Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 56 Ngày 03.4.2013 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + (1) (m tham số thực) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Xác định m để điểm M (2m3 ; m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số (1) tam giác có diện tích nhỏ Câu II (2,0 điểm) 2 Giải phương trình: sin x cos x + sin x = sin x sin x 3 x + y − xy =  ( x, y ∈ ¡ ) Giải hệ phương trình:  5x + + y + =   π Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I = x + sin x dx ∫ + cos x Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SA = SB = a , SD = a mặt phẳng (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AC SD Câu V (1,0 điểm) Cho hệ phương trình: (2 x − x + x) x − x + + m + (2 y − y + y ) y − y + + m =  ( x, y ∈ ¡ )   x − 2my = m +  Chứng minh ∀m ∈ ¡ , hệ phương trình cho ln có nghiệm PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (T): x2 + y2 – 9x – y + 18 = hai điểm A(1; 4), B(−1; 3) Gọi C, D hai điểm thuộc (T) cho ABCD hình bình hành Viết phương trình đường thẳng CD Trong khơng gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(1; −1; 0), cắt x−2 y z+2 = = đường thẳng (d): tạo với mặt phẳng (P): 2x − y − z + = góc 300 1 z −1+ i = Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn z + z = z − 2i B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (T): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 10 hai điểm B(1; 4), C(−3; 2) Tìm tọa độ điểm A thuộc (T) cho tam giác ABC có diện tích 19 Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(13; −1; 0), B(2; 1; −2), C(1; 2; 2) mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y − z − 67 = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với BC tiếp xúc mặt cầu (S) 1 < Câu VII.b (1,0 điểm) Giải bất phương trình sau: log x − x + log ( x − 3) - Hết - Luyện thi Đại Học Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727 ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 56 Câu 1:1Cho hàm số y = x − 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + (1) (m tham số thực) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Ta có hàm số: y = x − x + TXĐ: ¡ x = y ' = 6x2 − x ; y ' = ⇔ x2 − 6x = ⇔  ; y(0) = 1, y(1) = x = Hàm số nghịch biến khoảng ( 0; ) Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; ) ; ( 1; + ∞ ) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = và hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = Giới hạn: xlim y = −∞ ; xlim y = +∞ →−∞ →+∞ y Bảng biến thiên: x −∞ + y’ 0 1 − +∞ + • +∞ y −∞ 1• − • • x 1 ⇒ y  = ⇒ đồ thị có điểm uốn I  ;  là tâm đới xứng  ÷ 2  ÷ 2 2  2 Câu 1: Xác định m để điểm M (2m3 ; m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số (1) tam giác có diện tích nhỏ Ta có: y ' = x − 6(2m + 1) x + 6m(m + 1); y ' = ⇔ x = m; x = m + ⇒ ∀m ∈ ¡ , hàm số có CĐ, CT Tọa độ điểm CĐ, CT đồ thị A(m; 2m3 + 3m + 1), B (m + 1; 2m3 + 3m ) Suy AB = phương trình đường thẳng AB : x + y − 2m3 − 3m − m − = Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ khoảng cách từ M tới AB nhỏ 1 3m + ⇒ d ( M ; AB ) ≥ ⇒ d ( M ; AB ) = Ta có: d ( M , AB ) = đạt m = 2 2 Câu 2: Giải phương trình: sin x cos x + sin x = sin x sin x (1 − cos x) cos x + − cos x = sin x sin x ⇔ − cos x cos x = sin x sin x Phương trình cho tương đương với: 2 1 ⇔ − (cos x + cos10 x) = (cos x − cos10 x) ⇔ cos x + cos x − = 2 ⇔ cos x − cos x − = ⇔ (cos x − 1)(2 cos 2 x + cos x + 1) = ⇔ cos x = ⇔ x = kπ , k ∈ ¢ y '' = 12 x − 6; y '' = ⇔ 12 x − = ⇔ x = 3 x + y − xy =  ( x, y ∈ ¡ ) Câu 2: Giải hệ phương trình:   5x + + y + =  6 x + y − xy = x ≥  Cách 1: Đk: Từ hệ suy đk  Hệ cho tương đương với:  y ≥  x + + y + = 16  6 x + y − xy =  ⇔ 5 x + − x + + + y + − y + + + x − xy + y =  6 x + y − xy =  ⇔ 2  5x + − + 5x + − + x − y =  ( ) ( ) ( ) Luyện thi Đại Học Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 6 x + y − xy =   5x + = 1 1 ⇔ ⇔ x = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm  ; ÷ 5 5  5y + =   x= y  Cách 2: Hệ cho tương đương với 3(5 x + y ) − xy = 3(5 x + y ) − xy =   ⇔  5 x + y + (5 x + 3)(5 y + 3) + = 16 5 x + y + 3(5 x + y ) + 25 xy + = 10   ĐT:01694838727 Đặt u = x + y , v = xy ĐK: u ≥ 0, v ≥ Hệ trở thành:  3u − v =   v = 3u − v = 3u − ⇔ ⇔  2 u + 3u + v + = 10 2 9u − 27u + 34 = 10 − u (*) u + 3u + (3u − 5) + = 10    5 5  ≤ u ≤ 10  ≤ u ≤ 10 ⇔ 3 ⇔u=2 Do ĐK u, v nên (*) ⇔  49(u − 27u + 34) = (10 − u ) 35u − 88u + 36 =   5 x + y = 5 x + y =   ⇔ ⇔ x = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm Với u = ⇒ v = 1, ta hệ:  5 xy =  xy = 25   π π π 1 1  ; ÷ 5 5 π sin x d (1 + cos x)  4 Câu 3: Tính tích phân: I = x + sin x dx Ta có Tính =  − ln(1 + cos x)  = ln dx = − ∫ ∫ + cos x ∫ + cos x + cos x  0 0 π dx x dx Đặt: u = x ⇒ du = dx; dv = cos x ⇒ v = tan x cos x Tính J = ∫ π π sin x π Vậy I = π + ln dx = + ln cos x ⇒ J = ( x tan x) − ∫ Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SA = SB = a , SD = a mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AC SD Theo giả thiết (ABCD) ⊥ (SBD) theo giao tuyến BD Do dựng AO ⊥ S (SBD) O ∈ BD Mặt khác AS = AB = AD ⇒ OS = OB = OD hay ∆SBD tam giác vng S Từ đó: BD = SB + SD = a + 2a = a H D C 3a a = Suy thể tích khối chóp S.ABD tính bởi: O A AO = AB − OB = a − B ⇒ VS ABCD = 2VS ABD VS ABD = VA.SBD 1 a a3 = S SBD AO = SB.SD AO = a.a = 6 12 a3 (đvtt) Trong ∆SBD dựng OH ⊥ SD H (1) ⇒ H trung điểm SD = Theo chứng minh AO ⊥ (SBD) ⇒ AO ⊥ OH (2) (1) (2) chứng tỏ OH đoạn vng góc chung AC SD Vậy d ( AC , BD) = OH = a SB = 2 Câu 5: Cho hệ phương trình: Luyện thi Đại Học Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727 2 2 (2 x − x + x) x − x + + m + (2 y − y + y ) y − y + + m = (1)  ( x, y ∈ ¡ )   x − 2my = m +  Chứng minh ∀m ∈ ¡ , hệ phương trình cho ln có nghiệm 1  Đồ thị hàm số f ( x) = x − x + x có tâm đối xứng I  ; ÷ đồ thị hàm số g ( x) = x − x + + m có 2  trục đối xứng x = Do đặt y = 1− x thay vào vế trái (1) ta được: (2 x − x + x ) x − x + + m + [2(1 − x )3 − 3(1 − x) + − x] (1 − x) − (1 − x) + + m = (2 x − x + x ) x − x + + m − (2 x − x + x) x − x + + m = 0, ∀x, m ∈ ¡ Chứng tỏ ∀m ∈ ¡ , phương trình (1) nhận nghiệm ( x; − x), x ∈ ¡  y = 1− x Từ tốn cho tương đương với toán chứng minh hệ phương trình:  có  x − 2my = m + nghiệm ∀m ∈ ¡ hay phương trình x + 2mx − 3m − = có nghiệm ∀m ∈ ¡ 3  Điều hiển nhiên ∆ ' = m + 3m + =  m + ÷ + > 0, ∀m ∈ ¡ 2  Câu 6a: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (T): x2 + y2 – 9x – y + 18 = hai điểm A(1;4), B(−1; 3) Gọi C, D hai điểm thuộc (T) cho ABCD hình bình hành Viết phương trình đường uuu r 9 1 10 thẳng CD.Ta có AB = (−2; −1), AB = ; (C) có tâm I  ; ÷ bán kính R = 2 2 ABCD hình bình hành nên CD = AB phương trình CD: x – 2y + m = + 2m (7 + 2m) d ( I , CD) = ; CD = R − d ( I , CD ) ⇔ = − ⇔ m + m + = ⇔ m = −1; m = −6 20 Vậy phương trình CD: x – 2y − = 0; x – 2y − = Câu 6a: Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(1;−1;0), cắt x−2 y z+2 = = đường thẳng (d): tạo với mặt phẳng (P): 2x − y − z + = góc 300 1 Gọi N = (d ) ∩ ∆ ⇒ N (2 + 2t; t ; − + t ) uuuu r r Ta có: MN = (1 + 2t ; t + 1; − + t ) mp(P) có vtpt n = (2; − 1; − 1) uuuu r r + 4t − t − + − t = (d) tạo với (P) góc 300 nên: s in30 = cos MN , n = 2 (1 + 2t ) + (t + 1) + (t − 2) 2 ( 2t + ) ⇔ 10t − 18t = ⇔ t = 0; t = 6t + 2t + x −1 y +1 z x −1 y +1 z = = = = + Với t = 0, phương trình ∆ : + Với t = , phương trình ∆ : 1 −2 23 14 −1 z −1+ i = Câu 7a: Tìm số phức z thỏa mãn z + z = z − 2i Giả sử z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) Ta có: + z + z = ⇔ ( x + yi )2 + ( x − yi )2 = ⇔ x − y = z −1+ i = ⇔ ( x − 1) + ( y + 1)i = x + ( y − 2)i ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = x + ( y − 2) ⇔ x − y + = + z − 2i  x = 2, y =  x2 − y2 = x = y −1 ⇔ ⇔ Giải hệ phương trình:  Vậy z = + i; z = − − i x = − , y = − 4 x − 3y +1 = 4 y − y − =   4 ⇔ = Luyện thi Đại Học Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727 Câu 6b: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (T): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 10 hai điểm B(1;4), C(−3; 2) Tìm tọa độ điểm A thuộc (T) cho tam giác ABC có diện tích 19 Giả sử A(x; y) ∈ (C) ⇒ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 10 Ta có: BC = và phương trình BC: x – 2y + = x − 2y + d ( A, BC ) = Diện tích tam giác ABC: S ABC = BC.d ( A, BC ) = 19 x − 2y +  x = y + 12 = 19 ⇔  ⇔ 5  x = y − 26 23 TH1: x = 2y + 12 vào (1), ta y + 48 y + 115 = ⇔ y = −5; y = − 23 14 + y = −5 ⇒ x = +y=− ⇒x= 5  14 23  TH2: x = 2y – 26 vào (1), ta 5y2 – 104y +723 = (vô nghiệm) Vậy A(2; − 5) ; A  ; − ÷   Câu 6b: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(13; −1; 0), B(2; 1; −2), C(1; 2; 2) mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y − z − 67 = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với BC tiếp xúc mặt cầu (S) (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = r Giả sử (P) có vtpt n = ( A; B; C ), ( A2 + B + C ≠ 0) r r r uuu r uuu r (P) // BC nên n ⊥ BC = (−1;1; 4) ⇒ n.BC = ⇔ A = B + 4C ⇒ n = ( B + 4C ; B; C ) (P) qua A(13; −1; 0) ⇒ phương trình (P): ( B + 4C ) x + By + Cz − 12 B − 52C = B + 4C + B + 3C − 12 B − 52C =9 (P) tiếp xúc (S) ⇔ d [ I , ( P)] = R ⇔ ( B + 4C ) + B + C  B + 2C = ⇔ B − BC − 8C = ⇔ ( B + 2C )( B − 4C ) = ⇔   B − 4C = B = Với B + 2C = chọn  , ta được phương trình (P): −2x + 2y − z + 28 = C = −1 B = Với B − 4C = chọn  , ta được phương trình (P): 8x + 4y + z −100 = C = Cả hai mặt phẳng (P) tìm được ở đều thỏa yêu cầu bài toán  x2 − x + > x >  1  x − 4x + ≠ < ⇔ x ≠ Câu 7b: Giải bất phương trình sau: Điều kiện:  log x − x + log ( x − 3) x − >  x ≠ + x − ≠  Khi đó có trường hợp: TH1: Nếu x > thì log x − x + > log = và log ( x − 3) > log = Do đó bpt tương đương: log ( x − 3) < log x − x + ⇔ x − < x − x + ⇔ x − < x − (đúng ∀x > ) TH2: Nếu + < x < thì log x − x + > log = và log ( x − 3) < log = Suy bpt vô nghiệm TH3: Nếu < x < + thì log x − x + < log = và log ( x − 3) < log = Do đó bpt tương đương: log ( x − 3) < log x − x + ⇔ x − < x − x + ⇔ x − < x − (đúng ∀x ∈ (2; + 2) ) Vậy bpt có tập nghiệm là S = (2; + 2) ∪ (4; + ∞) Luyện thi Đại Học ... Thạch ĐT:01694838727 ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 56 Câu 1:1Cho hàm số y = x − 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + (1) (m tham số thực) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số (1) m = Ta có hàm số: y = x − x + TXĐ: ¡ x... ; m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số (1) tam giác có diện tích nhỏ Ta có: y '' = x − 6(2m + 1) x + 6m(m + 1); y '' = ⇔ x = m; x = m + ⇒ ∀m ∈ ¡ , hàm số ln có CĐ, CT Tọa độ điểm... + + + x − xy + y =  6 x + y − xy =  ⇔ 2  5x + − + 5x + − + x − y =  ( ) ( ) ( ) Luyện thi Đại Học Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 6 x + y − xy =   5x + = 1 1 ⇔ ⇔ x = y = Vậy hệ phương trình