Trường THPT Trần Quốc Tuấn Tổ Toán Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2015 Môn Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 4 2 2 2 2 y x x m m     (1) , với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt, tạo thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau. Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình a)     2 3 1sin cos 3 1cos sin cos 1 x x x x x       . b) 2 2 1 2 2 log log( 2) log (2 3) x x x    . Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân 2 sin 1 x I dx x x      . Câu 4 (1,0 điểm). a) Tìm z   thỏa mãn điều kiện 2 2 2 2 1 2 5 iz z i i i       . b) Cho tập A gồm các số có 4 chữ số đôi một phân biệt được thành lập từ các chữ số 0,1,2,3,4,5. Lấy ngẫu nhiên 2 số từ tập A. Tính xác suất để 2 số được lấy có ít nhất một số chẵn. Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 2 điểm (1;2;3), (3;2;1) A B   và mặt phẳng (): 2 0P x y z    . Tìm điểm ()M P sao cho 2 2 MA MB  bé nhất. Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp A.BCD có hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (BCD) trùng với trung điểm H của đoạn BC. Tam giác BCD vuông tại D và có 2,BC aBD a  . Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là 60 0 . Tính thể tích của tứ diện ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC. Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có (4;5), (3;3), (0;0)A H O  lần lượt là đỉnh, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tìm tọa độ hai đỉnh B và C . Câu 8 (1 điểm). Giải bất phương trình 2 2 2 1 2 2 3 3 4 5x x x x x       . Câu 9 (1 điểm). Cho ,, 0: 1xyz x y z    . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức ( 2 )P xyz xy yz zx    . HẾT Đáp án (Có chỉnh sửa) Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 Câu Đáp án Điểm 1 Cho hàm số 4 2 2 2 2 y x x m m    (1) , với m là tham số thực. 1.a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 1 Khi 1 m  thì 4 2 2 1 y x x    , MXĐ: D   , lim x y    0.25 3 ' 4 4 , ' 0 0, 1 y x x y x x        suy ra các khoảng đơn điệu và cực trị 0.5 Đồ thị 0.25 1.b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt, tạo thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau. 1 Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt 2 2 2 2 0 t t m m      2 t m t m         có hai nghiệm phân biệt dương (0;2) 1 m m           0.25 Nếu 1 2 m m m    thì 4 điểm đó là 1 2 3 4 , 2 , 2 , x m x m x m x m      . 4 điểm tạo thành 3 đoạn thẳng bằng nhau khi 4 3 3 2 2 1 9 3 2 5 x x x x x x m m m           0.25 Tương tự cho trường hợp 0 1 m   ta có 1 5 m  0.25 ĐS: 1 9 ; 5 5 m                0.25 2a Giải:     2 3 1 sin cos 3 1 cos sin cos 1x x x x x      0.5 PT   (sin cos ) sin 3cos 1 0 x x x x      0.25 Giải được từng phương trình sin cos 0 x x   và sin 3 cos 1 x x   0.25 2.b Giải 2 2 1 2 2 log log ( 2) log (2 3) x x x     0.5 Điều kiện 3 , 0 2 x x    , 2 2 2 2 PT log log (2 3) 2 x x x     0.25 2 2 (2 3) 1 2 x x x x       0.25 3 Tính tích phân 2 sin 1 x I dx x x       . 1 2 2 sin 1sin sin 1 x I dx x xdx x xdx x x                  0.25 Thấy được 2 1sin 0 x xdx      do   2 ( ) 1sin , ; f x x x x       là hàm số lẻ 0.25 Tính được sin 2 x xdx       và kết luận 0.5 4.a Tìm z  thỏa mãn điều kiện 2 2 2 2 1 2 5 iz z i i i       0.5 PT (2 )(2 ) ( 2 )(1 2 ) 2 iz i z i i        0.25 Gọi ( , ) z a bi a b z a bi      . Thay vào giải được 3 ( ) 2 a z a i a      0.25 4.b Cho tập A gồm các số có 4 chữ số đôi một phân biệt được thành lập từ các chữ số 0,1,2,3,4,5. Lấy ngẫu nhiên 2 số từ tập A. Tính xác suất để 2 số được lấy có ít nhất một số chẵn. 0.5 Số các số có 4 chữ số đôi một phân biệt là 5.5.4.3=300 (Số) Số phần từ không gian mẫu là 2 300 C Số các số lẻ (trong 300 số đó) là 3.3.4.4=144(số), số chẵn: 300-144=156(số) 0.25 Xác suất để lấy được 1 số chẵn, 1 số lẻ là 1 1 144 156 1 2 300 288 575 C C p C   Xác suất để lấy được 2 số chẵn, là 2 156 2 2 300 31 115 C p C   Xác suất cần tìm là 1 2 443 575 p p p   0.25 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm ( 1;2; 3), ( 3;2;1) A B    và mặt phẳng ( ): 2 0 P x y z     . Tìm điểm ( )M P sao cho 2 2 MA MB bé nhất. 1 Gọi I là trung điểm đoạn ( 2;2; 1) AB I    . Theo định lý đường trung tuyến, ta có 2 2 2 2 2 2 AB MA MB MI   0.25 Suy ra 2 2 MA MB bé nhất khi và chỉ khi MI bé nhất. Mà MI bé nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I lên (P). 0.25 Đường thẳng d qua I và vuông góc với (P) có phương trình 2 2 1 x t y t z t              0.25 Tìm được giao điểm điểm ( )M d P  là ( 3;1;0) M  0.25 6 Cho hình chóp A.BCD có hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (BCD) trùng với trung điểm H của đoạn BC. Tam giác BCD vuông tại D và có 2 , BC a BD a  . Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là 60 0 . Tính thể tích của tứ diện ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC. 1.0 Gọi M là trung điểm CD. Chứng minh được     0 ( ),( ) 60 ACD BCD AMH  . 0.25 Từ đó tính được 3 2 a AH  . Ta cũng dễ tính được diện tích tam giác BCD là 2 3 2 a S  nên 3 4 ABCD a V  . 0.25 Dựng hình bình hành BDCE, K là hình chiếu vuông góc của H trên CE, I là hình chiếu vuông góc của H trên AK. Thế thì ( , ) ( ,( )) ( ,( ))d BD AC d BD ACE d B ACE  0.25 6 2 ( ,( )) 2 2 a d H ACE HI   0.25 7 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có ( 4;5), ( 3;3), (0;0) A H O   lần lượt là đỉnh, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ hai đỉnh B và C. 1.0 Gọi M là trung điểm BC thì ta có 1 2 ; 1 2 AH OM M                . 0.25 Đường thẳng BC qua M và nhận (1; 2) AH    làm VTPT nên có PT: 5 2 0 2 x y    0.25 Ngoài ra B, C nằm trên đường tròn tâm O, bán kính 41 R OA   nên tọa độ B, C là nghiệm của hệ 2 2 41 5 2 0 2 x y x y               0.25 1 795 1 795 2 5 2 5 795 795 1 1 10 10 x x y y                                      Suy ra tọa độ B, C. 0.25 8 Giải bất phương trình 2 2 2 1 2 2 3 3 4 5 x x x x x        . 1.0 ĐK x   . Đặt 2 2 2 2 2 0, 0 1; 2 3 4 5 2 a b a x b x x x x b a                    0.25 BPT : 2 2 2 2 3 2 10 4 14 0 ( )(10 14 ) 0 a b b a a ab b a b a b a b             0.25 Với a b , ta có 2 2 1 2 3 1 x x x x        0.25 Vậy tập nghiệm của BPT là   ; 1 S    0.25 60 K M H E C B D A I 9 Cho ,, 0: 1 xyz x y z     . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức ( 2 )P xyz xy yz zx     1.0 ( 2 ) ( 2) ( ) P xyz xy yz zx yzx xy z         2 2 (1 )( 2) ( 2) ( ) (1 ) () 2 4 y z x x x xy z x x fx                      do 0 1 x   0.25 Xét hàm số   2 (1 )( 2) () (1 ), 0;1 4 x x fx x x x       , khảo sát hàm số   (), 0;1y fx x  , ta có    1 () 0 , 0;1 2 fx f x    0.25 Vậy 1 2 P  . Mặt khác, khi 1 0; 2 x y z    thì 1 2 P  . Vậy 1 min 2 P  0.25 Ta có ( 2 ) ( 2 ) ( ) 0P xyz xy yz zx yz xy yz zx xy yz zx             Khi 1, 0 0x y z P      . Vậy max 0 P  0.25 HẾT . sửa) Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 Câu Đáp án Điểm 1 Cho hàm số 4 2 2 2 2 y x x m m    (1) , với m là tham số thực. 1.a Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số (1). Trường THPT Trần Quốc Tuấn Tổ Toán Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2015 Môn Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 4 2 2 2 2 y x x m m  . 5.5.4.3=300 (Số) Số phần từ không gian mẫu là 2 300 C Số các số lẻ (trong 300 số đó) là 3.3.4.4=144 (số) , số chẵn: 300-144=156 (số) 0.25 Xác suất để lấy được 1 số chẵn, 1 số lẻ là 1 1 144