ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 12 MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 180' (không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI: Bài 1: (5 điểm) Cho hàm số: y = 1 1 2 + ++ x mxx 1) Khi m = 1: a) Khảo sát hàm số (C 1 ) b) Tìm trên 2 nhánh của (C 1 ) 2 diểm A và B sao cho AB bé nhất 2) Xác định m để hàm số có y CĐ , y CT và y CĐ .y CT > 0 Bài 2: (4 điểm) a) Giải phương trình: 6 2 33 111 −=−−+ xxx 2đ b) Tìm ∀ x, y ∈ Z thoả mãn 2đ ( ) yyxxlog y 3732 2 8 2 2 2 +−≤++ + Bài 3: (4 điểm) Cho dãy số ∫ = π 0 2 sin xdxeI x n (n = 1, 2, ) a) CMR: , ,n n e I n 21 2 2 =∀≤ π 3đ b) Tính n n Ilim ∞→ 1đ Bài 4: (4 điểm) Cho Elíp 1 2 2 2 2 =+ b y a x có a > b Xét M o (X o , Y o ) ∈ E ; O là gốc toạ độ 1) CMR: a ≥ OM ≥ b 2đ 2) CMR: tiếp tuyến với E tại M O (x 0 > 0;y 0 > 0)cắt chiều dương OX và OY ở A, B thì tồn tại vị trí M O để độ dài AB min. 2đ Bài 5: (3 điểm) Cho hình chóp ∆SABC có góc tam diện đỉnh S vuông và SA = 1; SB = 2; SC = 3. M là 1 điểm thuộc ∆ABC. Gọi P là tổng các khoảng cách từ A, B, C lên đường thẳng SM tìm vị trí M để P min . Hướng dẫn đáp án: Bài 1: 1) m = 1: a) Khảo sát hàm số: có dạng y = x + 1 1 +x → TXĐ: R - {-1) 0,5đ b) y' = 1 ( ) 2 1 1 + − x → y' = 0 khi x = -2 hoặc x = 0 → dấu y' - 2 - 1 0 x 0,25đ Hàm số đồng biến trong (-∞, -2) ∪ (0 + ∞) hàm số nghịch biến trên (-2, -1) ∪ (-1, 0) Có x LĐ = -2, → y CĐ = -3 và x CT = 0 → y CT = 1 0,5đ Tiệm cận: đứng x = -1 vì ∞=       + + → 1 1 1 x xlim x + - - + Tiệm cận xiên y = x vì 1 1 + ∞→ x lim x = 0 Bảng biến thiên: 1 x y' y -∞ -2 -1 0 +∞ + 0 - 0 +- -∞ -∞ +∞ +∞ -3 Vẽ đồ thị (0,5d) y - 3 b) Gọi A ∈ nhánh phải; B ∈ nhánh trái. 0,5đ → A (-1 +α, -1 + α + α 1 ) và β(-1 -β, -1 -β - β 1 ) với α và β dương → BA 2 = AB 2 = (α + β) 2 + (α + β) 2 2 1 1       αβ + = (α + β) 2       βα + αβ +αβ≥               αβ ++ 22 2 12 24 1 11 = 8αβ αβ + 4 + 8 288 +≥ => 288 += min AB 1điểm - 1 -1-2 1 0 y = x tại α = β = 4 2 1 →       ++−+− 4 44 2 2 1 1 2 1 1 ;A       −−−−− 4 44 2 2 1 1 2 1 1 ;B 0,5đ Bài 2: a) x = ± 1 không phải nghiệm phương trình 0,5đ chia 2 vế cho 6 2 1−x ta có: 1 1 1 1 1 66 = + − − − + x x x x đặt )t( x x t 0 1 1 6 > − + = ta có: 01 1 =−= t t → t 2 - t - 1 = 0 → )i¹lot(t 2 51 2 51 − = + = 0,5đ =         −         + ⇒         + = − + ⇒ 1 2 51 2 51 1 1 66 x x x 1 2 51 2 51 1 2 51 1 6 6 6 −         +         + + =⇒         + += x b) Nhận xét rằng: x 2 + 2x + 3 = (x + 1) 2 + 2 ≥ 2 → log 2 (x 2 + 2x + 3) ≥ 1 ∀ x ∈ R 0,75đ → điều kiện cần phải có 8+ 7+3+ 2 2 y yy - ≥ 1 → 2 1 ≤ y ≤ 1 y ∈ Z → y = 1 0,5đ → x 2 + 2x + 3 ≤ 2 → x = -1 0,5đ → BPT có nghiệm    = −= 1 1 y x (∈ Z) 0,25 Bài 3: Đặt ∫ π = 0 2 nxdxsin.eI x n ∫ −==ν=→= nxcos n nxdxsin,dxxedueu xx 1 2 22 → ∫ π π +−= 0 0 22 21 nxdxcosxe n xncose n I xx n 1,0đ → ( ) ∫ π π =+−−= 0 22 2 11 1 nxdxcosxeJ;J n e.)( n I x nn n n => nn n n J nn e J nn e)( I 21211 22 + + ≤+ −− = ππ 1,0đ mặt khác có: ∫∫∫ πππ ≤→≤=  000 222 dxxeJnxdxcosxenxdxcosxeJ x n xx n = n e I e n 22 2 2 1 ππ ≤→ − 1,0đ Do 0 2 0 2 22 →→− ππ n e vµ n e nên I n →0 theo nguyên lí kẹp (1đ) Bài 4: 1) 2 điểm: từ M O ∈ E → 1 2 2 2 2 =+ b y a x OO và OM 2 = 22 OO yx + và từ a > b ta có: 1,0đ 1= 2 2 0 2 2 0 + b y a x ≤ 2 2 0 2 2 0 + b y b x ⇒ 2 b ≤ 2 0 2 0 + yx (1) và 1= 2 2 0 2 2 0 + b y a x ≥ 2 2 0 2 2 0 + a y a x ⇒ 2 a ≥ 2 0 2 0 + yx (2) từ (1) và (2) → a 2 ≥ OM 2 ≥ b 2 → a ≥ OM ≥ b 1,0đ 2) Đường thẳng AB có dạng 1=+ n y m x với A(m,o); B(n,o) theo t/c tiếp tuyến → 1 2 2 2 2 =+ n b m a => 0,5đ vậy AB 2 = m 2 + n 2 = (m 2 + n 2 ).1 = = ( ) 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 a m n b n m ba n b m a nm +++=       ++ 0,5đ ≥ a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 dấu = có khi 2 2 2 2 2 2 a m n b n m = →      =+ = 1 2 2 2 2 22 n b m a anbm → AB min = a + b khi      += += abbn abam 2 2 Bài 5: Đặt ASM = α, BSM = β, CSM = γ Ta có: P = sinα + 2sinβ + 3sinγ S M γ α β sẽ tính được sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 2 0,5đ → sinα + sinβ + sinγ ≥ sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 2 => sinβ + sinγ - 1 ≥ 1 - sinα → 2(sinβ + sinγ) - 2 ≥ 1 - sinα 0,5đ → 2sinβ + 3sinγ + sinα ≥ 2 + 1 = 3 1,0đ P min = 3 khi sinα = sin 2 α; sinβ = sin 2 β; sinγ = sin 2 γ 0,5đ => sin γ = 0, sinα = sinβ = 1 → α = 90 0 , β = 90 0 , γ = 0 0 P min = 3 khi M ≡ C. A B C . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 12 MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 180' (không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI: Bài 1: (5 điểm) Cho hàm số: y = 1 1 2 + ++ x mxx 1) Khi m = 1: a) Khảo sát hàm số (C 1 ) b). diểm A và B sao cho AB bé nhất 2) Xác định m để hàm số có y CĐ , y CT và y CĐ .y CT > 0 Bài 2: (4 điểm) a) Giải phương trình: 6 2 33 111 −=−−+ xxx 2đ b) Tìm ∀ x, y ∈ Z thoả mãn 2đ ( ) yyxxlog y 3732 2 8 2 2 2 +−≤++ + Bài. ∫ π π +−= 0 0 22 21 nxdxcosxe n xncose n I xx n 1,0đ → ( ) ∫ π π =+−−= 0 22 2 11 1 nxdxcosxeJ;J n e.)( n I x nn n n => nn n n J nn e J nn e)( I 2121 1 22 + + ≤+ −− = ππ 1,0đ mặt khác có: ∫∫∫ πππ ≤→≤=  000 222 dxxeJnxdxcosxenxdxcosxeJ x n xx n =