ĐỀ 51 Câu 1: Cho biểu thức : P=         −−+ − −         + + 1 2 1 1 : 1 1 aaaa a a a a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P<1 c) Tìm giá trị của P nếu 3819 −=a Câu 2: Cho phương trình : ( ) 021 22 =−+−−− aaxax a) Chứng minh rằng phương trình trên có 2 nghiệm trái dấu với mọi a b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x 1 và x 2 .Tìm giá trị của a để A= 2 2 2 1 xx + đạt giá trị nhỏ nhất Câu 3 : Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km . Lúc 6h45phút một người đi xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h . Sau đó 2 giờ một người đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h . Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu Km ? Câu 4 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác CEHD, nội tiếp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. Câu 5 : Cho x + y = 1 (x > 0; y > 0) . Tìm giá trị lớn nhất của A = x + y Hết ĐÁP ÁN 51 Câu 1: ĐK 0; 1a a≥ ≠ a. P= 1 1 a a a + + − b. P-1<0 1 1 1 2 1 0 0 0 1 1 1 a a a a a a a a a + + + + − + + ⇒ − < ⇒ < ⇒ < − − − Vì 0 0 2 0a a a≥ ⇒ ≥ ⇒ + > . Do đó 2 0 1 a a + < − khi 1 0 1 1a a a− < ⇒ < ⇒ < Kết hợp đk đầu bài 0 1a⇒ ≤ < c. ( ) 2 19 8 3 19 8 3 16 2.4. 3 3 4 3 4 3 4 3a a= − ⇒ = − = − + = − = − = − Do đó P= ( ) ( ) ( ) ( ) 24 9 3 . 3 3 19 8 3 4 3 1 24 9 3 15 3 2 4 3 1 3 3 3 3 . 3 3 − + − + − + − − = = = − − − − + Giải: Câu2 a. Để pt có hai nghiệm trái dấu thì 0 . 0a c ∆ >   <  * ( ) ( ) 2 2 2 4 1 4.1. 2b ac a a a∆ = − = − − − − + −    = ( ) 2 2 3 9 36 5 6 9 5. 2. 5. . 5 5 5 a a a a− + = − + + = 2 3 36 5. 0 5 5 a   − + >  ÷   * a.c= 1. (- a 2 + a - 2) = - ( a 2 - a + 2) < 0 ⇒ Pt luôn có hai nghiệm trái dấu b. Có A= ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2.x x x x x x+ = + − (*) Theo Viet có 1 2 x x+ = ( ) 1 1 1 a b a a − − −  −   = = − 1 2 x x = 2 2 2 2 1 c a a a a a − + − = = − + − Thay vào (*) được ( ) ( ) 2 2 1 2. 2a a a− − − + − = 2 2 2 2 1 2 2 4 3 4 5a a a a a a− + + − + = − + Do đó Amin 2 (3 4 5)a a min⇔ − + ( ) 2 2 4 11 3. 2. 3 . 3 3 3 a a⇒ − + + = 2 2 11 11 3 3 3 3 a   − + ≥  ÷   ⇒ Amin= 11 3 khi 2 3 3 a − = 0 3 2 2 0 3 2 0 3 3 a a a − ⇒ = ⇒ − = ⇒ = Giải Câu 3: Gọi thời gian người đi từ A đến chỗ gặp nhau là x giờ (x>0) Vận tốc của người đi từ A là 10 Km/h do đó qđường người đi từ A đến chỗ gặp nhau là 10x Km Người đi từ B xuất phát sau 2 giờ lên thời gian người đi từ B đến chõ gặp nhau là x- 2 giờ và người đó đi với vận tốc là 14 Km/h nên Qđường người đi từ B đến chỗ gặp là 14.(x- 2) Km Qđường AB dài 56 Km . Ta có PT 10.x + 14.(x-2) = 56 Giải PT được x=3.5 ( T/M đk đầu bài) Họ gặp nhau lúc 6h45 + 3h30 = 10h15 và cách A 10 . 3,5=35 Km Lời giải: Câu 4 1. Xét tứ giác CEHD ta có: ∠ CEH = 90 0 ( Vì BE là đường cao) ∠ CDH = 90 0 ( Vì AD là đường cao) => ∠ CEH + ∠ CDH = 180 0 Mà ∠ CEH và ∠ CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ⊥ AC => ∠BEC = 90 0 . CF là đường cao => CF ⊥ AB => ∠BFC = 90 0 . Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 90 0 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC. Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn. 3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: ∠ AEH = ∠ ADC = 90 0 ; Â là góc chung => ∆ AEH ∼ ∆ADC => AC AH AD AE = => AE.AC = AH.AD. * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: ∠ BEC = ∠ ADC = 90 0 ; ∠C là góc chung => ∆ BEC ∼ ∆ADC => AC BC AD BE = => AD.BC = BE.AC. 4. Ta có ∠C 1 = ∠A 1 ( vì cùng phụ với góc ABC) ∠C 2 = ∠A 1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) => ∠C 1 = ∠ C 2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ⊥ HM => ∆ CHM cân tại C => CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn => ∠C 1 = ∠E 1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp  ∠C 1 = ∠E 2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)  ∠E 1 = ∠E 2 => EB là tia phân giác của góc FED. Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. Giải câu 5 Vì x>0 , y>0 . Do đó( x + y ) >0 hay A > 0 nên A lớn nhất ⇔ A 2 lớn nhất. Xét A 2 = ( x + y ) 2 = x + y + 2 xy = 1 + 2 xy (1) Ta có: 2 yx + xy≥ (Bất đẳng thức Cô si) => 1 > 2 xy (2) Từ (1) và (2) suy ra: A 2 = 1 + 2 xy < 1 + 2 = 2 Max A 2 = 2 <=> x = y = 2 1 , max A = 2 <=> x = y = 2 1 . dài 56 Km . Ta có PT 10. x + 14.(x-2) = 56 Giải PT được x=3.5 ( T/M đk đầu bài) Họ gặp nhau lúc 6h45 + 3h30 = 10h15 và cách A 10 . 3,5=35 Km Lời giải: Câu 4 1. Xét tứ giác CEHD ta có: ∠ CEH =. a 2 + a - 2) = - ( a 2 - a + 2) < 0 ⇒ Pt luôn có hai nghiệm trái dấu b. Có A= ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2.x x x x x x+ = + − (*) Theo Viet có 1 2 x x+ = ( ) 1 1 1 a b a a − − −  −   =. BC. Câu 5 : Cho x + y = 1 (x > 0; y > 0) . Tìm giá trị lớn nhất của A = x + y Hết ĐÁP ÁN 51 Câu 1: ĐK 0; 1a a≥ ≠ a. P= 1 1 a a a + + − b. P-1<0 1 1 1 2 1 0 0 0 1 1 1 a a a a a