1 Họ và tên thí sinh:…………………… ………… Chữ ký giám thị 1: Số báo danh:…………………………… ……… …………….……………… SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 * Môn thi: TOÁN * Bảng: B * Lớp: 11 * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Câu 1: (4 điểm) Tính tổng 12 99 aa a++ + biết () 1 11 n a nnnn = + ++ ( ) 1,2, ,99n = Câu 2: (4 điểm) Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác có diện tích S. Chứng minh rằng: 34 222 cba S ++ ≤ Câu 3: (4 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: ( ) 3 222236 5315 +−=−+ yzyxzxzx Câu 4: (4 điểm) Giải phương trình: 11 44 sin 2 sin 2 1 22 xx++−= Câu 5: (4 điểm) Cho tứ diện OABC có OA = a; OB = b; OC = c; n BOC α = ; n COA β = ; n AOB γ = . Gọi S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng: 22 2 sin sin sin 222 cot cot ab bc ca ABCotC S γ αβ ++ ++ ≥ HẾT (Gồm 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC 1 SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 * Môn thi: TOÁN * Bảng: B * Lớp: 11 * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: (4 điểm) Ta có: ( ) () () 2 2 11 11 n nnnn a nnnn +−+ = +− + = ( ) () 11 1 nnnn nn + −+ + = 1 1 nn nn + − + (2.0đ) Do đó: 1 12 12 a =− 2 23 23 a =− …………… 98 98 99 98 99 a =− 99 99 100 99 100 a =− (1.0đ) Vậy 12 99 19 1 10 10 aa a++ + =− = (1.0đ) Câu 2: (4 điểm) Theo công thức Hêrông ta có: ( ) ( ) ( ) cpbpappS −−−= 2 (1) (0.5đ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm p-a, p-b, p-c ta có: ()()() () ( ) ( ) 273 3 3 pcpbpap cpbpap = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+−+− ≤−−− (2) (1.0đ) Từ (1) và (2) suy ra ( ) 31233 2 2 cbap S ++ =≤ (0.5đ) Mặt khác ta có: () ()()()( ) 222222222222 222 2 3 222 cbaaccbbacba cabcabcbacba ++=++++++++≤ +++++=++ (1.0đ) (Gồm 03 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC 2 Do đó: 34 222 cba S ++ ≤ (đpcm) (0.5đ) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c (0.5đ) Câu 3: (4 điểm) Ta thấy: ( ) 3 222236 5315 +−=−+ yzyxzxzx ⇔ () zxzyxyzx 222 3 236 1535 +=+++ (0.25đ) ⇔ () ( ) 535 22 3 236 +=+++ yzxyzx (0.25đ) Do x, y, z > 0 nên áp dụng bất đẳng thức cosi ta có: () () 3 3 236 3 236 535 +≥+++ yzxyzx () )5(35 22 3 236 +≥+++ yzxyzx (1.0đ) Nên đẳng thức xảy ra: ⇔ () () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = += 2 15 2 22 zx yx (0.5đ) Từ (1) suy ra: ( ) ( ) 55 22 =+−⇔=− yxyxyx (0.5đ) Do x, y > 0 ⎩ ⎨ ⎧ = >−>+ ⇒ 1.55 0yxyx ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ =− =+ ⇒ 2 3 1 5 y x yx yx (1.0đ) => z = 9 Thử lại và kết luận phương trình có nghiệm duy nhất là: (3, 2, 9) (0.5đ) Câu 4: (4 điểm) Điều kiện: 1 20 11 2 2 221 20 2 Si n x Si n x Si n x ⎧ −≥ ⎪ ⎪ ⇔− ≤ ≤ ⎨ ⎪ +≥ ⎪ ⎩ (*) (0.25đ) Với điều kiện trên, Đặt u= 4 1 sin 2 2 x + , v= 4 1 sin 2 2 x − Ta có hệ phương trình: 44 1 1 uv uv += ⎧ ⎨ += ⎩ (0.5đ) 1 .(. 2) 0 uv uvuv += ⎧ ⇔ ⎨ −= ⎩ 11 () ( ) .0 .2 uv uv III uv uv += += ⎧⎧ ⇔∨ ⎨⎨ == ⎩⎩ (1.0đ) Hệ (II) vô nghiệm (0.25đ) Hệ (I) 01 10 uu vv == ⎧⎧ ⇔∨ ⎨⎨ == ⎩⎩ (0.5đ) 3 11 sin2 1 si n2 0 22 11 sin 2 0 sin 2 1 22 xx xx ⎧⎧ += += ⎪⎪ ⎪⎪ ⇔∨ ⎨⎨ ⎪⎪ −= −= ⎪⎪ ⎩⎩ (0.5đ) ⇒ sin2x= 11 si n 2 22 x∨=− ; thỏa (*) (0.5đ) 12 12 (, ) 57 12 12 xkx m km xkxm ππ ππ ππ ππ ⎡⎡ =+ =−+ ⎢⎢ ⇒∨ ∈ ⎢⎢ ⎢⎢ =+ =+ ⎢⎢ ⎣⎣ ] (0.5đ) Câu 5: (4 điểm) Trong tam giác ABC, ta chứng minh được: cotA + cotB + cotC = 222 4 A BACBC S ++ (*) (1.0đ) Mà AB 2 = a 2 + b 2 – 2abcos γ ; (0.5đ) AC 2 = a 2 + c 2 – 2accos β ; (0.5đ) BC 2 = b 2 + c 2 – 2bccos α ; (0.5đ) Thay vào (*) ta được 222 cos cos cos cot cot 2 abcbc ca ab ABCotC S α βγ ++− − − ++ = (0.5đ) ⇒ cos cos cos cot cot 2 ab bc ca bc ca ab ABCotC S α βγ + +− − − ++ ≥ (Cosi) (0.5đ) ⇔ 22 2 sin sin sin 222 cot cot ab bc ca ABCotC S γ αβ ++ ++ ≥ Vậy 22 2 sin sin sin 222 cot cot ab bc ca ABCotC S γ αβ ++ ++ ≥ (0.5đ) Chú ý: HDC chỉ là một trong các phương án, học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. HẾT c b a γ β α C B O A . cot ab bc ca ABCotC S γ αβ ++ ++ ≥ HẾT (Gồm 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC 1 SỞ GDĐT B C LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2 011 - 2012 * Môn thi: TOÁN * B ng: B. thí sinh: …………………… ………… Chữ ký giám thị 1: Số b o danh:…………………………… ……… …………….……………… SỞ GDĐT B C LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2 011 - 2012 * Môn thi: TOÁN * B ng: . cot 2 abcbc ca ab ABCotC S α βγ ++− − − ++ = (0.5đ) ⇒ cos cos cos cot cot 2 ab bc ca bc ca ab ABCotC S α βγ + +− − − ++ ≥ (Cosi) (0.5đ) ⇔ 22 2 sin sin sin 222 cot cot ab bc ca ABCotC S γ αβ ++ ++