ĐỀ SỐ 7 Ngày 10 tháng 3 năm 2014 Câu 1: (2,0 Điểm) : Cho biểu thức: P= 2 3 3 1 : 1 1 1 a a a     + − +  ÷  ÷ +   −   a) Rút gọn P b) Tìm a sao cho P = 2 1 12 a− Câu 2: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol 2 y x = và đường thẳng ( ) 2 y mx m 2 = − − , với m là tham số . 1. Xác định M để đường thẳng và parabol có điểm chung. 2. Gọi hoành độ các điểm chung của đường thẳng và parabol là x 1 ; x 2 tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 1 2 1 2 Q x x 2x 2x= + + Câu 3 :(2điểm) Giải phương trình : ( ) ( ) 4 4 2 2 x 3x 3 x 3x 5 82+ + + + + = Câu 4 :(3 điểm ) Cho Tam giác đều ABC , Trên các cạnh BC; CA; AB lần lượt lấy các điểm M, N, P Sao cho BM = CN = AP 1. Chứng minh:Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP trùng nhau. 2. Gọi I;J;K lần lượt là trung điểm của MN; BC; CA Chứng minh ba điểm I; J; K thẳng hàng 3. Khi M di đông trên đoạn BC và N di động trên đoạn CA Hãy xác định vị trí các điểm M; N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Câu 5: (1 điểm) Cho x; y là hai số thực thỏa mãn điều kiện : 2013 2013 1006 1006 x y 2x y+ = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S 1 xy= − **** Hết **** Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị số 1 Chữ ký giám thị số 2: 1 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 7 Câu Lời giải Điể m 1 Cho biểu thức: 2 3 3 P 1 a : 1 1 a 1 a     = + − +  ÷  ÷ + −     a) Rút gọn (ĐK: - 1 < a < 1) 2 3 3 P 1 a : 1 1 a 1 a 1 a     = + − + = −  ÷  ÷ + −     b) Tìm a sao cho 2 1 P 1 a = − Với đk xđ: ( ) ( ) 2 2 2 1 1 P 1 a 1 a 1 a 1 1 a 1 a = ⇔ − = ⇔ − − = − − ( ) 2 a 0 (t/m) a a 1 0 * =  ⇔  − − =  Giải (*) ta được 1 1 5 a 2 − = (t/m đ/k) ; 2 1 5 a 2 + = (không t/m đ/k) Vậy a = 0; 1 1 5 a 2 − = thì 2 1 P 1 a = − 1,0 1.0 2 Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol 2 y x = và đường thẳng ( ) 2 y m x m 2 = − − , với m là tham số . 1. Xác định m để đường thẳng và parabol có điểm chung. Ta có PT hoành độ: ( ) 2 2 x m x m 2 = − − ( ) 2 2 x m x m 2 0 ⇔ − + − = ( ) 2 2 2 2 m 1 2 m 4 m 2 3m 16m 16 8 4 8 4 4 ' 8 16.3 16 0 m 4;m 3 3 3 ∆ = − − = − + − − − − + ∆ = − = > ⇒ = = = = − − Đường thẳng và đường cong có điểm chung ⇔ ∆ ≥ 0 2 4 3m 16m 16 0 m 4 3 ⇔ − + − ≥ ⇔ ≤ ≤ 2. Gọi hoành độ các điểm chung của đường thẳng và parabol là x 1 ; x 2 tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 1 2 1 2 Q x x 2x 2x = + + PT hoành độ có 2 nghiệm x 1 ; x 2 , áp dụng hệ thức Vi Et ta có: ( ) 1 2 2 1 2 x x m x x m 2 + =    = −   Thay vào Q ta có: ( ) ( ) 2 2 2 Q m 2 2m m 4m 4 m 2 0 = − + = − + = − ≥ ∀m Dấu bằng xảy ra ⇔ m = 2 ( t/m đ/k) Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 0 và đạt khi m = 2 1.0 0.5 0.5 3 Giải phương trình : ( ) ( ) 4 4 2 2 x 3x 3 x 3x 5 82+ + + + + = Đặt 2 x 3x 4 = t+ + ta có PT: ( ) ( ) 4 4 t 1 t 1 82− + + = 4 2 t 10 t 6t 40 0 t 4 = −  + − = ⇔  =  Với t = -10 ⇒ 2 x 3x 4 = -10 PT VN+ + 1.0 1.0 2 Với t = 4 ⇒ 2 x 0 x 3x 4 4 x 3 =  + + = ⇔  = −  Vậy PT có 2 nghiệm x = 0; x = - 3 4 1. Chứng minh:Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP trùng nhau. G N M C A B P Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ⇒ G là trọng tâm, giao ba phân giác của ∆ABC. C/m ∆AGP = ∆BGM = ∆CGN ⇒ GP = GM = GN ⇒ G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP 2. Gọi I;J;K lần lượt là trung điểm của MN; BC; CA Chứng minh ba điểm I; J; K thẳng hàng K I G J N M C B A P E JK là đường trung bình của ∆ABC ⇒ JK //AB (1) Qua M vẽ đường thẳng // CA cắt AB tại E ⇒ ∆BEM đều ⇒ ME = BM ⇒ ME = CN. ⇒ □MENC là hình bình hành ⇒ CE cắt MN tại trung điểm của mỗi đường, nên I là trung điểm của CE ⇒ KI // AE (2) Từ (1) & (2) ⇒ J, I, K thẳng hàng (ƠCLit) 3. Khi M di đông trên đoạn BC và N di động trên đoạn CA Hãy xác định vị trí các điểm M; N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. G J N M C A B P ∆GMN cân có ∠MGN = 120 o không thay đổi, nên MN nhỏ nhất ⇔ GM nhỏ nhất ⇔ GM = GJ ⇔ M ≡ J (là trung điểm của BC) & N là trung điểm của AC 1,0 0,25 0,5 0,25 1,0 5 Cho x; y là hai số thực thỏa mãn điều kiện 2013 2013 1006 1006 x y 2x y + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S 1 xy= − Ta thấy 2013 2013 1006 1006 2013 2013 1006 1006 x y 2x y x y 0 2x y 0 + =  ⇔ + ≥  ≥  ⇒ trong hai số x và y có ít nhất có một số dương. TH 1 . x.y ≤ 0 thì S 1 0 S 1≥ − ⇒ ≥ TH 2 . x > 0; y > 0 thì áp dụng BĐT Co Si cho hai số dương ta được: 3 2013 2013 2013 2013 x y 2 x .y+ ≥ (1) Theo đề ra có 2013 2013 1006 1006 x y 2x y+ = (2) Thay (2) vào (1) ta có: 1006 1006 2013 2013 1006 1006 1006 1006 x .y 2 x .y x .y 2x .y x.y x.y 1 x.y 1 xy 1 1 xy 0 S 0 ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ ⇔ ≥ Dấu bằng xảy ra ⇔ x = y, thay vào (2) ta được x = y = 1 Vậy kết hợp 2 trường hợp ta được MinS = 0 đạt khi x = y = 1 1.0 4 . Hết **** Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị số 1 Chữ ký giám thị số 2: 1 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 7 Câu Lời giải Điể m 1 Cho biểu thức: 2 3 3 P 1 a : 1 1 a 1 a     = + − + . là hai số thực thỏa mãn điều kiện : 2013 2013 1006 1006 x y 2x y+ = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S 1 xy= − **** Hết **** Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị số 1. ĐỀ SỐ 7 Ngày 10 tháng 3 năm 2014 Câu 1: (2,0 Điểm) : Cho biểu thức: P= 2 3 3 1 : 1 1 1 a a a   