" Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng không gian " ĐẶT VẤN ĐỀ Năm học 2009-2010 năm học tiếp tục thực vận động “ Học tập làm theo gương đạo đức Hồ Chí Minh”; “ Hai không”; “ Mỗi thầy, cô giáo gương đạo đức, tự học sáng tạo” ; với chủ đề " Năm học đổi quản lý nâng cao chất lượng giáo dục " với phong trào xây dựng " Trường học thân thiện, học sinh tích cực " Nghị TW khóa VIII khẳng định " Đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ chiều, rèn luyện nếp tư cho người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, đại vào q trình dạy học " Do q trình dạy học địi hỏi đội ngũ thầy giáo phải tích cực học tập; khơng ngừng nâng cao lực chuyên môn; đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; bồi dưỡng khả tự học, sáng tạo; khả vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại say mê, hứng thú học tập cho em Trong trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh cịn gặp nhiều lúng túng tìm tọa độ điểm viết phương trình đường thẳng khơng gian thỏa mãn tính chất đó; việc vận dụng quan hệ vng góc, song song em vào tốn cịn nhiều hạn chế Hơn nữa, kể từ học sinh học sách giáo khoa theo chương trình phân ban phương trình tổng qt đường thẳng khơng gian khơng sử dụng nên tốn dạng" Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng khơng gian" chủ yếu sử dụng phương trình tham số đường thẳng Với suy nghĩ xin trình bày số kinh nghiệm vể việc sử dụng phương trình tham số đường thẳng vào giải tốn: " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng khơng gian" nhằm trao đổi với thầy, cô giáo; đồng thời giúp em học sinh 12 ôn tập nâng cao chất lượng học tập -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng khơng gian " CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong phần phương pháp tọa độ khơng gian phải “Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng khơng gian ” Ngoài việc sử dụng kiến thức sách giáo khoa ta nên ý đến tính quan hệ vng góc, song song tính đối xứng của: hai điểm, điểm đường, đường mặt kết hợp với tọa độ điểm theo phương trình tham số đường vào tốn Khi tốn hình học đơn giản “đại số hóa” nên học sinh tiếp cận nhanh cách giải toán gọn gàng CƠ SỞ THỰC TIỄN Sau nghiên cứu áp dụng vào tiết dạy học cho học sinh Tôi thấy học sinh hứng thú gặp dạng toán đa số học sinh biết cách vận dụng để giải tốn đó, đồng thời qua cách giải em cịn đưa tốn tương tự, tốn Qua bồi dưỡng cho em niềm say mê học tập; khả tự học; phát huy tính tích cực học tập, khả sáng tạo học sinh NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng khơng gian " -Trên sở kiến thức trình bày SGK Hình học 12 vận dụng tính chất: Trong khơng gian đường thẳng d có phương trình tham số:  x = x + at   y = y + bt điểm M ∈ d có tọa độ dạng M ( x0 + at ; y + bt ; z + ct )  z = z + ct  Tuy nhiên, với tốn cụ thể địi hỏi học sinh cần phải có lượng kiến thức định kết hợp để giải toán A Các tốn hình chiếu vng góc: Bài tốn 1: Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M(6; -1; -5) mp(P): 2x + y -2z - = Nhận xét: Bài toán ta viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với mp(P) hình chiếu H giao điểm d mp(P) Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M vng góc với mp(P) có phương M d  x = + 2t  trình:  y = −1 + t  z = −5 − 2t  H Gọi H = d ∩ (P) Ta có H ∈ d ⇒ H(6 + 2t; -1 +t; -5-2t) P Vì H∈ (P) ⇔ 2(6+2t) + (-1+t) - 2(-5-2t) - = ⇔ t = -2 Vậy H(2; -3; -1) Bài tốn 2: Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d:  x = + 4t   y = −1 − 2t (t ∈ R )  z = −5 + 3t  mp(P): 2x + y - 2z - = Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy M ∈ d, tìm hình chiếu M (P), hình chiếu đường thẳng d mp(P) đường thẳng qua H song song với d -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng khơng gian " -M d Hướng dẫn giải: Ta có: d qua điểm M(6; -1; -5), có VTCP u = (4; -2; 3) mp(P) có VTPT n = (2; 1; -2) H u n = M ∉ (P) nên: d // (P) (P) Gọi H hình chiếu M (P) suy ra: H(2; -3; -1) (Bài tốn 1) Hình chiếu d (P) đường thẳng qua H song song với d nên có  x = + 4t  phương trình :  y = −3 − 2t  z = −1 + 3t  Bài tốn 3: Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d:  x = − 5t   y = −1 + 2t  z = −5 + 5t  (t ∈ R ) mp(P): 2x + y - 2z - = Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A d (P) sau lấy M ∈ d, tìm hình chiếu H M (P), hình chiếu đường thẳng d mp(P) đường thẳng qua H có VTCP AH Hướng dẫn giải: M d Gọi A giao điểm d (P) Ta có: A ∈ d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t) Vì A ∈ (P) ⇔ 2(6-5t) + (-1+2t) - 2(-5+5t) - = ⇔ t=1 H A (P) Do A(1; 1; 0) Ta lại có: M(6; -1; -5)∈ d Gọi H hình chiếu M (P) suy ra: H(2; -3; -1) (bài toán 1) Hình chiếu d (P) đường thẳng qua H có VTCP AH = (1; -4; -1) -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng không gian " -nên có phương trình :  x = 2+t   y = −3 − 4t (t ∈ R )  z = −1 − t  Bài tốn 4: Tìm tọa độ hình chiếu H điểm M(-1; -2; 4) đường thẳng  x = −2 + 3t  d:  y = − 2t  z = 1+ t  Bài tốn ta lấy H ∈ d, H hình chiếu M Nhận xét: r uuuu r r đường thẳng d u MH = ( u VTCP d) Hướng dẫn giải: d r Đường thẳng d có VTCP u = (3; -2; 1) Gọi H∈ d suy ra: H(-2+3t; 2-2t; 1+t) nên: M H uuuu r MH =(-1+3t; 4-2t; -3+t) r uuuu r H hình chiếu M d ⇔ u MH = ⇔ 3(-1+3t) - 2(4-2t) + (-3+t) = ⇔ t = Vậy H(1; 0; 2) Kết luận: Từ toán nêu ta thấy, với toán dạng này, ta lấy điểm cho trước chọn điểm đường thẳng cho trước sau dựa vào quan hệ vng góc điểm với đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng để tìm hình chiếu vng góc điểm đường thẳng hay mặt phẳng Từ kết luận (nếu tốn tìm hình chiếu) viết phương trình hình chiếu dựa vào hình chiếu vừa tìm vị trí tương đối đường mặt Một số tập tham khảo: Bài 1: Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d: x −1 y + z − = = mặt phẳng tọa độ -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng khơng gian " - x=t  Bài 2: Cho đường thẳng d :  y = + 4t mặt phẳng (P): x + y + z - = Viết  z = + 2t  phương trình hình chiếu vng góc d mp(P) Bài 3: Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M(1; -1; 2) mặt phẳng ( α ) : 2x - y + 2z + 11 = Bài 4: Cho đường thẳng d mặt phẳng ( α ) có phương trình: d: x − y +1 z −1 = = ; ( α ): 2x + y + z- 8= Viết phương trình hình chiếu vng góc d ( α ) Bài 5: Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm A(1; -1; 3)  x=2  đường thẳng d :  y = − t  z = 2t  B Các toán đối xứng: Bài toán 5: Tìm tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M(6; -1; -5) qua mp(P): 2x + y - 2z - = Nhận xét: Bài toán ta viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với mp(P), lấy M ' ∈ d (M ' ≠ M) , M ' đối xứng với M qua (P) d(M;(P))=d(M ';(P)) Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M vng góc với mp(P) có phương M  x = + 2t  trình:  y = −1 + t  z = −5 − 2t  Gọi M '(6+2t; -1+t; -5-2t) ∈ d M ' ≠ M ⇒ t ≠ M ' đối xứng với M qua (P) ⇔ d(M;(P))=d(M ';(P)) d (P) M' -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng khơng gian " -⇔ 18 = 9t + 18 ⇔ t = - ∨ t = (loại) Vậy M '(-2; -5; 3) Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d:  x = + 4t   y = −1 − 2t  z = −5 + 3t  qua mp(P): 2x + y - 2z - = Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy M ∈ d, tìm M ' đối xứng với điểm M qua (P), đường thẳng d ' qua M ' song song với d M d Hướng dẫn giải: Ta có: d qua điểm M(6; -1; -5), có VTCP u = (4; -2; 3) mp(P) có VTPT n = (2; 1; -2) (P) u n = M ∉ (P) nên: d //(P) d' M' Gọi M ' đối xứng với điểm M qua (P) suy ra: M '(-2; -5; 3).( toán5)  x = −2 + 4t  Đường thẳng d ' qua M ' song song với d nên có phương trình:  y = −5 − 2t  z = + 3t  Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d:  x = − 5t   y = −1 + 2t  z = −5 + 5t  qua mp(P): 2x + y - 2z - = Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A d (P) sau lấy M ∈ d, tìm M ' đối xứng với điểm M qua (P), đường thẳng d ' qua M ' có VTCP AM ' Hướng dẫn giải: -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng khơng gian " -Gọi A giao điểm d (P) M Ta có: A ∈ d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t) d A ∈ (P) ⇔ 2(6-5t) + (-1+2t) - 2(-5+5t) - = A ⇔ t=1 Do A(1; 1; 0) (P) Ta lại có: M(6; -1; -5)∈ d Gọi M ' đối xứng với điểm M qua (P) d' M' suy ra: M '(-2;-5;3) ( toán5) Đường thẳng d ' qua M ', có VTCP AM ' = (-3; -6; 3) = 3(-1; -2; 1) nên có phương  x = −2 − t  trình:  y = −5 − 2t (t ∈ R)  z = 3+t  Bài tốn 8: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A(1 ; -2 ; -5) qua đường thẳng d  x = + 2t  có phương trình :  y = −1 − t  z = 2t  Nhận xét: Bài toán ta lấy H ∈ d, H hình chiếu A lên đường thẳng r uuur d u AH = ( u VTCP d), ta có H trung điểm AA / từ suy tọa độ A/ d Hướng dẫn giải: r Đường thẳng d có VTCP u = (2; -1; 2) Gọi H∈ d suy ra: H(1+2t ; -1-t ; 2t) A H A' uuur nên: AH =(2t ; 1-t ; 2t-5) r uuur H hình chiếu A d ⇔ u AH = -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng không gian " -⇔ 2(2t) - (1- t) + 2(2t + 5) = ⇔ t = -1 suy ra: H(-1;0;-2)  x A / = −3  Ta có H trung điểm AA/ nên:  y A/ =  z / =1  A Vậy: A/ (-3 ; ; 1) Kết luận: Từ toán nêu ta thấy, với toán dạng này, ta lấy điểm cho trước chọn điểm đường thẳng cho trước sau tìm điểm đối xứng điểm qua đường thẳng hay mặt phẳng Từ kết luận (nếu tốn tìm điểm đối xứng) viết phương trình đường thẳng đối xứng dựa vào điểm đối xứng vừa tìm vị trí tương đối đường mặt, đường đường Một số tập tham khảo:  x = 2+t  Bài 1: Cho điểm A(1; 0; 0) đường thẳng ∆ :  y = + 2t  z =t  a/ Tìm tọa độ điểm H hình chiếu điểm A đường thẳng ∆ b/ Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A qua đường thẳng ∆ Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 2; 3) đường thẳng: d1: x−2 y +2 z −3 = = ; −1 d2 : x −1 y −1 z +1 = = −1 a/ Tìm tọa độ A/ đối xứng với A qua đường thẳng d1 b/Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A vng góc với đường thẳng d1 cắt đường thẳng d2 (Đề thi ĐHCĐ khối D năm 2006) Bài 3: Cho điểm M(2; 1; 0) mặt phẳng ( α ) : x + 3y - z - 27 = Tìm tọa độ điểm M/ đối xứng với M qua mặt phẳng ( α ) -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng không gian " -Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d:  x = 1+ t   y = − 5t qua mặt phẳng ( α ) : x + y + z - =  z = − 2t  Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d 1:  x = −2 + 6t   y = − 5t  z = + 4t   x = 1+ t,  , d2:  y = − 2t  z = −4 + 3t ,  a/ Tìm tọa độ giao điểm d1 d2 b/ Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d1 qua d2 C Các tốn cắt nhau, vng góc, song song:  x = 1+ t  Bài toán 9: Cho đường thẳng d mp (P) có phương trình: d:  y = + 2t ;  z = + 2t  (P): 2x + z - = a/ Xác định tọa độ giao điểm A d (P) b/ Viết phương trình đường thẳng d ' qua A, nằm (P) vng góc với d Nhận xét: Bài tốn ta tìm tọa độ A, đường thẳng d ' qua A có r rr r r véctơ phương v = u , n  ; u VTCP d, n VTPT mp(P)   d Hướng dẫn giải: a/ A = d ∩ (P) Ta có A ∈ d ⇒ A(1 + t; + 2t; + 2t) d' Vì A∈ (P) ⇔ 2(1 + t) + (3 + 2t) - = ⇔ t = A (P) Vậy: A(1; 2; 3) r r b/ d có VTCP u = (1; 2; 1); mp(P) có VTPT n = (2; 0; 1) -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 10 " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng không gian " -r uuur Nhận xét: Bài tốn ta lấy H ∈ d1, H ∈ ∆ u AH = ( r uuur u VTCP d2); đường thẳng ∆ qua I có VTCP AH Hướng dẫn giải: r Đường thẳng d2 có VTCP u = (4; 1; 1) Gọi H∈ d1 suy ra: H(3+t; -1-2t; 4+t) nên: d1 uuur AH =(1+t; -2-2t; 7+t) r uuur H∈ ∆ ⇔ u AH = H ⇔ 4(1+t) + (-2-2t) + (7+t) = ⇔ t = -3 suy H(0; 5; 1) d2 A ∆ uuur Đường thẳng ∆ qua A có VTCP AH =(2; -4; -4) = 2(1; -2; -2) nên có  x = 2+t  phương trình :  y = − 2t (t ∈ R)  z = −3 − 2t  Bài tốn 13: Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt đường thẳng d1:  x=t   y = −2 − 3t ; d2:  z = 1+ t   x = + 2t /  x −1 y z + / = =  y = −1 + 3t song song với đường thẳng d: /  z = 4−t  Nhận xét: Bài toán ta lấy A ∈ d1, B ∈ d2 A, B ∈ ∆ hai r uuu r r r vectơ u , AB phương ( u VTCP d), đường thẳng ∆ qua A có VTCP u Hướng dẫn giải: r Đường thẳng d có VTCP u = (3; 2; 1) Gọi A∈ d1 suy ra: A(t; -2-3t; 1+t) uuu r B∈ d2 suy ra: B(1+2t/ ; -1+3t/ ; 4-t/ ) d d2 d1 B ∆ A nên: AB = (2t/ - t + 1; 3t/ + 3t + 1; -t/ - t + 3) -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 13 " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng không gian " -r uuu r A, B∈ ∆ ⇔ u AB phương ⇔ 2t / − t + 3t / + 3t + − t / − t + = = 5t / + 2t = ⇔ /  t +t =1 t = −1 ⇔  / t = suy A(-1;1;0)  x = −1 + 3t r  Đường thẳng ∆ qua A có VTCP u = (3;2;1) nên có phương trình :  y = + 2t   z=t Bài tốn 14: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d 1: x y −1 z + = = −1  x = −1 + 2t  d2:  y = + t  z =3  Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = cắt đường thẳng d1 , d2 (Đề thi ĐHCĐ khối A năm 2007) Nhận xét: Đây đề thi ĐHCĐ, cách giải đáp án, thấy tương tự tốn 13, ta giải nhanh cách lấy A ∈ d1, B ∈ d2 A, B ∈ d r r r uuu u , AB phương ( u VTCP d); đường thẳng d qua A có r VTCP u Hướng dẫn giải: d r Đường thẳng d ⊥ (P) nên d có VTCP u = (7; 1; -4) A  x = 2t /  / Đường thẳng d1 có phương trình tham số:  y = − t  z = −2 + t /  d1 d2 B Gọi A∈ d1 suy ra: A(2t/ ; 1- t/ ; -2+ t/ ) B∈ d2 suy ra: B(-1+ 2t ; 1+ t ; 3) (P) -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 14 " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng không gian " -uuu r nên: AB = (2t - 2t/ - 1; t + t/ ; - t/ ) r uuu r A, B ∈ ∆ ⇔ u , AB phương ⇔ 2t − 2t / − t + t / − t / = = −4 4t + 3t / = −5 t = −2 ⇔ ⇔  / / t =1 5t + 9t = −1 suy A(2; 0; -1)  x = + 7t y=t  z = −1 − 4t  r  Đường thẳng d qua A có VTCP u = (7; 1; -4) nên có phương trình :  Bài tốn 15: Viết phương trình đường vng góc chung đường thẳng  x = + 3t  chéo d:  y = + t (t ∈ R)  z =t   x = −2 + t /  / d/ :  y = −7 + 3t (t / ∈ R)  z = 4−t/  Nhận xét: Bài toán học sinh lấy A ∈ d1, B∈ d2; AB đường vng góc r uuu r u AB =  r chung d d/  r uuu ; đường vng góc chung qua A có  v AB =  uuu r VTCP AB Hướng dẫn giải: A d r Đường thẳng d có VTCP u = (3; 1; 1) r Đường thẳng d/ có VTCP v = (1; 3; -1) Gọi A∈ d suy ra: A(5+3t; 2+t; t) d' B B∈ d/ suy ra: B(-2+t/ ; -7+3t/ ; 4-t/ ) uuu r nên: AB =(t/ - 3t - 7; 3t/ - t - 9; -t/ - t + 4) -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 15 " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng khơng gian " -r uuu r u AB =  r AB đường vng góc chung d d/ ⇔  r uuu v AB =   3(t / − 3t − 7) + (3t / − t − 9) + (−t / − t + 4) = ⇔ / / / (t − 3t − 7) + 3(3t − t − 9) − (−t − t + 4) = 5t / − 11t = 26 ⇔ / 11t − 5t = 38 ⇔ t = −1  / t = uuu r suy ra: A(2; 1; -1); AB =(-1; 1; 2) uuu r Đường vng góc chung qua A có VTCP AB =(-1; 1; 2) nên có phương  x = 2−t  trình :  y = + t (t ∈ R)  z = −1 + 2t  Kết luận: Từ toán nêu ta thấy tốn dạng có độ " khó" Tuy nhiên, ta thấy phương pháp chung để giải là: Chọn điểm điểm (có chứa tham số) đường thẳng đường thẳng bị cắt (cho trước), sau dựa vào yếu tố song song, vng góc để tìm tham số Từ viết phương trình đường thẳng theo yêu cầu toán Một số tập tham khảo: Bài 1: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d1 cắt hai đường thẳng d2 d3, biết phương trình d1, d2 d3 là: d1  x =1   y = −2 + 4t  z = 1− t  ; d2: x −1 y = z − = = ;  x = −4 + 5t '   y = −7 + 9t '  d3:  z = t ' -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 16 " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng không gian " -Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-4;-2;4) đường thẳng d:  x = −3 + 2t   y = 1− t  z = −1 + 4t  ∆ , Viết phương trình đường thẳng qua A, cắt vng góc với đường thẳng d (Đề thi ĐHCĐ khối B năm 2004) Bài 3: Cho hai đường thẳng: d 1:  x = 8+t   y = + 2t  z =8−t  d2: − x y −1 z −1 = = Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng Bài 4: Cho hai đường thẳng: d: x y −1 z − = = d' :  x = 1+ t   y = −2 + t  z = 3−t  a.Viết phương trình đường vng góc chung d d' b Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt d d' Bài 5: Viết phương trình đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng tọa độ  x=t  (Oxz) cắt đường thẳng d :  y = −4 + t ;  z = 3−t   x = − 2t /  / d/ :  y = −3 + t  z = − 5t /  Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ∆ : x+2 y−2 z = = mặt phẳng (P) : x + 2y - 3z + = Viết phương trình đường 1 −1 thẳng d nằm (P) cho d cắt vng góc với đường thẳng ∆ (Đề thi ĐHCĐ khối D năm 2009) D Các toán cực trị tọa độ không gian: -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 17 " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng không gian " -Bài tốn 16: Trong khơng gian với hệ tọa độ Đềcác vng góc Oxyz cho điểm M(1; 3; -2) đường thẳng d: thẳng MH có độ dài nhỏ  x = + 3t   y = 2+t  z = −2 − t  ∈ Tìm tọa độ điểm H d cho đoạn Nhận xét: Bài toán ta lấy H ∈ d, độ dài MH nhỏ r uuuu r r MH ⊥ d ⇔ u MH = ( u VTCP d) Hướng dẫn giải: r Đường thẳng d có VTCP u = (3; 1; -1) Gọi H∈ d suy ra: H(5 + 3t; 2+ t; -2 - t) nên: d M uuuu r MH =(4 + 3t; -1 + t; - t) H MH nhỏ ⇔ MH ⊥ d r uuuu r ⇔ u MH = ⇔ 3(4+3t) + (-1 + t) - (- t) = ⇔ t = - Vậy H(2; 1; -1) Bài tốn 17: Trong khơng gian Oxyz cho M (1; 2; 3), N ( 4; 4; 5) Tìm điểm I∈ mp(Oxy) cho IM + IN nhỏ Nhận xét: Bài toán ta kiểm tra M, N nằm hay hai phía mặt phẳng Nếu M, N nằm hai phía mặt phẳng I giao điểm MN mặt phẳng, M, N nằm phía mặt phẳng I giao điểm M 'N mặt phẳng M ' điểm đối xứng M qua mặt phẳng Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = Trước hết ta xét xem M N có hai phía với mp (Oxy) hay không? Dể thấy z M zN = = 15>0 ⇒ M, N phía với mp (Oxy) -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 18 " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng khơng gian " - x =1  Đường thẳng d qua M vng góc mp(Oxy) có pt:  y = z = + t  M Gọi H giao điểm d với mp(Oxy) Ta có H ∈ d ⇒ H (1; 2; + t) N d Vì H ∈ (Oxy) ⇒ + t = ⇒ t = -3 H ⇒ H( 1; 2; 0) I Ox y Gọi M' đối xứng với M qua mp(Oxy) M' uuuuur H trung điểm MM' nên M' (1; 2; -3) M ' N = (3; 2; 8) Ta có IM + IN = IM' + IN ≥ M'N ⇒ Min ( IM + IN) = M'N ⇔ I giao điểm M'N mp(Oxy)  x = + 3t , uuuuur  , M'N qua M ' có VTCP M ' N = (3; 2; 8) nên có phương trình:  y = + 2t  z = −3 + 8t ,  Điểm I ( + 3t', + 2t', -3 + 8t') ∈ d I ∈ (Oxy) ⇒ -3 + 8t' = ⇒ t' =  17 11  ; ;0 ÷   Vậy I  Bài toán 18: Trong k/gian Oxyz cho: M (3; 1; 1), N ( 4; 3; 4) đường thẳng d  x = 7+t  có phương trình:  y = − 2t Tìm điểm I∈ d cho: IM + IN nhỏ  z = 9+t  Nhận xét: Ta có MN ⊥ d nên IM + IN nhỏ I = d ∩ (P) (P) mặt phẳng qua MN vng góc với d Hướng dẫn giải: uuuu r r uuuu r r d Ta có: MN = (1; 2; 3), d có VTCP u = ( 1; -2; 1), MN u =0 ⇒ MN ⊥ d Mặt phẳng( P) qua MN vng góc với d có phương trình là: x - 2y +z - I2 = M H -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 19 (P) N " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng không gian " -Gọi H = d ∩ (P), H∈ d ⇒ H(7 + t; - 2t; + t) Vì H∈ (P) nên: (7 + t) - 2(3 - 2t) +(9 + t) - =  17 17 23  ; ; ÷  3  ⇔ t = − ⇒ H Với I ∈ d, ta có: IM + IN ≥ HM + HN ⇒ IM + IN nhỏ ⇔ IM + IN = HM + HN ⇔ I ≡ H  17 17 23  Vậy: I  ; ; ÷  3  Bài tốn 19: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-3; 0; 1), B(1; -1; 3) mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - = Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ (Đề thi ĐHCĐ khối B năm 2009) Nhận xét: Ta gọi d đường thẳng cần tìm; d chứa mp(Q) qua A song song với (P), khoảng cách từ B đến đường thẳng d nhỏ d qua H (H hình chiếu B (Q)) Hướng dẫn giải: Gọi d đường thẳng cần tìm; d chứa mp(Q) qua A song song với (P) Ta có phương trình (Q): x - 2y + 2z + = B Gọi I, H hình chiếu B d, (Q) d' Ta có d(B;d) = BI ≥ BH H A nên d(B;d) nhỏ d qua H ' Đường thẳng d qua B vng góc (Q)  x = 1+ t  có phương trình:  y = −1 − 2t  z = + 2t  I (Q) d (P) H = d ' ∩ (Q), H ∈ d ' nên H(1+ t; -1 - 2t; + 2t) Vì H∈ (Q) nên: (1+ t) -2(-1 - 2t) + 2(3 + 2t) + = ⇔ t = − 10  11  ⇒ H − ; ; ÷  9 9 -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 20 " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng không gian " - x = −3 + 26t uuur 26 11  Đường thẳng d qua A có VTCP AH = ( ; ; − ) có phương trình:  y = 11t 9  z = − 2t  Bài tốn 20: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;4;2),  x = 1− t  B(-1;2;4) đường thẳng d có phương trình:  y = −2 + t  z = 2t  uuu uuu r r a/ Tìm tọa độ điểm M ∈ d cho MA + MB nhỏ b/ Tìm tọa độ điểm I ∈ d cho diện tích ∆ AIB nhỏ c/ Viết phương trình đường thẳng qua A cắt d cho khoảng cách từ B đến đường thẳng đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ uuu r uuu r uuu uuu r r Nhận xét: Ta lấy M ∈ d; câu a, ta tìm MA + MB ⇒ MA + MB suy M; câu b, c ta tìm diện tích ∆ AIB, khoảng cách vận dụng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, từ suy kết Hướng dẫn giải: uuu r uuu r a/ M∈ d ⇒ M ( 1-t; -2+t; 2t) ⇒ MA =(t; 6-t; 2-2t), MB =(-2+ t; -t; -2t) uuu r uuu r Do đó: MA + MB = (-2 + 2t; 10 - 2t; - 4t) uuu uuu r r ⇒ MA + MB = ( −2 + 2t ) + (10 − 2t ) + (6 − 4t ) = 24(t − 2) + 44 ≥ 11 uuu uuu r r Suy ra: Min MA + MB = 11 ⇔ t-2 = ⇔ t = Vậy: M(-1; 0; 4) uur uuu r b/ I ∈ d ⇒ I(1-t; -2+t; 2t) ta có: AI = (- t; - + t; - + 2t) AB = ( -2; -2; 2) ⇒ uur uuu r  AI , AB  = ( 6t - 16; -2t + 4; 4t - 12)   r uur uuu Diện tích ∆ AMB: S∆AIB =  AI , AB  =   2 (6t − 16) + ( −2t + 4) + (4t − 12) = 56t − 304t + 416 = 14t − 76t + 104 ( t ∈ R) Xét hàm f (t) = 56t - 304t + 416 ⇒ f / (t) = 112t - 304; -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 21 " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng khơng gian " -f / (t) = ⇔ t = BBT: t 304 19 = 112 19/7 -∞ f'(t) - +∞ + +∞ +∞ f( t ) f(19/7) Từ suy ra: S∆AIB đạt GTNN t = 19  12 38  ; ; ÷  7  Vậy: I  − c/ Gọi đường thẳng d1 qua A cắt d M ( 1- t; -2 + t; 2t) Khi d ( B; d1 ) uuuu uuu r r  AM , AB    uuuu r = = AM Xét hàm g(t) = 28t − 152t + 208 3t − 10t + 20 56t − 304t + 416 6t − 20t + 40 = 28t − 152t + 208 3t − 10t + 20  t = −2 16(11t − 8t − 60) / ⇔ 11t - 8t - 60 = ⇔  30 g (t) = 2 ; g (t) = t = (3t − 10t + 20)  11 / Ta có xlim g (t ) = →±∞ BBT: t 28 -2 -∞ + f'(t) 30/11 - 12 +∞ + 28/3 f( t ) 28/3 4/35  x = 1+ t  Max d ( B; d1 ) = Khi t = -2 ⇒ Đường thẳng d1:  y = − 4t  z = − 3t  -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 22 " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng khơng gian " - x = + 15t 30  35 ⇒ Đường thẳng d2:  y = + 18t Min d ( B; d1 ) = Khi t = 11 35  z = − 19t  Vậy có đường thẳng thỏa mãn yêu cầu toán là:  x = 1+ t  d1:  y = − 4t  z = − 3t   x = + 15t  d2:  y = + 18t  z = − 19t  Kết luận: Đây tốn khó, để giải cần phải vận dụng dạng tốn Tuy nhiên, ta thấy phương pháp chung để giải là: Chọn điểm (có chứa tham số) đường thẳng (cho trước), sau dựa vào yếu tố hình chiếu vng góc đưa hàm số sau tìm tham số Từ tìm điểm viết phương trình đường thẳng theo u cầu tốn Một số tập tham khảo: Bài 1: Cho A (1; 2; -1), B (7; -2; 3) đường thẳng d có pt: x +1 y − z − = = −2 Tìm điểm I ∈ d cho IA + IB nhỏ Bài 2: Cho mp( α ): 2x - y + z + = hai điểm A( 3; 1; 0), B( -9; 4; ) uu uu r r a/ Tìm điểm I ∈ (α ) cho IA + IB đạt GTNN b/ Tìm điểm M ∈ (α ) cho: MA − MB đạt GTLN Bài 3: Cho: A (1; 1; 0) B ( 3; -1; 4) đ/t d: x +1 y −1 z + = = Tìm d 1 điểm I cho: IA + IB bé Bài 4: Cho A (5; -1; 3), B (7; -1; 1) mặt phẳng (P) có phương trình: x - y + z - = Tìm điểm I ∈ (P) cho IA + IB nhỏ Bài 5: Cho hai đường thẳng d1: x −1 y +1 z −1 x −1 y + z = = = = điểm ; d2: 1 1 A ( 1; 4; 2) Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt d cho khoảng cách d d2 lớn -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 23 " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng khơng gian " KẾT QUẢ Sau hình thành đưa cách giải, vận dụng phương pháp dạng A, B vào dạy kết kiểm tra 15' lớp giảng dạy sau: Lớp sử dụng phương pháp khác(3 lớp với 144 em) Điểm Điểm từ → < Điểm từ → 10 45 78 21 31,3% 54,1% 14,6% Điểm Điểm từ → < Điểm từ → 10 18 50 24 19,6% 54,3% 26,1% Lớp sử dụng phương pháp này(2 lớp với 92 em) Từ bảng kết ta thấy lớp sử dụng phương pháp tỉ lệ điểm giảm gần nữa, tỉ lệ điểm từ → < tăng không nhiều tỉ lệ điểm từ → 10 tăng gần gấp lần -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 24 " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng khơng gian " PHẦN KẾT LUẬN Từ toán nêu cách giải chúng, ta thấy vận dụng tốt quan hệ vng góc, song song , tính chất đối xứng điểm với tọa độ điểm theo tham số ta giải nhiều dạng toán, đơn giản toán, hạn chế việc " sợ " tốn hình học không gian học sinh, tạo hứng thú cho em, góp phần chung vào việc nâng cao chất lượng dạy học phát huy tính tích cực học sinh, khơi nguồn cho em tìm tịi, sáng tạo q trình giải toán Trên kinh nghiệm thực tiễn thân qua nhiều năm giảng dạy môn tốn phần phương trình đường thẳng khơng gian, với đề tài hy vọng giúp cho em học sinh biết cách vận dụng quan hệ vng góc, song song, tính chất đối xứng vào giải toán cải tiến phương pháp học tập Cuối cùng, xin cảm ơn thầy cô tổ tốn đọc, góp ý giúp đỡ tơi hồn thành đề tài -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 25 " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng khơng gian " TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Giải toán nào? (G.Polya - Nhà xuất Giáo dục năm 1997) 2/ Toán nâng cao cho học sinh - Hình học ( Phan Huy Khải - Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội năm 1998) 3/ Hình học 12- Chuẩn ( Trần Văn Hạo - Nhà xuất Giáo dục - Hà Nội năm 2008) 4/ Hình học 12- Chuẩn- Sách giáo viên ( Trần Văn Hạo - Nhà xuất Giáo dục - Hà Nội năm 2008) 5/ Hình học 12- Nâng cao ( Đồn Quỳnh - Nhà xuất Giáo dục - Hà Nội năm 2008) 6/ Hình học 12- Nâng cao - Sách giáo viên ( Đoàn Quỳnh - Nhà xuất Giáo dục - Hà Nội năm 2008) 7/ Bộ đề thi tuyển sinh đại học - Mơn Tốn Bộ GD & ĐT (Doãn Minh Cường; Phạm Minh Phương - Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2007) 8/ Báo toán học tuổi trẻ MỤC LỤC -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 26 " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng không gian " -Trang ĐẶT VẤN ĐỀ CƠ SỞ LÝ LUẬN CƠ SỞ THỰC TIỄN NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI A Các toán hình chiếu vng góc Bài tốn Bài toán Bài toán Bài toán Kết luận Một số tập tham khảo B Các toán đối xứng: Bài toán Bài toán Bài toán Bài toán 10 Kết luận 11 Một số tập tham khảo 11 C Các toán cắt nhau, vng góc, song song: 12 Bài tốn 12 Bài toán 10 13 Bài toán 11 14 Bài toán 12 14 Bài toán 13 15 -Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 27 ..." Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng không gian " CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong phần phương pháp tọa độ không gian phải ? ?Tìm tọa độ điểm Viết. .. Trang 16 " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng không gian " -Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-4;-2;4) đường thẳng. .. Khê Trang " Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng khơng gian " -Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d '' đối xứng với đường thẳng d: 