BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : TOÁN Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ hai : 12/01/2013 Bài 5 (7,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số :f → R R th ỏ a mãn : (0) 0 f = , (1) 2013 f = và 2 2 2 2 ( )( ( ( )) ( ( ))) ( ( ) ( ))( ( ) ( )) x y f f x f f y f x f y f x f y − − = − − đ úng v ớ i m ọ i ,x y ∈ R , trong đ ó 2 2 ( ) ( ( )) f x f x = . Bài 6 (7,0 đ i ể m). Cho tam giác nh ọ n ABC n ộ i ti ế p đườ ng tròn (O) và đ i ể m D thu ộ c cung  BC không ch ứ a đ i ể m A. Đườ ng th ẳ ng  thay đổ i đ i qua tr ự c tâm H c ủ a tam giác ABC c ắ t các đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác ABH và tam giác ACH l ầ n l ượ t t ạ i M và N ( , ) M H N H ≠ ≠ . a) Xác đị nh v ị trí c ủ a đườ ng th ẳ ng  để di ệ n tích tam giác AMN l ớ n nh ấ t. b) Ký hi ệ u 1 d là đườ ng th ẳ ng đ i qua M và vuông góc v ớ i DB, 2 d là đườ ng th ẳ ng đ i qua N và vuông góc v ớ i DC. Ch ứ ng minh r ằ ng giao đ i ể m P c ủ a 1 d và 2 d luôn thu ộ c m ộ t đườ ng tròn c ố đị nh. Bài 7 (6,0 đ i ể m). Tìm s ố các b ộ s ắ p th ứ t ự ( , , , ', ', ') a b c a b c th ỏ a mãn: ' ' 1(mod15) ' ' 1(mod15) ' ' 1(mod15) ab a b ac a c bc b c  + ≡     + ≡    + ≡    v ớ i { } , , , ', ', ' 0,1, ,14 a b c a b c ∈ . H Ế T • Thí sinh không đượ c s ử d ụ ng tài li ệ u và máy tính c ầ m tay. • Giám th ị không gi ả i thích gì thêm. . BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : TOÁN Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ hai : 12/01 /2013. 12/01 /2013 Bài 5 (7,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số :f → R R th ỏ a mãn : (0) 0 f = , (1) 2013 f = và 2 2 2 2 ( )( ( ( )) ( ( ))) ( ( ) ( ))( ( ) ( )) x y f f x f f y f x f y f x f y −. vuông góc v ớ i DB, 2 d là đườ ng th ẳ ng đ i qua N và vuông góc v ớ i DC. Ch ứ ng minh r ằ ng giao đ i ể m P c ủ a 1 d và 2 d luôn thu ộ c m ộ t đườ ng tròn c ố đị nh. Bài 7 (6,0