CƠ SỞ LÝ THUYẾT : 1. Bất đẳng thức Cô si: 2a b ab+ ≥ ( a, b dương). 3 3a b c abc+ + ≥ ( a, b, c dương). - Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau. - Khi tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau. - Khi tổng hai số không đổi, tích hai số lớn nhất khi hai số bằng nhau. • Phạm vi ứng dụng: Thường áp dụng cho các bài tập điện hoặc bài toán va chạm cơ học. 2. Bất đẳng thức Bunhiacôpski: 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( )a b a b a a b b+ ≤ + + Dấu bằng xảy ra khi 1 1 2 2 a b a b = • Phạm vi ứng dụng: thường dùng trong các bài tập về chuyển động cơ học. 3. Tam thức bậc hai: 2 ( )y f x ax bx c= = + + + Nếu a > 0 thì y min tại đỉnh pa rabol. + Nếu a < 0 thì y max tại đỉnh parabol. Tọa độ đỉnh: 2 b x a = − ; 4 y a ∆ = − ( 2 4b ac∆ = − ). + Nếu ∆ = 0 thì phương trình : 2 ( ) 0y f x ax bx c= = + + = có nghiệm kép. +Nếu 0∆ > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. *Phạm vi ứng dụng:Thường dùng trong các bài tập về chuyển động cơ học và bài tập phần điện. 4. Giá trị cực đại hàm số sin hoặc cosin: max (cos ) 1 α = ⇔ 0 α = max (sin ) 1 α = ⇔ 0 90 α = . Kết hợp với đ/lí hàm sin : C c B b A a sinsinsin == *Phạm vi ứng dụng: Thường dùng trong các bài toán cơ học, điện xoay chiều. 5. Khảo sát hàm số: - Dùng đạo hàm. - Lập bảng xét dấu để tìm giá trị cực đại, cực tiểu. *Phạm vi ứng dụng: thường áp dụng cho các bài toán điện xoay chiều. +Ngoài ra, trong quá trình giải bài tập chúng ta thường sử dụng một số tính chất của phân thức: a c a c a c b d b d b d + − = = = + − BÀI TẬP VẬN DỤNG I.KHỐI 10: Bài toán 1: Vật m 1 chuyển động với vận tốc 1 v r tại A và đồng thời va chạm với vật m 2 đang nằm yên tại đó. Sau va chạm, m 1 có vận tốc ' 1 v r . Hãy xác định tỉ số ' 1 1 v v của m 1 để góc lệch α giữa 1 v r và ' 1 v r là lớn nhất max α . Cho m 1 > m 2 , va chạm là đàn hồi và hệ được xem là hệ kín. BÀI GIẢI * Động lượng của hệ trước va chạm: 1 1 1T P P m v= = r r r * Động lượng của hệ sau va chạm : THPT Ba Tơ Gv : Nguyễn Văn Tươi Trang 1 s p r 1 p r 2 p r ' ' ' ' 1 2 1 1 2 2S P P P m v m v= + = + r r r r r Vì hệ là kín nên động lượng được bảo toàn : 1S T P P P= = r r r Gọi ' 1 1 1 ( , ) ( , ). S v v P P α = = r r r r Ta có: '2 '2 2 2 1 1 1 2 2 cosP P P PP α = + − (1). Mặt khác, vì va chạm là đàn hồi nên động năng bảo toàn: 2 '2 '2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 m v m v m v = + ⇔ 2 2 2 2 2 '2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 m v m v m v m m m = + ⇒ 2 '2 '2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 P P P m m m = + ⇔ 2 '2 '2 2 '2 '2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 . . . 2 2 P P P m P P P m m m − = ⇒ − = 2 '2 '2 2 1 1 2 1 (m P P P m − ⇔ = (2). Từ (1) và (2) ta suy ra: ' 2 1 2 1 ' 1 1 1 1 (1 ) (1 ) 2cos m P m P m P m P α − + + = ' 2 1 2 1 ' 1 1 1 1 (1 ). (1 ). 2cos m v m v m v m v α ⇔ + + − = Đặt ' 1 1 0 v x v = > 2 2 1 1 1 (1 ). (1 ). 2cos m m x m m x α ⇒ + + − = Để max α thì min (cos ) α Theo bất đẳng thức Côsi 2 2 min 1 1 min 1 (cos ) (1 ). (1 ). m m x m m x α   ⇔ + + −     Tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau 2 2 1 1 1 1 . 1 . m m x m m x     ⇒ + = −  ÷  ÷     1 2 1 2 m m x m m − ⇔ = + Vậy khi ' 1 1 2 1 1 2 v m m v m m − = + thì góc lệch giữa 1 v r và ' 1 v r cực đại. Khi đó, 2 2 1 2 max 1 cos m m m α − = . Bài toán 2: Hai chuyển động trên AO và BO cùng hướng về O với 0 1 2 ; 30 3 v v α = = . Khi khoảng cách giữa hai vật cực tiểu là d min thì khoảng cách từ vật một đến O là ' 1 30 3( )d cm= . Hãy tính khoảng cách từ vật hai đến O. BÀI GIẢI Gọi d 1 , d 2 là khoảng cách từ vật một và vật hai đến O lúc đầu ta xét ( t = 0 ). Áp dụng định lý hàm sin ta có: ' ' 1 2 1 1 2 2 sin sin sin sin sin sin d d d v t d vd d α γ β α γ β − − = = ⇔ = = . Vì 1 2 3 v v = nên ta có: 1 1 2 1 0 3 sin 30 sin 3 sin d v t d v td γ β − − = = . THPT Ba Tơ Gv : Nguyễn Văn Tươi Trang 2 A O B d 1 ’ d d 2 ’ α β γ Áp dụng tính chất của phân thức ta có: 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 3 ( 3 ) ( ) 3 sin 3 sin 3sin sin 3sin sin d v t d v t d v t d v t d d γ β β γ β γ − − − − − − = = = − − 2 1 0 3 sin 30 3 sin sin d dd β γ − ⇒ = − Mặt khác, tacó: 0 0 sin sin(180 ) sin( ) sin(30 ) β β α γ γ = − = + = + 0 0 0 3 sin 3sin(30 ) 3(sin 30 cos cos30 sin ) β γ γ γ ⇒ = + = + 3 3 cos sin 2 2 γ γ = + 2 1 0 3 sin 30 3 1 1 cos sin sin 2 2 2 d dd γ γ γ − ⇒ = + − 0 2 1 2 1 ( 3 )sin 30 3 3 1 3 cos sin cos sin 2 2 d d d d d γ γ γ γ − − ⇒ = = + + Vậy 2 1 2 1 3 3 3 cos sin d d d d d y γ γ − − = = + . Khoảng cách giữa hai vật d min ⇔ y max với y = 2 ( 3 cos sin ) γ γ + Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski: 2 2 2 2 2 ( 3 cos sin ) (( 3) 1 ).(cos sin ) 2 γ γ γ γ + ≤ + + =  y max = 2 0 3 cos cot 3 30 1 sin g γ γ γ γ ⇔ = ⇒ = ⇒ = và 0 120 β = Lúc đó: ' ' 0 ' ' ' 1 2 2 1 1 0 0 0 sin120 . 3 90( ) sin 30 sin120 sin 30 d d d d d m= ⇒ = = = Vậy, khoảng cách từ vật hai đến O lúc này là: d 2 ’ = 90(m) Bài toán 3: Cho cơ hệ như hình vẽ: Cho biết: Hệ số ma sát giữa M và sàn là k 2 . Hệ số ma sát giữa M và m là k 1. Tác dụng một lực F r lên M theo phương hợp với phương ngang một góc α . Hãy tìm F min để m thoát khỏi M.tính góc α tương ứng? BÀI GIẢI + Xét vật m: 1 1 21ms P N F ma+ + = r r r r (1). Chiếu lên OX: F ms21 = ma 21 1 mn F a m ⇒ = Chiếu lên OY: N 1 – P 1 = 0 ⇒ N 1 = P 1 ⇒ F ms21 = k 1 .N 1 = k 1 .mg 1 1 1 k mg a k g m ⇒ = = . Khi vật bắt đầu trượt thì thì a 1 = k 1 mg. + Xét vật M: 2 1 2 12 2 ( ) ms ms F P P N F F M m a+ + + + + = + r r r r r r r . THPT Ba Tơ Gv : Nguyễn Văn Tươi Trang 3 F r α M m O y 1 P r F r α 2 P r ms F r 21ms F r 12ms F r 1 N r 2 N r x Chiếu lên trục OX: 12 2 cos ( ) ms ms F F F M m a α − − = + 12 2 cos ms ms F F F a M m α − − ⇒ = + Chiếu lên OY: 1 2 2 2 1 2 sin ( ) 0 sinF P P N N P P F α α − + + = ⇒ = + − Ta có: 12 1ms F k mg= 2 2 2 1 2 ( sin ) ms F k N k P P F α = = + − 1 2 1 2 2 cos ( sin )F k mg k P P F a M m α α − − + − ⇒ = + Khi vật trượt 1 2 a a≤ 1 2 1 2 1 cos ( sin )F k mg k P P F k g M m α α − − + − ⇒ ≤ + 1 2 1 2 1 2 ( ) (cos sin ) ( )k g M m F k k mg k P P α α ⇔ + ≤ + − − + 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ( ) (2 ) ( ) (2 ) cos sin k k Mg k k mg k k Mg k k mg F k y α α + + + + + + ⇒ ≥ = + Nhận xét: F min ⇔ y max . Theo bất đẳng thức Bunhia Côpski: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (cos sin ) (1 )(cos sin ) 1y k k k α α α α = + ≤ + + = + 2 max 2 1y k⇒ = + . Vậy 1 2 1 2 min 2 2 ( ) (2 ) 1 k k Mg k k mg F k + + + ⇒ = + Lúc đó: 2 2 sin cos 1 k tg k α α α = ⇒ = Bài toán 4: Một con kiến bám vào đầu B của một thanh cứng mảnh AB có chiều dài L đang dựng đứng cạnh một bức tường thẳng đứng. Vào thời điểm mà đầu B của thanh bắt đầu chuyển động sang phải với vận tốc không đổi v theo sàn ngang thì con kiến bắt đầu bò dọc theo thanh với vận tốc không đổi u đối với thanh. Trong quá trình bò trên thanh , con kiến đạt được độ cao cực đại là bao nhiêu đối với sàn? Cho đầu A của thanh luôn tì lên sàn thẳng đứng. BÀI GIẢI Khi B di chuyển một đoạn s = v.t thì con kiến đi được một đoạn l = u.t. Độ cao mà con kiến đạt được: sin sinh l ut α α = = với 2 2 2 sin L v t L α − = 2 2 2 4 . u u h L t v t y L L ⇒ = − = Vói y = 2 2 2 4 .L t v t− Đặt X = t 2 2 2 .y v X L X⇒ = − + Nhận xét: max max .h y⇔ y là tam thức bậc hai có a = - v 2 < 0 ⇒ y max tại đỉnh Parabol 2 4 4 max max 2 2 4 4( ) 4 L L y y a v v ∆ ⇒ = − ⇒ = − = − 4 max 2 4 L y v ⇒ = tại 2 2 2 2 b L X a v = − = THPT Ba Tơ Gv : Nguyễn Văn Tươi Trang 4 A B h B u r Vây độ cao mà con kiến đạt được là : max max . 2 u u L h y L v = = Bài toán 5: Hai vật chuyển động từ A và B cùng hướng về điểm O với cùng vận tốc . Biết AO = 20km; BO = 30km; Góc 0 60 α = . Hãy xác định khoảng cách ngắn nhất giữa chúng trong quá chuyển động? BÀI GIẢI Xét tại thời điểm t : Vật A ở A ’ Vật B ở B ’ Khoảng cách d = A ’ B ’ Ta có: sin sin sin d AO vt BO vt α β γ − − = = 10 sin sin sin sin sin d BO AO α γ β γ β − ⇒ = = − − 10 sin 2cos .sin 2 2 d β γ β γ α ⇔ = + − với 0 120 β γ + = 0 0 10sin 60 5 3 2cos60 .sin sin 2 2 d d γ β γ β ⇒ = ⇒ = − − Nhận xét: d min ⇔ (sin ) 1 2 γ β − = min 5 3( )d cm⇒ = II.KHỐI 11 : Bài toán 1: Cho mạch điện như hình vẽ: Cho biết: 12V ξ = , r = 4 Ω , R là một biến trở.Tìm giá trị của R để công suất mạch ngoài đạt giá trị cực đại. BÀI GIẢI -Dòng điện trong mạch: I R r ξ = + - Công suất: P = I 2 .R = 2 2 . ( ) R R r ξ + ⇔ 2 2 2 2 R P R rR r ξ = + + = 2 2 2 2 ( ) 2 r r R R r R R ξ ξ = + + + . Đặt ( ) r y R R = + 2 2 P y ξ ⇒ = Nhận xét: Để P ma x ⇔ y min Theo bất đẳng thức Côsi: Tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau => y min ⇔ r R R = ⇒ R = r = 4 ( )Ω thì 2 2 2 max 12 9( ) 2 4 4.4 P W r r r r ξ ξ = = = = + + Bài toán 2 : Hai điện tích q trái dấu đặt tại hai điểm A,B cách nhau 2a.Điểm M cách đều A,B và cách đoạn AB một khoảng x. a) Xác định M E r theo a và x. THPT Ba Tơ Gv : Nguyễn Văn Tươi Trang 5 E, r R γ α β A A’ O B B’ b) Xác định x để E M cực đại và tính giá tri cực đại đó ? Đa :a ) 2 2 3/2 2 ( ) M kqa E x a = + b )x= 0 ;E max = 2kq a Bài toán 3 : Làm lại câu 7 với hai điện tích dương cùng dấu . Đa : a) 2 2 3/2 2 ( ) M kqx E x a = + b) ax 2 4 ; 3 3 2 m kq a E x a = = HD: ( ) ( ) 2 2 4 2 4 2 3 2 2 2 2 2 3 3 27 2 2 4 4 a a a x a x a x x a x   + = + + ≥ → + ≥  ÷   lấy căn hai vế => ( ) 2 3/2 2 2 2 3 3 4 2 3 3 a x kq a x E a + ≥ → ≤ => ax 2 4 3 3 2 m kq a E voi a b c x a = = = → = Bài toán 4 : Hai điện tích bằng nhau +Q được đặt trên trục x tại các điểm có tọa độ x 1 = a và x 2 = - a .Hỏi một điện tích q phải đặt ở đâu trên trục z để lực tác dụng vào nó là cực đại ? Đa : ( ) 2/3 22 2 az kQqz F + = => F max khi 2 a z ±= III.KHỐI 12 : Bài toán 1: Cho mạch điện như hình vẽ: Cho biết: 200 2 cos100 ( ). AB u t V π = 1 ( )L H π = , 4 10 ( ). 2 C F π − = R thay đổi. a. Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 0. b. Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 50 ( )Ω BÀI GIẢI a. + Cảm kháng 100( ) L Z L ω = = Ω . + Dung kháng: 1 200( ). C Z C ω = = Ω + Tổng trở: 2 2 ( ) L C Z R Z Z= + − . + Công suất : P = I 2 .R = 2 2 2 2 2 . . ( ) L C U U R R Z R Z Z = + − 2 2 ( ) L C U P Z Z R R ⇒ = − + Đặt 2 ( ) L C Z Z y R R − = + 2 U P y ⇒ = + Nhận xét: Theo bất đẳng thức côsi y min ⇔ 100( ) L C R Z Z= − = Ω , lúc đó 2 2 2 max 200 200(W) 2 2.100 200 L C U U P Z Z = = = = − . Vậy P ma x = 200(W) khi R = 100 ( )Ω b. + Tổng trở 2 2 ( ) ( ) L C Z R r Z Z= + + − + Công suất 2 2 2 2 2 2 . . . ( ) ( ) L C U U P I R R R Z R r Z Z = = = + + − THPT Ba Tơ Gv : Nguyễn Văn Tươi Trang 6 CL,r R A B ⇔ 2 2 2 2 . 2 ( ) L C U P R R Rr r Z Z = + + + − = 2 2 2 ( ) 2 L C U r Z Z R r R + − + + Đặt 2 2 ( ) 2 L C r Z Z y R r R + − = + + 2 U P y ⇒ = . +Nhận xét: Để P max min y⇔ . Theo bất đẳng thức Côsi 2 2 min ( ) L C r Z Z y R R + − ⇔ = 2 2 ( ) L C R r Z Z⇒ = + − 2 max 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) L C L C C C U P r Z Z r Z Z r r Z Z ⇒ = + − + − + + + − 2 max 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) . ( ) ( ) 2 ( ) . ( ) L C L C L C L C L C U P r Z Z r Z Z r Z Z r r Z Z r Z Z ⇔ = + − + − + − + + + − + − 2 max 2 2 2. ( ) 2 L C U P r Z Z r ⇒ = + − + 2 max 2 2 200 124( ) 2.( 50 (100 200) 50) P W⇒ = = + − + Vậy để P max = 124(W) thì 2 2 ( ) 100( ) L C R r Z Z= + − = Ω . *Mở rộng: Khi tính P của mạch: + Nếu L C Z Z r− > thì P max khi L C R Z Z r= − − . +Nếu L C Z Z r− ≤ thì P max khi R = 0. Bài toán 2: Cho mạch điện như hình vẽ: 4 200 2 cos100 ( ). 10 100( ); ( ) AB u t V R C F π π − = = Ω = Cuộn dây thuần cảm và có thể thay đổi được độ tự cảm . Hãy xác định L để hiệu điện thế U L đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó? BÀI GIẢI + Cảm kháng: L Z L ω = , dung kháng 1 100( ) C Z C ω = = Ω + Tổng trở: 2 2 ( ) C L Z R Z Z= + − Ta có: 2 2 . . . ( ) L L L L C U Z U Z U I Z Z R Z Z = = = + − 2 2 2 1 1 ( ). 2 . 1 L C C L L U U U y R Z Z Z Z ⇔ = = + − + + Nhận xét: để U Lmax ⇔ y min , với y là tam thức bậc hai có a = R 2 +Z C 2 > 0 nên y min tại đỉnh Parabol Tọa độ đỉnh 2 2 2 2 2 2 ' 2 2 1 C C C C L L C C C C Z R Z R Z R Z b x Z L L a Z R Z Z Z Z ω ω + + + = − ⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + THPT Ba Tơ Gv : Nguyễn Văn Tươi Trang 7 CL R A B Thay số : 2 2 100 100 2 ( ) 100.100 L H π π + = = 2 2 max 200 2( ) C L U R Z U V R + = = • Mở rộng: Nếu L = cosnt , tụ C có điện dung thay đổi tìm C để U C cực đại ta làm tương tự như trên và kết quả: 2 2 max C C U R Z U R + = khi 2 2 L C L R Z Z Z + = Bài toán 3: Cho mạch điện như hình vẽ: Cho biết: 0.9 ( )L H π = , U MN không đổi, C thay đổi, R A = 0, R V rất lớn, tần số của dòng điện f = 50Hz ; r = 90( Ω ). Hãy chứng tỏ rằng khi điều chỉnh C để hiệu điện thế trên các vôn kế lệch pha nhau một góc 2 π thì U C đạt giá trị cực đại. BÀI GIÀI Mạch điện được vẽ lại : Ta có : 90( ) L Z L ω = = Ω + Gianr đồ véc tơ: Từ giản đồ véc tơ ta có: + 1 1 1 4 L L r U Z tg U r π ϕ ϕ = = = ⇒ = . + 1 1 .sin( ) sin sin( ) sin MN C MN C U U U U ϕ ϕ α ϕ ϕ α + = ⇒ = + Mà 1 2 2 4 4 π π π π α ϕ = − = − = 1 1 sin( ) 2 sin( ) sin 4 MN C MN U U U ϕ ϕ ϕ ϕ π + ⇒ = = + Nhận xét: U C cực đại khi 1 1 sin( ) 1 2 π ϕ ϕ ϕ ϕ + = ⇒ + = =1 Theo bài ra: Hiệu điện thế trên các vôn kế lệch pha nhau 2 π 1 2 ( , ) 2 2 BM MN U U π π ϕ ϕ ⇔ = ⇔ + = r r ⇒ Điều phải chứng minh Bài toán 4: Cho mạch điện như hình vẽ: 4 200 2 cos100 ( ). 10 100( ); ( ) 2 AB u t V R C F π π − = = Ω = Cuộn dây thuần cảm và có độ tự cảm L thay đổi được. THPT Ba Tơ Gv : Nguyễn Văn Tươi Trang 8 C L,r B N M V 1 A V 2 ϕ 1 ϕ 2 C U r L U r r U r BM U r MN U r o C L,r M N B V 1 A V 2 M CL R A B Tìm L để U AM đạt giá trị cực đại. Tìm giá trị cực đại đó. BÀI GIẢI Dung kháng: 1 200( ) C Z C ω = = Ω Tổng trở : 2 2 2 2 ( ) ; L C AM L Z R Z Z Z R Z= + − = + Ta có : . . AM AM AM U U I Z Z Z = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 AM L C L C C C L L L U U U R Z Z Z Z Z Z Z R Z R Z ⇔ = = + − + − + + + Đăt y = 2 2 2 2 1 C C L L Z Z Z R Z − + + Nhận xét: U AM cực đại min y y⇔ = 2 2 ' 2 2 2 2 ( ( ) C L C L L Z Z Z Z R y R Z − − = + . ' 2 2 0 0 L C L y Z Z Z R= ⇔ − − = 2 2 4 241( ) 2 C C L Z Z R Z + + ⇔ = = Ω hoặc 2 2 4 0 2 C C L Z Z R Z − + = < (loại). Bảng biến thiên: Z L 0 241 +∞ y’ - 0 + Y y min Vậy, khi Z L = 241( Ω ) ⇒ L = 0,767(H) thì y min ⇒ U AM cực đại. 2 2 max ( 4 ) 482( ). 2 C C AM U R Z Z U R + + = = Ω Bài toán 5: Cho mạch điện như hình vẽ: 2 cos AB u U t ω = R không đổi, cuộn dây thuần cảm có L không đổi. Tụ C có điện dung thay đổi . Tìm C để U AM cực đại? Tính giá trị cực đại đó? BÀI GIẢI 2 2 . . ( ) AM AM AM L C U Z U I Z R Z Z = = + − ⇔ 2 2 2 2 1 AM L L C C U U U y Z Z Z R Z = = − + + U AM cực đại khi y = y min . THPT Ba Tơ Gv : Nguyễn Văn Tươi Trang 9 M C L R A B Tương tự như bài toán 1, ta tìm được : Khi 2 2 4 2 L L C R Z Z Z + + = thì y min và U AM cực đại. 2 2 max ( 4 ) 2 L L AM U R Z Z U R + + = khi 2 2 2 ( 4 L L C R Z Z ω = + + THPT Ba Tơ Gv : Nguyễn Văn Tươi Trang 10 . giữa hai vật cực tiểu là d min thì khoảng cách từ vật một đến O là ' 1 30 3( )d cm= . Hãy tính khoảng cách từ vật hai đến O. BÀI GIẢI Gọi d 1 , d 2 là khoảng cách từ vật một và vật hai. k 1 .mg 1 1 1 k mg a k g m ⇒ = = . Khi vật bắt đầu trượt thì thì a 1 = k 1 mg. + Xét vật M: 2 1 2 12 2 ( ) ms ms F P P N F F M m a+ + + + + = + r r r r r r r . THPT Ba Tơ Gv : Nguyễn Văn Tươi Trang. các bài tập về chuyển động cơ học và bài tập phần điện. 4. Giá trị cực đại hàm số sin hoặc cosin: max (cos ) 1 α = ⇔ 0 α = max (sin ) 1 α = ⇔ 0 90 α = . Kết hợp với đ/lí hàm sin : C c B b A a sinsinsin == *Phạm