BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Môn: TOÁN; Khối: D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm 1. (1,0 điểm) Khảo sát… Khi 0,m = 42 2.yx x=− • Tập xác định: .D = \ • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: hoặc 3 '4 4;yxx=− '0y = ⇔ 1x =± 0.x = 0,25 Hàm số nghịch biến trên: (; và đồng biến trên: và (1 1)−∞ − (0;1); (1;0)− ; ).+∞ - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại đạt cực đại tại y 1, 1; CT xy=± =− 0,x = CĐ 0.= - Giới hạn: lim lim . xx yy →−∞ →+∞ ==+∞ 0,25 - Bảng biến thiên: Trang 1/4 0,25 • Đồ thị: 0,25 2. (1,0 điểm) Tìm m Phương trình hoành độ giao điểm của ( và đường thẳng ) m C 1:y =− 42 (3 2) 3 1.xmxm−+ +=− Đặt phương trình trở thành: 2 ,0;txt=≥ 2 (3 2) 3 1 0tmtm−+++= 0,25 ⇔ hoặc tm 1t = 31.=+ 0,25 Yêu cầu của bài toán tương đương: 03 14 311 m m <+< ⎧ ⎨ +≠ ⎩ 0,25 I (2,0 điểm) ⇔ 1 1, 3 m−< < 0.m ≠ 0,25 1. (1,0 điểm) Giải phương trình… Phương trình đã cho tương đương: 3 cos5 (sin 5 sin ) sin 0xxxx−+−= ⇔ 31 cos5 sin 5 sin 22 x xx−= x −∞ 1− 0 1 y' − 0 + 0 − 0 + y +∞ 1− 1− 0 +∞ +∞ x O y 2− 2 1 − 1− 1 8 0,25 II (2,0 điểm) ⇔ sin 5 sin 3 x x π ⎛⎞ −= ⎜⎟ ⎝⎠ 0,25 Trang 2/4 Câu Đáp án Điểm ⇔ 52 3 x xk π π −=+ hoặc 52 3 xxk π ππ −=−+ . 0,25 Vậy: 18 3 x k ππ =+ hoặc 62 x k ππ =− + ( ). k ∈ ] 0,25 2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình… Hệ đã cho tương đương: 2 2 3 10 5 () 1 xy x xy x ⎧ ++− = ⎪ 0 ⎪ +−+= ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ 0,25 ⇔ 2 2 3 1 35 11 0 ⇔ xy x x x ⎧ +=− ⎪ ⎪ ⎨ ⎛⎞ ⎪ −−+= ⎜⎟ ⎪ ⎝⎠ ⎩ 2 3 1 46 20 xy x x x ⎧ +=− ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ −+= ⎪ ⎩ 0,25 ⇔ 1 1 2 x xy ⎧ = ⎪ ⎨ ⎪ += ⎩ hoặc 11 2 1 2 x xy ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ += ⎪ ⎩ 0,25 ⇔ 1 1 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ hoặc 2 3 . 2 x y = ⎧ ⎪ ⎨ =− ⎪ ⎩ Nghiệm của hệ: và (; ) (1;1)xy = 3 (; 0,25 ) 2; . 2 xy ⎛⎞ =− ⎜⎟ ⎝⎠ Tính tích phân… Đặt 3 ,;1,;3, x dt tedx x tex te t ====== 0,25 . 3 (1) e e dt I tt = − ∫ = 3 11 1 e e ∫ dt tt ⎛⎞ − ⎜⎟ − ⎝⎠ 0,25 = 33 ln| 1| ln| | ee ee tt−− 0,25 III (1,0 điểm) = 2 ln( 1) 2.ee++ − 0,25 Tính thể tích khối chóp IV (1,0 điểm) Hạ ; là đường cao của tứ diện ()IH AC H AC⊥∈ ⇒ ()IH ABC⊥ IH . I ABC ⇒ // ' I HAA ⇒ 2 '' 3 IH CI AA CA == ⇒ 24 '. 33 a IH AA== 22 '' 5,AC A C A A a=−= 22 2. B CACAB a=−= Diện tích tam giác :ABC 2 1 2 ABC SABBC Δ ==a Thể tích khối tứ diện : I ABC 3 14 39 ABC a VI HS Δ == 0,50 A C C' A' B B ' M K I H a 2a 3a Trang 3/4 Câu Đáp án Điểm Hạ '( '). A KABKAB⊥∈ Vì ('') B C ABB A⊥ nên ⇒ AK BC⊥ (). A KIBC⊥ Khoảng cách từ A đến mặt phẳng () là IBC .AK 0,25 ' 22 2 '. 2 5 . '5 ' AA B S AA AB a AK AB AA AB Δ == = + 0,25 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất… Do nên: 1,xy+= 22 3 3 16 12( ) 9 25Sxy xy xyx=++++y 0,25 22 3 16 12 ( ) 3 ( ) 34 x yxyxyxyxy ⎡⎤ =++−++ ⎣⎦ 22 16 2 12.xy xy=−+ Đặt ta được: ,txy= 2 16 2 12;Stt=−+ 2 ()1 0 44 xy xy + ≤≤ = ⇒ 1 0; . 4 t ⎡ ⎤ ∈ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Xét hàm trên đoạn 2 () 16 2 12ft t t=−+ 1 0; 4 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ '( ) 32 2;ft t=− '( ) 0ft= ⇔ 1 ; 16 t = (0) 12,f = 1 16 f ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ = 191 , 16 1 4 f ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ = 25 . 2 1 0; 4 125 max ( ) ; 42 ft f ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎛⎞ == ⎜⎟ ⎝⎠ 1 0; 4 1191 min ( ) . 16 16 ft f ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎛⎞ == ⎜⎟ ⎝⎠ 0,25 Giá trị lớn nhất của bằng S 25 ; 2 khi 1 1 4 x y xy += ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ ⇔ 11 (; ) ; . 22 xy ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ 0,25 V (1,0 điểm) Giá trị nhỏ nhất của bằng S 191 ; 16 khi 1 1 16 x y xy += ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ ⇔ 2323 (; ) ; 44 xy ⎛⎞ +− = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ hoặc 2323 (; ) ; . 44 xy ⎛⎞ −+ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ 0,25 1. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng… Toạ độ A thoả mãn hệ: ⇒ 7230 64 0 xy xy −−= ⎧ ⎨ −−= ⎩ (1; 2).A B đối xứng với A qua , M suy ra (3; 2).B =− 0,25 Đường thẳng B C đi qua B và vuông góc với đường thẳng 64xy−−=0. . Phương trình :690BC x y++= 0,25 Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng N B C thoả mãn hệ: 7230 690 xy xy −−= ⎧ ⎨ ++= ⎩ ⇒ 3 0; . 2 N ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ 0,25 ⇒ phương trình đường thẳng ( 2. 4; 3 ;AC MN==−− ) JJJG JJJJG :3 4 5 0.AC x y−+= 0,25 2. (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm D (1;1;2),AB =− JJJG phương trình :AB 2 1 2. x t yt zt =− ⎧ ⎪ =+ ⎨ ⎪ = ⎩ 0,25 VI.a (2,0 điểm) D thuộc đường thẳng A B (2 ;1 ;2 ) (1 ; ;2 ). D ttt CD ttt⇒ −+ ⇒ =− J JJG 0,25 Trang 4/4 Câu Đáp án Điểm Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ():P (1;1;1).n = G C không thuộc mặt phẳng ().P //( ) . 0CD P n CD⇔= GJJJG 1 1.(1 ) 1. 1.2 0 . 2 tt t t⇔−++=⇔=− Vậy 51 ;;1. 22 D ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ 0,50 Tìm tập hợp các điểm… Đặt (, );zxyixy=+ ∈\ ()( ) 34 3 4.zix y−+ = − + + VII.a i 0,25 Từ giả thiết, ta có: ()( ) ()( ) 22 22 342344xy xy−++ =⇔−++=. 0,50 (1,0 điểm) Tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường tròn tâm bán kính z ( 3; 4I − ) 2.R = 0,25 1. (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm M Gọi điểm () ;. M ab Do () ; M ab thuộc nên ()C () 2 2 11;ab−+= ()OC∈ ⇒ 1.IO IM== 0,25 Tam giác I MO có nên n OIM = 120 D 22 2 22 2 . .cos120 3.OM IO IM IO IM a b=+ − ⇔+= D 0,25 Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ () 2 2 22 3 11 2 3 3 . 2 a ab ab b ⎧ = ⎪ ⎧ −+= ⎪⎪ ⇔ ⎨⎨ += ⎪⎪ ⎩ =± ⎪ ⎩ Vậy 33 ;. 22 M ⎛⎞ =± ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ 0,50 2. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng… Toạ độ giao điểm của với thoả mãn hệ: I Δ ()P 22 11 1 x 2340 yz xyz +− ⎧ == ⎪ − ⎨ ⎪ +−+= ⎩ ⇒ ( 3;1;1).I − 0,25 Vectơ pháp tuyến của vectơ chỉ phương của ():P (1; 2; 3);n =− G :Δ (1;1; 1).u =− G 0,25 Đường thẳng cần tìm qua và có vectơ chỉ phương d I () ,1;2;1vnu ⎡⎤ ==−− ⎣⎦ G . GG 0,25 VI.b (2,0 điểm) Phương trình :d 3 12 1. x t yt zt =− + ⎧ ⎪ =− ⎨ ⎪ =− ⎩ 0,25 Tìm các giá trị của tham số m VII.b Phương trình hoành độ giao điểm: 2 1 2 xx x m x +− =− + ⇔ 2 3(1)10(0).xmx x+− −= ≠ 0,25 (1,0 điểm) Phương trình có hai nghiệm phân biệt 12 , x x khác 0 với mọi .m 0,25 12 1 . 26 I xx m x + − == Hoành độ trung điểm của I 0,25 :AB 1 00 6 I m IOy x m − ∈⇔=⇔ =⇔= 1. 0,25 Hết