SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC : 2014 - 2015 Môn thi: Toán lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Ngày thi 19 tháng 03 năm 2015 _______________________________ Câu I (3,0 điểm). Cho 3 6 3 10 2 3 3 1 x − = + − + . Tính giá trị của biểu thức ( ) 2015 4 3 2 2 1A x x x x = + − − − . Câu II (4,0 điểm). 1. Cho Parabol ( ) 2 :P y x = và đường thẳng ( ) : 1d y mx = + (m là tham số thực). Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn 10AB = . 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương ,x y thỏa mãn phương trình 2 2 5 6 2 2 2 40 0x xy y x y + + + + − = . Câu III (5,0 điểm). 1. Giải phương trình 3 2 2 8 40 5 x x x + = − . 2. Giải hệ phương trình ( ) 3 3 2 3 15 14 3 2 4 6 15 3 0 x y y y x x xy x  − − − = × −   + + + =   . Câu IV (6,0 điểm). Cho hình chữ nhật ABCD có 5AB a= và 2AD a = (a > 0). M là điểm bất kì trên cạnh AB (M khác A và khác B). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AC và DC. 1. Chứng minh rằng 5 điểm B, C, K, H, M cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó. 2. Tính AH MK MH × theo a. 3. Khi AK là tiếp tuyến của đường tròn (O). Tính AM theo a. Câu V (2,0 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn 3ab ac bc + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 19 3 19 3 19 3 1 1 1 a b c T b c a + + + = + + + + + . HẾT ( Nguồn: Lê Quang Vinh - Toanhoc.Tuyensinh247 ) https://www.facebook.com/groups/2000.Toanhoc.Tuyensinh247/ Ngày 19 tháng 03 năm 2015 HƯỚNG DẪN CÁCH LÀM BÀI Câu I : ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2 2 2 3 1 6 3 10 3 3 9 3 3 1 2 3 2 3 2 3 3 1 3 1 3 1 1 3 3 1 3 1 3 1 4 2 3 2 3 2 2 3 1 2 2 2 x − − − + − = + − = + − = + − + + + + − − − + = + − = − = − = + Thay 2x = vào A ta có ( ) ( ) 2015 2015 4 3 2 2015 2 1 4 2 2 2 2 2 1 1 1A x x x x = + − − − = + − − − = = Câu II: 1. Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là 2 2 1 1 0x mx x mx = + ⇔ − − = Ta có 2 4m ∆ = + ( vì 2 4 0m + > ) nên đồ thị hàm số (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt) Theo hệ thức Viète ta có 1 2 1 2 1 x x m x x + =   × = −  Gọi A (x 1 ; y 1 ) và B (x 2 ; y 2 ) là giao điểm của (P) và (d) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 10 10 4 10 4 4 10 4 4 10 5 6 0 6 6 0 1 6 0 1 0 1 AB x x y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x m m m m m m m m m m m m = − + − = ⇒ − + − = ⇔ + − + + × − =   ⇔ + − + + × + − =   ⇒ + + × + = ⇔ + − = ⇔ − + − = ⇔ − × + = ⇔ − = ⇔ = ± 2. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 6 2 2 2 40 0 2 2 2 1 4 4 41 1 2 41 1 2 4 5 x xy y x y x y xy x y x xy y x y x y x y x y + + + + − = ⇔ + + + + + + + + = ⇔ + + + + = ⇔ + + + + = + TH1: 1 4 2 2 5 1 x y x x y y + + = =   ⇔   + = =   TH2: 1 5 0 2 4 4 x y x x y y + + = =   ⇔   + = =   (loại) Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình là (2; 1). Câu III: 1. ĐK: 2 5 0 5 5x x− > ⇒ − < < Ta có: 3 2 2 8 40 5 x x x + = − 3 2 2 2 8 5 40 5x x x x ⇔ + × − = × − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 8 5 5 0 2 5 0 2 5 2 5 20 4 0 2 5 2 5 3 20 0 x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + × − × − = ⇔ − × − = ⇔ − × − × + × − + − = ⇔ − × − × × − − − = TH1: 2 2 5 0x x− × − = ĐK: 0x > ( ) 2 2 2 4 5 5 20 2 2 x x x x x ⇔ = × − ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = TH2: 2 2 2 5 3 20 0x x x× − − − = ( ) 2 2 2 2 4 2 2 5 3 20 4 5 9 120 400 x x x x x x x ⇔ × − = + ⇔ × − = + + 4 2 13 100 400 0x x⇔ + + = (vô nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm là x = 2. 2. Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 15 14 3 2 1 4 6 15 3 0 2 x y y y x x xy x  − − − = × −   + + + =   Ở phương trình (1) ta có: ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 15 14 3 2 3 15 6 14 3 6 12 8 3 6 3 2 3 2 x y y y x x x y y y x x y y y y x x y y − − − = × − ⇔ + = + + + ⇔ + = + + + + + ⇔ + = + + × + 2x y⇔ = + (*) Từ (2) và (*) ta có hệ phương trình: ( ) ( ) 3 3 3 2 3 2 3 3 3 2 2 4 6 2 15 3 0 4 6 15 3 0 2 2 4 6 3 3 0 8 12 6 6 0 1 5 2 1 5 2 2 5 5 2 x y x y x x x x x xy x x y x y x x x x x x x x x y y − = = +   ⇔   + × − + + = + + + =   − = − =   ⇔ ⇔   + + + = + + + =    − − =   + = −   ⇔ ⇔   − = − −    =   Vậy hệ phương trình có nghiệm là 3 3 1 5 5 5 ; 2 2   − − − −  ÷  ÷   Câu IV: 1. Xét tứ giác MHCB ta có · · 90MHC MBC= = °  · · 180MHC MBC+ = °  Tứ giác MHCB nội tiếp đường tròn đường kính MC (1). Xét tứ giác MKCB ta có · · 90MKC MBC= = °  · · 90MKC MBC+ = °  Tứ giác MKCB nội tiếp đường tròn đường kính MC (2). Từ (1) và (2) suy ra năm điểm B, C, K, H, M cùng thuộc một đường tròn đường kính MC.  Tâm O là trung điểm MC. 2. Xét ABC ∆ và AHM∆ có · · 90MHM MBC= = ° và · CAB chung  ABC∆ đồng dạng AHM∆ .  AB BC AH MH = mà MK = BC  AB MK AH MK AB AH MH MH × = ⇒ = mà 5AB a =  5 AH MK a MH × = 3. Giả sử AK là tiếp tuyến của (O). Dễ dàng ta có tứ giác MKCB là hình chữ nhật nên O sẽ nằm trên đoạn BK. Xét ABK∆ vuông tại K đường cao KM ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 5 4 5 4 0 AM MB MK AM AB AM AD AM a AM a AM a AM a × = ⇒ × − = ⇔ × − = ⇔ − × + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 0 4 4 0 4 0 4 AM a AM a AM a AM AM a a AM a AM a AM a AM a AM a ⇔ − × − × + = ⇔ × − − × − = ⇔ − × − = =  ⇔  =  Vậy AM= 4a hoặc AM = a. Câu V: Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 9 3 ab ac bc a b c b a c a b c a b c ab ac bc a b c a b c + + ≥ + + × + + ⇒ + + ≥ ⇒ + + + × + + ≥ + × ⇒ + + ≥ ⇒ + + ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 19 3 19 3 19 3 1 1 1 16 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c a b c a b c T b c a b c a b c a + + + + + +     = + + = × + + + + +  ÷  ÷ + + + + + + + + +     Đặt 2 2 2 1 1 1 a b c A b c a = + + + + + và 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c B b c a + + + = + + + + + Ta lại có: a) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 a b c ab bc ca ab bc ac a b c A a b c b c a b c a   + + − = + + − + + = + + ≤ + + =  ÷ + + + + + +   3 2 A a b c⇒ ≥ + + − (*) b) 2 2 2 1 1 1 3 3 1 1 1 a b c a b c B a b c b c a + + +   + + + − = + + + − + +  ÷ + + +   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 2 2 3 3 2 2 a ab a b b bc b c c a c c a b c a ab b bc c a c a a b c b c a a b c B a b c + − − + + + − − + + + − − + + = + + + + + + + + + + = + + ≤ + + + + + + ⇒ ≥ + + + − − 3 2 2 a b c B + + ⇔ ≥ + (**) Từ (*) và (**) ta có: 3 3 16 3 16 3 2 2 2 a b c A B a b c + +     + ≥ × + + − + × +  ÷  ÷     ( ) 35 39 33 2 2 T a b c⇒ ≥ × + + − ≥ Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 33. Dấu “=” xảy ra khi 1a b c= = = . (Người làm hướng dẫn: Nguyễn Thanh Trung) https://www.facebook.com/akira.trung.1420 Ngày 24 tháng 03 năm 2015 . ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC : 2014 - 2015 Môn thi: Toán lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Ngày thi 19 tháng 03 năm 2015. 2 19 3 19 3 19 3 1 1 1 a b c T b c a + + + = + + + + + . HẾT ( Nguồn: Lê Quang Vinh - Toanhoc.Tuyensinh247 ) https://www.facebook.com/groups/2000.Toanhoc.Tuyensinh247/ Ngày 19 tháng 03 năm. 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 9 3 ab ac bc a b c b a c a b c a b c ab ac bc a b c a b c + + ≥ + + × + + ⇒ + + ≥ ⇒ + + + × + + ≥ + × ⇒ + + ≥ ⇒ + + ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 19 3 19 3 19 3 1 1 1 16 3 1 1 1 1