ĐỀ THI THỬ THỬ ĐẠI HỌC SỐ 109 Ngày 20 tháng 5 năm 2014 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm) Câu 1 ( 2,0 điểm). Cho hàm số x y x 1 = - a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt hai đường tiệm cận tại A, B và tam giác OAB cân tại O ( O là gốc tọa độ ) Câu 2 ( 1,0 điểm ). Giải phương trình: 2 π sinx.sin 4x 2 2cos x 4 3cos x.sinx.cos2x 6 æ ö ÷ ç = - - ÷ ç ÷ ç è ø Câu 3 ( 1,0 điểm ). Giải hệ phương trình: ( ) 2 2 x y 1 2x 2y 2x y y 1 2y ì ï + + = + ï í ï - = + ï î Câu 4 ( 1,0 điểm). Tính tích phân: ( ) ln8 2x x x ln3 I 3 e 1 e dx - = + + ò Câu 5(1,0 điểm ).Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB=2a, AD=CD=BC=a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA= a 2 . Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SB cắt SB, SC, SD lần lượt tại I, J, K . Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD). Tính cosφ và thể tích khối chóp S.AIJK. Câu 6 ( 1,0 điểm). Cho x, y là hai số thực thay đổi thỏa mãn: ( ) ( ) 2x 1 x y y 1- ³ - . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P x y 3xy= - + II. PHẦN RIÊNG( 3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình chuẩn Câu 7a ( 1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC=2BD. Điểm 1 M 0; 3 æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø thuộc đường thẳng AB, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD biết B có hoành độ dương. Câu 8a ( 1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;1;0); B(0;3;1) và đường thẳng d: x y z 1 2 2 1 - = = . Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và d chéo nhau. Tìm điểm M thuộc d sao cho tam giác MAB cân tại M. Câu 9a ( 1,0 điểm). Một hộp đựng 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên 8 tấm thẻ. Tính xác suất để 8 tấm thẻ được chọn có 4 tấm thẻ mang số chẵn, 4 tấm thẻ mang số lẻ và chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10. B. Theo chương trình nâng cao Câu 7b ( 1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2 x y 2x 4y 0+ - - = và M( 6;2). Lập phương trình đường thẳng d qua M, d cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 2 2 MA MB 50+ = Câu 8b ( 1,0 điểm).Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): 2 2 2 x y z 2x 4y 4z 0+ + + + + = . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi bằng 6π . Câu 9b ( 1,0 điểm). Tìm số phức z thỏa mãn: ( ) 4 2 z i 4z 0+ + = HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………………………………; Số báo danh:…………………………… Thày giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành phố Thanh Hóa 1 HNG DN GII S 109 Cõu P N im 1 1a Cho hm s x y x 1 = - a) Kho sỏt, v th hm s b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) bit tip tuyn ct hai ng tim cn ti A, B v tam giỏc OAB cõn ti O ( O l gc ta ) Kho sỏt, v th hm s TX: { } = \ 1D R S bin thiờn: -Chiu bin thiờn: ( ) = < 2 1 0, 1 y x D x 2,0 1,0 0,25 Hm s nghch bin trờn ( ) ;1 v ( ) +1; - Gii hn v tim cn: + = =lim 1; lim 1 x x y y , tim cn ngang: y=1 + = + = 1 1 lim ; lim x x y y ; tim cõn ng: x= 1 0,25 Bng bin thiờn: 0,25 th : Giao vi Ox v Oy ti gc ta O 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -15 -10 -5 5 10 15 th hm s nhn im I( 1;1) lm tõm i xng 0,25 1b Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) bit tip tuyn ct hai ng tim cn ti A, B v tam giỏc OAB cõn ti O ( O l gc ta ) Gi d l tip tuyn cn tỡm v M( x 0 ; y 0 ) l tip im ( ) 0 1x Khi ú phng trỡnh tip tuyn ti im M l: ( ) ( ) 0 0 2 0 0 x 1 y x x x 1 x 1 - = - + - - ( ) 0 0 0 x 1 d TCD A 1; ;d TCN B 2x 1;1 x 1 ổ ử + ữ ỗ ữ ầ = ầ = - ị ỗ ữ ỗ ữ ỗ - ố ứ M l trung im AB Tam giỏc OAB cõn ti O khi OM AB OM.u 0 uuuur r ^ = vi ( ) 2 0 1 u 1; x 1 r ổ ử - ữ ỗ ữ ỗ = ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ - ố ứ l vtcp ca d do ú ta cú: ( ) 0 0 0 3 0 0 x 0 x x 0 x 2 x 1 ộ = - ờ + = ờ = - ở Vi 0 x 0 ptd : y x= ị =- ( loi). Vi 0 x 2= phng trỡnh d: y x 4=- + ( tm) Võy phng trỡnh tip tuyn cn tỡm: y x 4=- + Chỳ ý: Hc sinh cú th dựng iu kin: tam giỏc OAB cõn ti O khi OA=OB 1,0 0.25 0,25 0,25 0,25 2 Gii phng trỡnh: 2 sinx.sin 4x 2 2cos x 4 3cos x.sinx.cos2x 6 ổ ử ữ ỗ = - - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 1.0 Thy giỏo:Lờ Nguyờn Thch 184 ng Lũ Chum Thnh ph Thanh Húa 2 sinx.sin4x = 2 2 2cos x 4 3cos x.sinx.cos2x 6 π   − −  ÷   sinx.sin 4x 2 2cos x 3cosx.sin4x 6 π   ⇔ = − −  ÷   ( ) ( ) ( ) sin4x sin x 3 cos x 2 2cos x 2sin 4x.cos x 2 2cos x 6 6 6 cos x 0 6 sin 4x 2 vô nghiêm cos x 0 x k x m m Z 6 6 2 3 π π π       ⇔ + = − ⇔ − = −  ÷  ÷  ÷        π   − =  ÷    ⇔   =  π π π π   − = ⇔ − = + π ⇔ = − + π ∈  ÷   Vậy phương trình có nghiệm ( ) x m m Z 3 π = − + π ∈ 0,25 0,25 0,25 0,25 3 Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 x y 1 2x 2y 1 2x y y 1 2y 2  + + = +   − = +   Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x 2 x 2xy 1 1 2x 4y x x 2y 2 x 2y x 2 x 2y 0 x 2y 0 =  + + = + + ⇔ + = + ⇔ − + = ⇔  + =  Trường hợp x=2 thay vào (2) ta có y=1 Trường hợp x+2y=0 thay vào (2) ta được phương trình vô nghiệm. Vậy hệ có nghiệm x=2; y=1 1.0 0,25 0,25 0,25 0,25 4 Tính tích phân: ( ) ln8 2x x x ln3 I 3 e 1 e dx - = + + ò ln8 ln8 x x x x ln3 ln3 9 e 1 I dx dx e e + = + ò ò Xét: ( ) ln8 x ln8 ln3 ln8 ln8 x x ln9 1 ln9 1 x ln3 ln3 ln3 9 9 9 9 9 1 e e e dx dx 8 3 9 9 e e ln9 1 ln ln e e - - æö æö æö ÷ ÷ ÷ ç ç ç - ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç æö è ø è ø è ø ÷ ç = = = = - ÷ ç ÷ ç æö æö è ø - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø ò ò Xét ln8 x 1 x ln3 e 1 I dx e + = ò Đặt x 2 x x t e 1 t e 1 dt e dx= + Þ = + Þ = Đổi cận: x ln3 t 2;x ln8 t 3= Þ = = Þ = Do đó: ( ) ( ) ( ) 3 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2t 1 1 2 1 I dt dt 2 t 1 t 1 t 1 t 1 1 1 1 t 1 7 1 3 ln ln 2 t 1 t 1 t 1 24 2 2 æ ö ÷ ç ÷ ç = = + + ÷ ç ÷ ç - ÷ ç - + - è ø æ ö - - ÷ ç = - + = + ÷ ç ÷ ç ÷ - + + è ø ò ò Vậy I= ( ) ln9 1 ln9 1 1 8 3 ln9 1 - - - - + 7 1 3 ln 24 2 2 + 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 Thày giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành phố Thanh Hóa 3 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB=2a, AD=CD=BC=a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA= a 2 . Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SB cắt SB, SC, SD lần lượt tại I, J, K . Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD). Tính cosφ và thể tích khối chóp S.AIJK. E A B D C S I J K Goi E là trung điểm của AB. Khi đó các tam giác AED, DEC, EBC là các tam giác đều cạnh bằng a. Suy ra: ΔACB vuông tại B, ΔADB vuông tại D và 2 2 AC AB BC a 3= - = ; SC a 5= Ta có: ( ) ( ) BC AC BC SC; SBC ABCD BC BC SA ì ^ ï ï Þ ^ Ç = í ï ^ ï î Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc giữa SC và AC và là góc SCA= φ . Khi đó cos φ = AC 15 SC 5 = Trong mặt phẳng (SAB) từ A hạ AI ^ SB tại điểm I ( ) AI PÞ Ì Trong mặt phẳng (SAB) từ A hạ AJ ^ SC tại điểm J Ta có: ( ) BC AC BC SAC BC AJ BC SA ì ^ ï ï Þ ^ Þ ^ í ï ^ ï î .Mà AJ ^ SC. Do đó AJ ^ SB ( ) AJ PÞ Ì Tương tự ta có AK ^ SD tại điểm K ( ) AK PÞ Ì Xét tam giác vuông SAB có 2 2 2 2 2 SI SI.SB SA 2a 1 SB SB SB 6a 3 = = = = Tương tự: SJ 2 SK 2 ; SC 5 SD 3 = = Từ đó: 3 SAIJ SAIJ SABCΔABC SABC V SI SJ 2 2 2 1 2 1 1 a 6 . V V . SA.S . .a 2. a 3.a V SB SC 15 15 15 3 15 3 2 45 = = Þ = = = = 3 0 SAJK SAJK SACDΔACD SACD V SK SJ 4 4 4 1 4 1 1 a 6 . V V . SA.S . .a 2. a.a.sin120 V SD SC 15 15 15 3 15 3 2 45 = = Þ = = = = Vậy thể tích cần tìm là: 3 SAIJK 2a 6 V 45 = (đvtt) 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 Thày giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành phố Thanh Hóa 4 6 Cho x, y l hai s thc thay i tha món: ( ) ( ) 2x 1 x y y 1- - . Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: P x y 3xy= - + Ta cú: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2x y 1 2x 1 x y y 1 2x y 2x y 2 1 2x y 3 3 + - - + + + + 0 2x y 3ị Ê + Ê t t 2x y 0 t 3= + ị Ê Ê . Khi ú: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 6x 3y 1 1 3P 3x 3y 9xy 3x 1 3y 1 1 6x 2 3y 1 1 1 2 8 1 3P 3t 1 1 8 + - = - + = - + + = - + + Ê + ị Ê - + Vi mi t tha món: 0 t 3Ê Ê suy ra ( ) 2 1 1 3P 3t 1 1 .64 1 9 P 3 8 8 Ê - + Ê + = Ê Du bng xy ra khi 2x y 3 x 1 6x 2 3y 1 y 1 ỡ ỡ + = = ù ù ù ù ớ ớ ù ù - = + = ù ù ợ ợ . Vy maxP =3 khi x = y =1 1,0 0,25 0.25 0,25 0,25 7a Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh thoi ABCD cú tõm I(2;1) v AC=2BD. im 1 M 0; 3 ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ thuc ng thng AB, im N(0;7) thuc ng thng CD. Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh thoi ABCD bit B cú honh dng. I B D A C N N' M H t IB=a, do AC=2BD nờn ta cú AI=2a. Gi N l im i xng vi N qua tõm I, suy ra N thuc AB v N( 4;-5) Khi ú phng trỡnh ng thng AB: 4x+3y-1=0 v ( ) I,AB d 2= . Xột tam giỏc vuụng IAB cú: ( ) I,AB 2 2 2 2 1 1 1 5 a 5 d IA IB 4a = + = ị = im B thuc ng thng AB nờn 1 4b B b; ;b 0 3 ổ ử - ữ ỗ > ữ ỗ ữ ỗ ố ứ v IB 5= nờn tỡm c im B( 1;-1); I l trung im ca BD nờn D( 3;3) ng thng AC vuụng gúc vi BD ti I nờn cú phng trỡnh: x+2y-4=0. Do ú ta im A( -2;3) v do I l trung im AC nờn C( 6;-1) Vy ta cỏc im cn tỡm l: A( -2;3); B( 1;-1); C( 6;-1) v D( 3;3) 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 Thy giỏo:Lờ Nguyờn Thch 184 ng Lũ Chum Thnh ph Thanh Húa 5 8a Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im A(0;1;0); B(0;3;1) v ng thng d: x y z 1 2 2 1 - = = . Chng minh rng hai ng thng AB v d chộo nhau. Tỡm im M thuc d sao cho tam giỏc MAB cõn ti M. Ta cú: d cú vtcp ( ) u 2;2;1 r = v qua im K( 0;01) ( ) ( ) AB 0;2;1 ;AK 0; 1;1 uuur uuur = = - . Khi ú: u,AB .AK 6 0 r uuur uuur ộ ự = ạ ờ ỳ ở ỷ nờn d v ng thng AB chộo nhau. M thuc d nờn M(2t;2t;t+1), gi I l trung im AB 1 I 0;2; 2 ổ ử ữ ỗ ị = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Tam giỏc MAB cõn ti M nờn 7 7 7 17 IM.AB 0 t M ; ; 10 5 5 10 uuur uuur ổ ử ữ ỗ = = ị ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 1,0 0,5 0,5 9a Mt hp ng 30 tm th c ỏnh s t 1 n 30. Chn ngu nhiờn 8 tm th. Tớnh xỏc sut 8 tm th c chn cú 4 tm th mang s chn, 4 tm th mang s l v ch cú mt tm th mang s chia ht cho 10. Chn 8 tm th t 30 tm cú 8 30 C cỏch. Do ú 8 30 C= Gi A l bin c: chn c 4 tm th mang s chn, 4 tm th mang s l v ch cú mt tm th mang s chia ht cho 10 - Chn 1 tm th trong 3 tm th chia ht cho 10 cú 1 3 C cỏch - Chn 3 tm th chn cũn li trong 12 tm th cú 3 12 C cỏch - Chn 4 tm th l trong 15 tm th cú 4 15 C cỏch Vy 1 3 4 A 3 12 15 C .C .C= . Do ú xỏc sut cn tỡm l: 1 3 4 A 3 12 15 8 30 C .C .C 308 P(A) C 2001 = = = 1.0 0,25 0,5 0,25 7b Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): 2 2 x y 2x 4y 0+ - - = v M( 6;2). Lp phng trỡnh ng thng d qua M, d ct ng trũn (C) ti hai im phõn bit A, B sao cho 2 2 MA MB 50+ = A I B M H ng trũn (C) cú tõm I( 1;2) v bỏn kớnh R 5= . Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn ng thng d Ta cú: ( ) 2 2 2 2 AB MB MA MB MA 2.MB.MA uuur uuuur uuur uuuur = - = + - M: 2 2 2 2 2 10 MB.MA MI R 20 AB 10 IH IA AH 2 uuur uuuur = - = ị = ị = - = Phng trỡnh ng thng d qua M cú dng: ( ) ( ) ( ) 2 2 a x 6 b y 2 0 a b 0- + - = + ạ Ta cú: ( ) ( ) ( ) 2 2 I,d 2 2 a 1 6 b 2 2 b 3a 10 d 9a b b 3a 2 a b ộ - + - = ờ = = = ị ờ =- + ở Do ú cú 2 ng thng tha món: x+3y-12=0 hoc x-3y=0 1,0 0,5 0,25 0,25 8b Mt cu (S) cú tõm I( -1;-2;-2) v bỏn kớnh R=3 Mt phng (P) ct (S) theo mt ng trũn cú chu vi bng 6 hay ng trũn cú bỏn kớnh bng 3. Do ú mp(P) qua tõm I. Khi ú mt phng (P) nhn ( ) n OI,i 0; 2;2 r uur r ộ ự = = - ờ ỳ ở ỷ lm vộc t phỏp tuyn ( ( ) i 1;0;0 r = l vec t n v trờn trc Ox) Phng trỡnh mt phng (P): -y+z=0 1,0 Thy giỏo:Lờ Nguyờn Thch 184 ng Lũ Chum Thnh ph Thanh Húa 6 9b Tìm số phức z thỏa mãn: ( ) 4 2 z i 4z 0+ + = Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 2 2 2 z i 4z 0 z 2iz 1 2iz z 1 z 4iz 1 0+ + = Û + - = Û - + - = ( ) 2 2 z 1 z 1 0 z 2 3 i z 4iz 1 0 é =± é - = ê ê Û Û ê ê = - ± + - = ê ê ë ë 1,0 HẾT Thày giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành phố Thanh Hóa 7 . ĐỀ THI THỬ THỬ ĐẠI HỌC SỐ 109 Ngày 20 tháng 5 năm 2014 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm) Câu 1 ( 2,0 điểm). Cho hàm số x y x 1 = - a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số. b). tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên 8 tấm thẻ. Tính xác suất để 8 tấm thẻ được chọn có 4 tấm thẻ mang số chẵn, 4 tấm thẻ mang số lẻ và chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10. B 1,0 điểm). Tìm số phức z thỏa mãn: ( ) 4 2 z i 4z 0+ + = HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………………………………; Số báo danh:……………………………