TT LTH, GIA S PHI HNG PH YấN 0984124134 Vn Thi-Vn Hng 2010 1 Khai thác các cách giải khác nhau về một số dạng toán cực trị trong hình học không gian Phần 1: Cơ sở lý thuyết 1. Trong không gian oxyz: Xét hệ toạ độ Đề các vuông góc giả sử A(x 1 ,y 1 ,z 1 ), B(x 2 ,y 2 ,z 2 ) thì ),,( 121221 zzyyxxAB 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) AB x x y y z z 2. Cho 2 vectơ: ),,( 111 zyxu , ),,( 222 zyxv * 1 2 2 1 2 1 zyxu 2 2 2 2 2 2 zyxv dấu đẳng thức p xảy ra khi và chỉ khi vu, cùng chiều hoặc 1 trong 2 vectơ bằng 0 * u v u v dấu = xảy ra khi và chỉ khi vu, cùng chiều hoặc 1 trong 2 vectơ bằng 0 *Điều kiện để hai véc tơ a và b cùng phơng là t R để a =t b * Điều kiện để ba véc tơ a ; c và b không đồng phẵng là ; . 0 a b c * Điều kiện để ba véc tơ a ; c và b đồng phẵng là ; . 0 a b c * 1 2 1 2 1 2 . 0 0 u v u v x x y y z z * Cho ABC Thì AB+BC BC và AB BC AC dấu đẳng thức sãy ra khi ba điểm A;B;C thẳng hàng TT LTH, GIA S PHI HNG PH YấN 0984124134 Vn Thi-Vn Hng 2010 2 Phần II . Các dạng toán - phơng pháp chung và ví dụ minh hoạ I .Dạng 1 Cho đờng thẳng 0 0 0 : x x y y z z a b c và hai điểm A và B Sao cho AB// .Hãy tìm trên điểm M sao cho : 1. MA+MB nhỏ nhất 2. MA MB nhỏ nhất 3. MA k MB ngắn nhất . A . B M Câu 1 ; Cho đờng thẳng 0 0 0 : x x y y z z a b c Và hai điểm A và B sao cho // AB hãy tìm trên điểm M Sao cho MA+MB nhỏ nhất 1. Phơng pháp chung Cách 1: I A B M M' 0 0 0 : x x y y z z a b c A' *chứng minh cho // AB *Gọi I là trung điểm của AB .Gọi M là hình chiếu của I trên . Ta chứng minh M là điểm cần tìm nh sau : Gọi A là điểm đối xứng của A qua hiển nhiên 3 điểm A;M;B là thẳng hàng . Giả sử M là 1 điểm tuỳ ý trên ta có ' ' ' ' ' ' ' M A M B M A M B A B MA MB MA MB Cách 2 : Gọi A là điểm đối xứng của A qua ,Gọi M là giao điểm của AB và Ta chứng minh M là điểm cần tìm nh sau Giả sử M là 1 điểm tuỳ ý trên ta có ' ' ' ' ' ' ' M A M B M A M B A B MA MB MA MB 2 . Ví dụ minh hoạ: cho : 1 1 1 2 1 x y z TT LTH, GIA S PHI HNG PH YấN 0984124134 Vn Thi-Vn Hng 2010 3 Với A=(-1,2,1); B =(1,-2,-1) Tìm trên điểm M. sao cho :MA+MB nhỏ nhất Cách 1: Nhận xét đờng thẳng có vectơ chỉ phơng là ( 1, 2,1) v Và (2, 4, 2) // AB v Thay toạ độ A vào phơng trình đợc: 2 2 3 1 2 1 Vâỵ điểm A không thuộc nên AB// Ta có phơng trình tham số của là: 1 2 ( ) 1 x t y t t R z t Gọi I là trung điểm của AB thì I=(0,0,0) Gọi M là hình chiếu của I trên thì M=(1-t, 2t , t-1) (1) Vậy: (1 , 2 , 1) IM t t t Ta có: 1 . 0 1 4 1 0 3 v IM t t t t Thay 1 3 t vào (1) ta đợc 2 2 2 , , 3 3 3 M Gọi A là điểm đối xứng với A qua vì AB// nên A,M, B thẳng hàng và MA=MB. Lấy điểm M tuỳ ý thuộc . Ta có: MA +MB=MA+MB AB= MA+ MB = MA+ MB Cách 2: Nhận xét đờng thẳng có vectơ chỉ phơng là ( 1, 2,1) v Và (2, 4, 2) // AB v Thay toạ độ A vào phơng trình đợc: 2 2 3 1 2 1 Vâỵ điểm A không thuộc nên AB// Ta có phơng trình tham số của là: 1 2 ( ) 1 x t y t t R z t Gọi H là hình chiếu của A trên Thì H=(1-t,2t,-1+t) (1) Vậy ( 2, 2 2, 2) AH t t t Ta có 4 . 0 2 4 4 2 0 6 8 3 v AH t t t t t Thay 4 3 t vào (1) đợc toạ độ điểm 1 8 1 , , 3 3 3 H Gọi 1 1 1 ' , , A x y z là điểm đối xứng với A qua Ta có: 2 16 2 ' , , // (1, 8, 1) 3 3 3 A B v Vậy phơng trình đờng thẳng AB là: 8 6 0 8 6 1 2 1 2 8 8 8 6 1 8 1 x y x y x y z y z y z Vậy phơng trình tổng quát của là: 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y y z y z TT LTH, GIA S PHI HNG PH YấN 0984124134 Vn Thi-Vn Hng 2010 4 Gọi M=(x,y,z) là giao điểm của AB và thì toạ độ M là nghiệm của hệ: 2 8 6 3 8 6 2 2 2 3 2 2 2 3 x x y y z y x y y z z vậy 2 2 2 , , 3 3 3 M Nhận xét M là điểm cần tìm. thật vậy lấy điểm M tuỳ ý trên Ta có: MA+MB=MA+MB AB=MA+MB=MA+MB. Câu 2 : Cho đờng thẳng 0 0 0 : x x y y z z a b c và hai điểm A và B Sao cho AB// .Hãy tìm trên điểm M sao cho : MA MB nhỏ nhất 1.Phơng pháp chung Cách 1: A I B M M' 0 0 0 : x x y y z z a b c Gọi I là trung điểm của AB .Gọi M là hình chiếu của I trên Tìm toạ độ M và chứng minh M là điểm cần tìm nh sau .Gọi M' là điểm tuỳ ý trên ta có ' ' M A M B =2M'I 2 MI = MA MB Cách 2: Lấy 0 0 0 ( ; ; ) M x at y bt z ct tính độ dài của MA MB từ đó tìm đợc GTNN 2.ví dụ minh hoạ: cho : 1 1 1 2 1 x y z Với A=(-1,2,1); B =(1,-2,-1) Tìm trên điểm M. sao cho : MA MB nhỏ nhất Cách 1: Nhận xét đờng thẳng có vectơ chỉ phơng là ( 1, 2,1) v Và (2, 4, 2) // AB v Thay toạ độ A vào phơng trình đợc: 2 2 3 1 2 1 TT LTH, GIA S PHI HNG PH YấN 0984124134 Vn Thi-Vn Hng 2010 5 Vâỵ điểm A không thuộc nên AB// Ta có phơng trình tham số của là: 1 2 ( ) 1 x t y t t R z t Gọi I là trung điểm của AB thì I=(0,0,0). Gọi M là hình chiếu của I trên thì M=(1-t , 2t, t-1) (1) Vậy: (1 ,2 , 1) IM t t t Ta có: 1 . 0 1 4 1 0 3 v IM t t t t . Thay 1 3 t vào (1) ta đợc 2 2 2 , , 3 3 3 M Ta chứng minh điểm M cần tìm: Thật vậy. Gọi M là điểm tuỳ ý thuộc Ta có: ' ' 2 ' 2 ' 2 M A M B M I M I MI MA MB Cách 2: Ta có phơng trình tham số của là: 1 2 ( ) 1 x t y t t R z t Lấy điểm M ( 1 t ; 2 t ; 1 t ) Ta có ( AM 2-t;2t-2;t-2) và ( ; 2 2; ) BM t t t Nên AM BM (2-2t;4t;2t-2) vậy 2 2 2 2 (2-2t) +16t +(2t-2) 24 16 8 MA MB t t MA MB nhỏ nhất khi t= 1 3 tức 2 2 2 , , 3 3 3 M Câu 3: Cho đờng thẳng 0 0 0 : x x y y z z a b c Và hai điểm A và B sao cho // AB hãy tìm trên điểm M Sao cho MA k MB ngắn nhất 1. Phơng pháp giải *Viết phơng trình về tham số 0 0 0 ( ) x x at y y bt t R z z ct *Lấy M tuỳ ý thuộc : M=( 0 x at ; 0 y bt ; 0 z ct ) Thay vào P= MA k MB = ( ) f t với f(t) là tam thức bậc hai từ đó ta tìm đợc GTNN của P 2. Ví dụ minh hoạ: cho : 1 1 1 2 1 x y z Với A=(-1,2,1); B=(1,-2,-1) Tìm trên điểm M. Sao cho : 3 MA MB nhỏ nhất TT LTH, GIA S PHI HNG PH YấN 0984124134 Vn Thi-Vn Hng 2010 6 Ta có phơng trình tham số của là: 1 2 ( ) 1 x t y t t R z t Gọi M là điểm tuỳ ý thuộc điểm M=(1-t , 2t , t-1)(*) Ta có ( 2, 2 2 , 2 ); ( , 2 2 , ) 3 ( 3 ,6 6,3 ) MA t t t MB t t t MB t t t Vậy 2 2 2 2 3 ( 2 2, 4 8, 2 2) 3 4 8 4 16 64 64 4 8 4 24 80 72 P MA MB t t t P MA MB t t t t t t t t P nhỏ nhất 5 3 t Khi 5 3 t vào (*) ta đợc 8 10 8 , , 3 3 3 M II .Dạng 2 Cho đờng thẳng 0 0 0 : x x y y z z a b c và hai điểm A và B Sao cho AB cắt .Hãy tìm trên điểm M sao cho : 1.MA+MB nhỏ nhất B 2. MA MB nhỏ nhất A 3. MA k MB ngắn nhất Câu1: Cho đờng thẳng 0 0 0 : x x y y z z a b c Và hai điểm A và B sao cho AB và cắt nhau ,và A;B nằm cùng phía so với . hãy tìm điểm M Sao cho MA+MB nhỏ nhất 1. Phơng pháp giải Cách 1: *chứng minh cho AB và cắt nhau và A;B nằm cùng phía so với . Gọi A là điểm đối xứng của A qua ,Gọi M là giao điểm của AB và Ta chứng minh M là điểm cần tìm nh sau Giả sử M là 1 điểm tuỳ ý trên ta có ' ' ' ' ' ' ' M A M B M A M B A B MA MB MA MB Cách 2: *Lấy M tuỳ ý thuộc : M=( 0 x at ; 0 y bt ; 0 z ct ) ta tinh MA và MB ( ) ( ) P MA MB f t g t Dùng phơng pháp đáng giá ta tìm đợc GTNN của P 2.ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho đờng thẳng : 2 5 1 5 3 x y z (d) TT LTH, GIA S PHI HNG PH YấN 0984124134 Vn Thi-Vn Hng 2010 7 và 2 điểm M 1 (2 ; 1; 5) ; M 2 (4 ; 3 ; 9). Tìm điểm I (d) sao cho IM 1 + IM 2 nhỏ nhất. (d) có véc tơ chỉ phơng là : 1, 5, 3 a và đi qua điểm A(2 ; -5 ; 0) Phơng trình tham số của : t3z )Rt(t55y t2x :)d( Ta có 1 2 2,2,4 M M nên phơng trình tham số đờng thẳng M 1 M 2 là : m25z )Rm(m1y m2x Toạ độ giao điểm nếu có của (d) và đờng thẳng M 1 M 2 là nghiệm hệ phơng trình : 1t 1m mt m25t3 m1t55 m2t2 Giao điểm E (1, 0, 3). 6,3,3ME;2,1,1ME : cóTa 21 Vậy : 12 ME3ME nên M 1 và M 2 ở về cùng 1 phía đối với đờng thẳng (d). Gọi () là mặt phẳng qua M 1 và () (d) nên phơng trình mặt phẳng () là : 1(x - 2) - 5(y - 1) - 3(z - 5) = 0 x - 5y - 3z + 18 = 0 Giao điểm H của (d) với mặt phẳng () : 7 27 , 7 10 , 7 5 H 7 27 z 7 10 y 7 5 x 7 9 t t3z t55y t2x 018z3y5x Gọi M' là điểm đối xứng của M 1 qua (d) nên H là trung điểm M 1 M', do đó : 7 19 , 7 13 , 7 4 'M 7 19 zz2'z 7 13 yy2'y 7 4 xx2'x 1H 1H 1H . Hng 2010 1 Khai thác các cách giải khác nhau về một số dạng toán cực trị trong hình học không gian Phần 1: Cơ sở lý thuyết 1. Trong không gian oxyz: Xét hệ toạ độ Đề các vuông góc giả sử. GIA S PHI HNG PH YấN 0984124134 Vn Thi-Vn Hng 2010 2 Phần II . Các dạng toán - phơng pháp chung và ví dụ minh hoạ I .Dạng 1 Cho đờng thẳng 0 0 0 : x x y y z z a b c và hai điểm A. 1 Vâỵ điểm A không thuộc nên AB// Ta có phơng trình tham số của là: 1 2 ( ) 1 x t y t t R z t Gọi I là trung điểm của AB thì I=(0,0,0) Gọi M là hình chiếu của I trên