SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO BẮC GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG NGUYỄN THỊ THU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Tổ: Toán - Tin Năm học: 2010 - 2011 Mã số: Bắc giang, tháng 4 năm 2011. 1 MỤC LỤC Trang Lời nói ñầu 1 Chương I.Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ 2 I.1. Phương pháp biến ñổi tương ñương 2 I.2. Phương pháp ñặt ẩn phụ 6 I.3. Phương pháp ñánh giá 16 I.4. Phương pháp hàm số 18 I.5. Phương pháp lượng giác hoá 19 I.6. Phương pháp nhân liên hợp 21 I.7. Bài tập ñề nghị 23 Chương II. Một số phương pháp giải bất phương trình vô tỷ 25 II.1. Phương pháp biến ñổi tương ñương 25 II.2. Phương pháp ñặt ẩn phụ 27 II.3. Các phương pháp khác 29 II.4. Bài tập ñề nghị 32 2 LỜI NÓI ðẦU Trong chương trình toán trung học phổ thông nói chung và phân môn ñại số nói riêng phần phương trình, bất phương trình vô tỷ là một trong những phần kiến thức quan trọng và tương ñối khó. Trong các ñề thi ðại học, Cao ñẳng và các ñề thi học sinh giỏi phương trình, bất phương trình vô tỷ xuất hiện tương ñối nhiều.Tuy nhiên nhiều học sinh rất lúng túng trong việc ñịnh hướng giải và kỹ năng biến ñổi còn nhiều hạn chế.Cách phân tích ñể nhận dạng một phương trình, bất phương trình và lựa chọn một phương pháp giải thích hợp là khó và ña dạng. Nhiều thầy cô giáo cũng muốn có trong tay một hệ thống bài tập phong phú cùng một số phương pháp giải cơ bản ñể giúp các em học sinh ôn luyện tốt hơn. Với lý do nêu trên tôi mạnh dạn sưu tầm, biên soạn chuyên ñề phương trình - bất phương trình vô tỷ . Trong chuyên ñề tôi cung cấp cho bạn ñọc khá ñầy ñủ các phương pháp giải các dạng phương trình, bất phương trình vô tỷ thường gặp. Chuyên ñề ñược chia thành 2 phần chính: Phần I: Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ. Phần II: Một số phương pháp giải bất phương trình vô tỷ. Trong mỗi phần tôi nêu phương pháp giải cơ bản, một số ví dụ minh hoạ và bài tập tương tự. Trong các ví dụ cụ thể tôi cố gắng nêu rõ việc thành lập hệ bất phương trình tương ñương với các phương trình, bất phương trình ñã cho hoặc nêu cách nhận biết ñầy ñủ tập xác ñịnh của các biểu thức tham gia vào phương trình, bất phương trình. Với một lượng tương ñối ña dạng các ví dụ và bài tập tôi hy vọng chuyên ñề sẽ giúp ích cho các thầy cô trong quá trình giảng dạy và các em học sinh trong học tập và ôn luyện. Trong quá trình biên soạn chuyên ñề sẽ không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót, rất mong nhận ñược ý kiến ñóng góp của bạn ñọc ñể chuyên ñề tiếp tục hoàn thiện hơn. Xin chân thành cám ơn! Bắc giang ngày 15 tháng 4 năm 2011. 3 PHẦN I. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I.1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ðỔI TƯƠNG ðƯƠNG I.1.1.Phương pháp: Dạng 1 :    = ≥∨≥ ⇔= BA BA BA (*)00 Lưu ý: ðiều kiện (*) ñược chọn tuỳ thuộc vào ñộ phức tạp của 0 A ≥ hay 0 B ≥ Dạng 2: 2 0 B A B A B ≥  = ⇔  =  Dạng 3: • 0 0 2 A A B C B A B AB C  ≥  + = ⇔ ≥   + + =  (chuyển về dạng 2) • ( ) 3 3 3 3 3 3 3 . + = ⇔ + + + = A B C A B A B A B C và ta sử dụng phép thế 3 3 3 + = A B C ta ñược phương trình hệ quả : 3 3 . . A B A B C C + + = . I.1.2. Một số ví dụ: Ví dụ 1. Giải phương trình sau: 446 2 +=+− xxx (1) Hướng dẫn. Ta có: (1) ( )    +=+− ≥+ ⇔ 2 2 446 04 xxx x      −= −≥ ⇔ 6 5 4 x x 5 x 6 ⇔ = − Vậy phương trình có nghiệm là 6 5 −=x . Ví dụ 2. Giải phương trình sau: xxx 2443 =−++ . (2) Hướng dẫn. Ta có (2)      =−++−++ ≥ ⇔ xxxxx x 4)4)(43(2443 4 4      =−+ ≥ ⇔ 0)4)(43(2 4 xx x      =∨−= ≥ ⇔ 4 3 4 4 xx x x 4 ⇔ = . Vậy phương trình có nghiệm là x = 4. Ví dụ 3. Giải phương trình sau: .511 333 xxx =−++ Hướng dẫn. Lập phương hai vế ta ñược phương trình tương ñương: ( ) xxxxxx 511.1.132 3333 =−++−++ ( ) xxxxx =−++−+⇔ 3333 11.1.1 xxxx =−+⇒ 333 5.1.1 3 )1)(1(5 xxxx =−+⇔ 0)54( 2 =−⇔ xx     = = ⇔ 6 7 0 x x Thử lại ta ñược x=0 và 6 7 =x ñều là nghiệm của phương trình. Ví dụ 4. Giải phương trình sau : 3 3 1 2 2 2 x x x x + + + = + + Hướng dẫn: ðK : 0 x ≥ Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta có: ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 2 2 1 x x x x x + + + = + + , ðể giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút . Phương trình giải sẽ rất ñơn giản nếu ta chuyển vế ñưa phương trình về dạng: 3 1 2 2 4 3 x x x x + − + = − + Bình phương hai vế ta có : 2 2 6 8 2 4 12 1 x x x x x + + = + ⇔ = Thử lại x = 1 thỏa mãn phương trình.  Nhận xét : Nếu phương trình : ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x h x k x + = + Mà có : ( ) ( ) ( ) ( ) f x h x g x k x + = + , thì ta có thể biến ñổi phương trình về dạng : ( ) ( ) ( ) ( ) f x h x k x g x − = − sau ñó bình phương ,giải phương trình hệ quả ñơn giản hơn. 5 Ví dụ 5. Giải phương trình sau : 3 2 1 1 1 3 3 x x x x x x + + + = − + + + + (5) Hướng dẫn: ðiều kiện : 1 x ≥ − Bình phương 2 vế phương trình ? Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào? Ta có nhận xét : 3 2 1 . 3 1. 1 3 x x x x x x + + = − + + + , từ nhận xét này ta có thể giải như sau : 113 3 1 )5( 2 3 +−+−=+− + + ⇔ xxxx x x Bình phương 2 vế ta ñược: 3 2 2 1 3 1 1 2 2 0 3 1 3 x x x x x x x x  = − + = − − ⇔ − − = ⇔  + = +   Thử lại : 1 3, 1 3 x x= − = + là nghiệm của phương trình. Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình : ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x h x k x + = + Mà có : ( ) ( ) ( ) ( ) . . f x h x k x g x = thì ta biến ñổi phương trình về dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) f x h x k x g x − = − . Ví dụ 6. Giải phương trình sau: 253 −−=+ xx Hướng dẫn. ðK: 2 ≥ x . Khi ñó phương trình ñã cho tương ñương với pt: ⇔ 523 =−++ xx    = ≤ ⇔    −=−+ ≥− ⇔ −=−+⇔ =−++−++⇔ 15025 12 )12()2)(3( 012 12)2)(3( 25)2)(3(223 2 x x xxx x xxx xxxx Từ ñó ta có x = 6 là nghiệm của phương trình. Ví dụ 7. Giải phương trình sau: 6 46283 23 +−=+ xxx . (7) Hướng dẫn: Ta có (7) ( )      +−=+ ≥+− ⇔ 2 23 2 962)8(9 0462 xxx xx    =+−−− ≥∨≤ ⇔ 0)1494)(46( 21 22 xxxx xx Giải hệ trên suy ra nghiệm của phương trình. I.1.3. Một số phương trình biến ñổi về tích :  Sử dụng các ñẳng thức ( ) ( ) 1 1 1 0 u v uv u v + = + ⇔ − − = ( ) ( ) 0 au bv ab vu u b v a + = + ⇔ − − = Ví dụ 8. Giải phương trình sau : 2 3 3 3 1 2 1 3 2 x x x x + + + = + + + (8) Hướng dẫn: Ta có: ( ) ( )    = = ⇔=−+−+⇔ 1 0 01211)8( 33 x x xx Ví dụ 9. Giải phương trình sau: 2 23 3 3 3 1 x x x x x + + = + + (9) Hướng dẫn: +) Xét 0 x = không phải là nghiệm +) Xét 0 x ≠ chia hai vế cho x ta ñược phương trình: ( ) 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 0 1 x x x x x x x x   + + + = + + ⇔ − − = ⇔ =     Ví dụ 10. Giải phương trình sau: 2 3 2 1 2 4 3 x x x x x x + + + = + + + . (10) Hướng dẫn: ðk: 1 − ≥ x Ta có (10) ( )( ) 1 3 2 1 1 0 0 x x x x x =  ⇔ + − + − = ⇔  =  . I.1.4. Bài tập ñề nghị. Giải các phương trình sau: 1. 431 −−=+ xx . 2. 1334 33 =−−+ xx . 3. 333 3221 −=−+− xxx . 3. 223321 −+=+++ xxxx . 4. 3 33 211 xxx =++− . 7 5. 85)8(2 22 +=+ xx . 6. 4 3 4 3 x x x x + + = + . 7. 2 2 3 9 4 x x x + = − − 8. ( ) ( ) 2 2 3 3 2 3 9 2 2 3 3 2 x x x x x+ + = + + . HD: Chia cả hai vế pt (6) cho 3 x + >0 ta ñược phương trình: 2 4 4 4 1 2 1 0 1 3 3 3 x x x x x x x   + = ⇔ − = ⇔ =   + + +   (7) ( ) .931 2 2 xx =++⇔ (8) . ( ) 3 3 3 2 3 0 1 x x x ⇔ + − = ⇔ = I.2. PHƯƠNG PHÁP ðẶT ẦN PHỤ I.2.1. Phương pháp ñặt ẩn phụ thông thường I.2.1.1.Phương pháp: ðặt một ẩn phụ ñưa phương trình ñã cho về phương trình hữu tỷ ñối với ẩn phụ hoặc ñặt hai ẩn phụ ñưa về hệ hai ẩn. I.2.1.2.Một số ví dụ : Ví dụ 1. Giải phương trình sau: 2 2 1 1 2 x x x x − − + + − = (1) Hướng dẫn: ðK: 1 x ≥ Nhận xét. 2 2 1. 1 1 x x x x − − + − = ðặt 2 1 t x x = − − thì phương trình (1) có dạng: 1 2 1 t t t + = ⇔ = Thay vào tìm ñược 1 x = . Ví dụ 2. Giải phương trình sau: 2 2 6 1 4 5 x x x − − = + (2) Hướng dẫn: ðiều kiện: 4 5 x ≥ − ðặt 4 5( 0) t x t = + ≥ thì 2 5 4 t x − = . Thay vào ta có phương trình sau: 4 2 2 4 2 10 25 6 2. ( 5) 1 22 8 27 0 16 4 t t t t t t t − + − − − = ⇔ − − + = 8 2 2 ( 2 7)( 2 11) 0 t t t t ⇔ + − − − = Ta tìm ñược bốn nghiệm là: 1,2 3,4 1 2 2; 1 2 3 t t= − ± = ± Do 0 t ≥ nên chỉ nhận các gái trị 1 3 1 2 2, 1 2 3 t t= − + = + Từ ñó tìm ñược các nghiệm của phương trình là: 21−=x và 32 +=x . Ví dụ 3. Giải phương trình sau: 5 1 6 x x + + − = Hướng dẫn: ðiều kiện: 1 6 x ≤ ≤ ðặt 1( 0) y x y = − ≥ thì phương trình trở thành: 2 4 2 5 5 10 20 0 y y y y y + + = ⇔ − − + = (với 5) y ≤ 2 2 ( 4)( 5) 0 y y y y ⇔ + − − − = 1 21 1 17 , 2 2 (loaïi)y y + − + ⇔ = = Từ ñó ta tìm ñược nghiệm của phương trình là: 11 17 2 x − = Ví dụ 4 . Giải phương trình sau : ( ) ( ) 2 2004 1 1 x x x = + − − (4) Hướng dẫn: ðK: 0 1 x ≤ ≤ ðặt 1 y x = − pt (4)trở thành ( ) ( ) 2 2 2 1 1002 0 1 0 y y y y x ⇔ − + − = ⇔ = ⇔ = Ví dụ 5. Giải phương trình sau : 2 1 2 3 1 x x x x x + − = + Hướng dẫn: ðiều kiện: 1 0 x − ≤ < Chia cả hai vế cho x ta nhận ñược: 1 1 2 3x x x x + − = + ðặt x xt 1 −= , ta ñược phương trình: t 2 +2t - 3 = 0. Ví dụ 6. Giải phương trình sau : 2 4 23 2 1 x x x x + − = + Hướng dẫn : 0 x = không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế cho x ta ñược phương trình: 3 1 1 2 x x x x   − + − =     9 ðặt t= 3 1 x x − , Ta có : 3 2 0 t t + − = ⇔ 1 5 1 2 t x ± = ⇔ = Bài tập ñề nghị. Giải các phương trình sau: 1. 2 2 15 2 5 2 15 11 x x x x − − = − + . 2. 2 ( 5)(2 ) 3 3 x x x x + − = + . 3. 2 (1 )(2 ) 1 2 2 x x x x + − = + − . 4. 2 2 17 17 9 x x x x + − + − = . 5. 2 3 2 1 4 9 2 3 5 2 x x x x x − + − = − + − + . 6. 2 2 11 31 x x + + = 7. 2 2 2 2 (1 ) 3 1 (1 ) 0 n n n x x x + + − + − = . 8. 2 (2004 )(1 1 ) x x x = + − − . 9. ( 3 2)( 9 18) 168 x x x x x + + + + = . 10. 3 2 2 1 2 1 3 x x − + − = . Nhận xét :ðối với cách ñặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết ñược một lớp bài ñơn giản, ñôi khi phương trình ñối với t lại quá khó giải. I.2.2. ðặt ẩn phụ ñưa về phương trình thuần nhất bậc 2 ñối với 2 biến: *) Chú ý: Chúng ta ñã biết cách giải phương trình: 2 2 0 u uv v α β + + = (1) bằng cách • Xét 0 v ≠ phương trình trở thành : 2 0 u u v v α β     + + =         • Xét 0 v = thử trực tiếp Các trường hợp sau cũng ñưa ñược về (1) ( ) ( ) ( ) ( ) . . a A x bB x c A x B x + = 2 2 u v mu nv α β + = + Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận ñược phương trình vô tỉ theo dạng này . I.2.3. Phương trình dạng : ( ) ( ) ( ) ( ) . . a A x bB x c A x B x + = Như vậy phương trình ( ) ( ) Q x P x α = có thể giải bằng phương pháp trên nếu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .P x A x B x Q x aA x bB x  =   = +   [...]... Chú ý: Xây d ng phương trình vô t b ng phương pháp lư ng giác như th nào ? T công phương trình lư ng giác ñơn gi n: cos3t = sin t , ta có th t o ra ñư c phương trình vô t Ch ng h n t công th c: cos3t = 4cos3 t − 3cos t ta có phương trình vô t : 4 x3 − 3x = 1 − x 2 (1) 1 ta l i có phương trình : 4 − 3 x 2 = x 2 x 2 − 1 (2) x N u thay x trong phương trình (1) b i : (x-1) ta s có phương trình v t khó:... [5] (2004) [6] 2005 Nguy n Xuân Liêm .Chuyên ñ v b t ñ ng th c và b t phương trình n Giáo d c 1997 Tr n Phương Gi i ñ thi tuy n sinh Nhà xu t b n Giáo d c 1995 Ph m qu c Phong B i dư ng ð i s 10 Nhà xu t b n ðHQG Hà n i Nguy n Anh Tu n M t s phương pgáp gi i phương trình vô t cho Nguy n Văn Ti n Phương trình, B t phương trình và h phương trình Nguy n Văn Vĩnh 12 chuyên ñ v ñ i s sơ c p Nhà xu t b n... i phương trình: 2 ( x 2 − 4 x − 5 ) + 3 ( x + 4 ) = 5 ( x 2 − 4 x − 5)( x + 4) ð n ñây bài toán ñư c gi i quy t I.2.5 Phương pháp ñ t n ph không hoàn toàn *) Chú ý:T nh ng phương trình tích 11 ( )( ) x +1 −1 x +1 − x + 2 = 0, ( 2x + 3 − x )( ) 2x + 3 − x + 2 = 0 Khai tri n và rút g n ta s ñư c nh ng phương trình vô t không t m thư ng chút nào, ñ khó c a phương trình d ng này ph thu c vào phương trình. .. ta m i ñi tìm cách gi i phương trình d ng này Phương pháp gi i ñư c th hi n qua các ví d sau: Ví d 1 Gi i phương trình sau : ) ( x2 + 3 − x2 + 2 x = 1 + 2 x2 + 2 Hư ng d n: t = 3 ð t t = x 2 + 2 , ta có phương trình: t 2 − ( 2 + x ) t − 3 + 3 x = 0 ⇔  t = x − 1 Ví d 2 Gi i phương trìnhsau : ( x + 1) x2 − 2x + 3 = x2 + 1 Hư ng d n:ð t : t = x 2 − 2 x + 3, t ≥ 2 Khi ñó phương trình tr thành : ( x +... I.5.4 Bài t p ñ ngh Gi i các phương trình sau : 1− 2x 1 + 2x + 1 + 2x 1 − 2x 1) 1 − 2x + 1 + 2x = 2) 1 + 1 − x2 = x 1 + 2 1 − x2 ( ) DH: tan x = ðs: x = 1 + 2cos x 1 − 2cos x 1 2 HD: ch ng minh x > 2 suy ra 3) x3 − 3 x = x + 2 phương trình vô nghi m I.6 PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN H P: I.6.1 Phương pháp: 23 M t s phương trình vô t ta có th nh m ñư c nghi m x0 như v y phương trình luôn ñưa v ñư c d ng tích... − 1 = 0 ta khai tri n ra có phương trình : ( ) 4 x 2 + 12 + x − 1 = 4 x 5 x − 1 + 9 − 5 x A ≥ m n u M t s phương trình ñư c t o ra t d u b ng c a b t ñ ng th c:  B ≤ m d u b ng (1) và (2) cùng ñ t ñư c t i x0 thì x0 là nghi m c a phương trình A= B Ta có : 1 + x + 1 − x ≤ 2 D u b ng khi và ch khi x = 0 và x +1 + 1 ≥2, x +1 d u b ng khi và ch khi x = 0 V y ta có phương trình: 1 + 1+ x 1 − 2008 x +... ng phương trình vô t d ng trên ví d như: 4 x2 − 2 2 x + 4 = x4 + 1 ð có m t phương trình ñ p , chúng ta ph i ch n h s a,b,c sao cho phương trình b c hai at 2 + bt − c = 0 gi i “ nghi m ñ p” Ví d 1 Gi i phương trình : 2 ( x 2 + 2 ) = 5 x3 + 1 (1) Hư ng d n: ð t u = x + 1, v = x 2 − x + 1  u = 2v phương trình (1)tr thành : 2 ( u + v ) = 5uv ⇔  1 u = v  2 2 Tìm ñư c: x = 2 5 ± 37 2 Ví d 2: gi i phương. .. x + 2 ta hy bi n pt trn v phương trình thu n nh t b c 3 ñ i v i x và y : x = y x3 − 3 x 2 + 2 y 3 − 6 x = 0 ⇔ x3 − 3 xy 2 + 2 y 3 = 0 ⇔   x = −2 y Pt có nghi m : x = 2, x = 2−2 3 10 I.2.4 Phương trình d ng : α u + β v = mu 2 + nv 2 Phương trình cho d ng này thư ng khó “phát hi n “ hơn d ng trên , nhưg n u ta bình phương hai v thì ñưa v ñư c d ng trên Ví d 1 gi i phương trình : x 2 + 3 x 2 − 1 =... 7) 2 − x2 + 2 − 1 1  = 4−x +  2 x x  I.4 PHƯƠNG PHÁP HÀM S I.4.1 Phương pháp: S d ng tính ñơn ñi u c a hàm s ñ gi i phương trình Chuy n phương trình v m t trong các d ng: D ng 1: f ( x) = k trong ñó f (x) là hàm ñơn ñi u D ng 2: f ( x) = g ( x) trong ñó hai hàm s y = f (x) và y = g (x) có tính ch t ñơn ñi u trái ngư c nhau 19 D ng 3: f (u ) = f (v) và xét hàm s y = f ( x) ñơn ñi u Khi ñó: f (u... 4 x 2 (1 − x ) 3 I.2.7 ð t n ph ñưa v h : I.2.7.1 Phương pháp: ð t u = α ( x ) , v = β ( x ) và tìm m i quan h gi a α ( x ) và β ( x ) t ñó tìm ñư c h theo u,v I.2.7.2 M t s ví d : ) ( Ví d 1 Gi i phương trình: x 3 25 − x 3 x + 3 25 − x3 = 30 Hư ng d n: ð t y = 3 35 − x 3 ⇒ x 3 + y 3 = 35  xy ( x + y ) = 30  Khi ñó phương trình chuy n v h phương trình sau:  3 , gi i h này ta 3  x + y = 35  tìm . SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO BẮC GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG NGUYỄN THỊ THU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Tổ: Toán. các phương pháp giải các dạng phương trình, bất phương trình vô tỷ thường gặp. Chuyên ñề ñược chia thành 2 phần chính: Phần I: Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ. Phần II: Một số phương. dạng một phương trình, bất phương trình và lựa chọn một phương pháp giải thích hợp là khó và ña dạng. Nhiều thầy cô giáo cũng muốn có trong tay một hệ thống bài tập phong phú cùng một số phương