) 2 1 , , 1 x x y y e x e      d) ln , 0 y x y   và x e  e) Parabol 2 6 8, y x x     tiếp tuyến tại đỉnh của Parabol và trục tung. ĐS: a) 9 2 b) 11 24 c) 2 1 1 3 2 2 e e   d) 1 e) 9 Dạng 2: Dựa vào đồ thị để tính diện tích hình phẳng Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 2 4 3 , 3 y x x y x      Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là 2 4 3 3 x x x     (1) TH1: 1 < x < 3   2 (1) 4 3 3 x x x       2 3 6 0 x x     ( vô nghiệm ) TH2: 3 1 x x      2 2 0 (1) 4 3 3 5 5 x x x x x x x              Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên, ta luôn có:             1 3 5 2 2 2 0 1 3 3 4 3 3 4 3 3 4 3 S x x x dx x x x dx x x x dx                               = 1 3 5 2 2 2 0 1 3 ( 5 ) ( 3 6) ( 5 ) x x dx x x dx x x dx            = 1 3 5 3 2 3 2 2 2 0 1 3 5 3 5 6 3 2 3 2 2 2 x x x x x x x                           = 257 6 Khoá học tích phân ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Page 3 Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 2 2 8 , , 8 x y x y y x    Giải: Phương trình hoành độ giao điểm +) 2 2 2 2 8 0 8 x x x x x      +) 2 3 8 8 2 x x x x      +) 2 8 4 8 x x x    Gọi S là diện tích giới hạn bởi 3 đồ thị 2 4 2 2 2 0 2 8 8 8 x x S x dx dx x                    2 4 3 3 3 0 2 8ln 8ln2 3 24 24 x x x x                  Bài 2: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau a) 2 1 , 5 y x y x     b) 2 , 2 y x y x    c) 2 , 2 , 0 y x y x y     d) 2 2 2 , 2 2 y x y x x       e) 3 2 4 , 3 x y x y      f) 2 4 y x x   ( C) và tiếp tuyến của đường cong (C) qua 5 ;6 2 M       ĐS: a) 73 3 S  b) 20 3 S  c) 5 6 d) 38 3 S  e) 3 2 2 0 2 4 3 x S x dx            f) HD: Tiếp tuyến của (C) qua M là: 1 2 ( ): 2 1, ( ) : 4 16 d y x d y x     vẽ đồ thị 9 4 S   Bài 3: Chứng minh rằng với mọi m thì đồ thị hàm số 2 1 y x   luôn cắt đường thẳng 2 y mx   tại hai điểm phân biệt. Tìm m để phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường trên là nhỏ nhất ĐS: m = 0, min 4 3 S  Khoá học tích phân ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Page 4 Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Bài 4: Xét hàm số 2 y x  trên đoạn   0;1 . Giả sử m là một giá trị bất kì thuộc   0;1 . Gọi S 1 là diện tích giới hạn bởi các đường 0 x  , 2 y m  và 2 y x  , S 2 là diện tích giới hạn bởi các đường 2 2 , y x y m   và 1 x  . CMR với mọi giá trị của   0;1 m ta đều có 1 2 1 2 4 3 S S    . Bài 5: Cho hàm số 4 2 4 y x x m    . Cho biết đồ thị cắt Ox tại 4 điểm phân biệt sao cho diện tích hình phẳng ở phần trên Ox giới hạn bởi đồ thị bằng diện tích hình phẳng ở phần dưới Ox ĐS: 20 9 m  II. Thể tích tròn xoay Dạng 1: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Ox Phương pháp: 1) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường f(x) y 0, y b, x a, x     với . a b  Khi hình phẳng này quay xung quanh Ox sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có thể tích là   2 ( ) b a V f x dx    . 2) Nếu D là miền giới hạn bởi 2 đường ( ) ( ) y f x y g x a x b          1 2 V V V    2 1 1 ( ) ( ) ( ): 0 b a y f x V f x dx D y a x b             2 2 2 ( ) ( ) ( ) : 0 b a y g x V g x dx D y a x b             Nhận xét: Nếu bài toán không cho a, b thì ta xét phương trình hoành độ giao điểm Ví dụ 5: Tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh trục Ox (D): 2 2 ( 2) 1. x y    Giải: Hoành độ giao điểm của (D) và Ox là nghiệm của hệ: Khoá học tích phân ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Page 5 Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà   2 2 2 1 1 0 x y x y             Ta có:     2 1 2 2 1 2 1 2 1 : 0 2 1 1 1 y x D y V x dx x                          2 1 2 2 2 2 1 2 1 : 0 2 1 1 1 y x D y V x dx x                      1 2 1 2 1 8 1 V V V x dx        Đặt cos sin x t dx tdt     Đổi cận: 1x t      1 0 x t      0 2 2 0 0 0 1 os2 8 1 os sin 8 sin 8 4 1 os2 2 c t V c t tdt tdt dt c t dt                  0 0 0 1 4 os2 4 sin 2 4 2 dt c tdt t t                        Ví dụ 6: Tính thể tích tròn xoay sinh bởi các đường sau khi quay quanh Ox:  y x , y = x và x = 5 Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm 0 x x x x     0 1 x x       Ta có:   1 1 2 1 1 0 0 : 0 2 2 0 1 y x x D y V xdx x                    1 1 3 2 2 2 0 0 : 0 3 3 0 1 y x x D y V x dx x                  Khoá học tích phân ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Page 6 Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Vậy   5 2 1 2 1 88 59 2 3 3 2 V V V x x dx               Bài 6: Tính thể tích tròn xoay giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh 0x a) y x  ln x , 0, 1, y x x e    b) y x  sin x , 0, 0, 2 y x x     c) 4 4 sin os , 0, , 2 y x c x y x x        d)   3 ln 1 , 1, 0 y x x x y     e). 2 2 6 ; 4 8 y x x y x x       ĐS: a) 3 (5 2) 27 e V    b) 4 2 6 48 V     c)   2 4 4 2 3 sin os 8 V x c x dx         d) 2 ln 2 3 3 V     e) 4 2 2 1 1 978 ( 6 ) 5 V x x dx        , 4 2 2 2 1 393 ( 4 8) 5 V x x dx        1 2 117 V V V      Bài 7: Cho parabol (P): y = x 2 . Gọi (d) là tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2. Gọi (H) là hình giới hạn bởi (P), (d) và trục hoành. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) khi quay quanh trục Ox. ĐS: (d): y = 4x – 4 2 4 1 0 32 5 V x dx      , 1 2 2 0 32 (4 4) 3 V x dx       1 2 32 32 3 5 V V V        Dạng 2: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Oy Phương pháp: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = a, y = b, x = 0, x = g(y) với . a b  Khi hình phẳng này quay xung quanh Oy sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có thể tích là   2 ( ) b a V g y dy    Ví dụ 7: Tính thể tích tròn xoay giới hạn bởi các đường 2 2 , 0 y x x y     khi quay quanh Oy Giải: Ta có: 2 2 2 2 1 1 y x x x x y           2 1 1 x y     đk : 1 0 1 y y     ) Khoá học tích phân ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Page 7 Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 1 1 1 1 1 1 1 1 x y x y x y x y                        Gọi (D 1 ) là miền giới hạn bởi các đường 1 2 1 0 1 1 0 (1 1 ) 0 1 x y x V y dy y                  Gọi (D 2 ) là miền giới hạn bởi các đường 1 2 2 0 1 1 0 (1 1 ) 0 1 x y x V y dy y                  1 1 2 0 2 1 V V V ydy        Đặt 2 1 1 2 y t y t dy tdt         Đổi cận: Với 0 1 y t    , 1 0 y t    1 1 3 2 0 0 4 2 2 4 3 3 t V t dt         Bài 8: Tính thể tích tròn xoay của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh 0y a) 2 2 ; y x x y   ; b) ; 2 ; 0 y x y x y     ; c)   2 2 2 1 x y    ĐS: a) 3 10 V   b) 18 V   c) HD: 2 1 2 1 0 1 1 x y x V y                , 2 2 2 1 0 1 1 x y x V y                 4 V   . học tích phân ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Page 1 Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 07: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I. Ứng dụng của tích phân để.  II. Thể tích tròn xoay Dạng 1: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Ox Phương pháp: 1) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường f(x) y 0, y b, x a, x     với . a b  Khi hình phẳng này. S    . Bài 5: Cho hàm số 4 2 4 y x x m    . Cho biết đồ thị cắt Ox tại 4 điểm phân biệt sao cho diện tích hình phẳng ở phần trên Ox giới hạn bởi đồ thị bằng diện tích hình phẳng ở phần