SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 1999-2000 MÔN TOÁN ( Thời gian làm bài 150 phút) Bài 1: Cho phương trình 2 0x x a− − = ( a là tham số) a, Gọi 1 2 ;x x là các nghiệm thực dương của phương trình. Tìm GTLN của biểu thức ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1P x x x x     = + + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷     b, Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để phương trình có và chỉ có nghiệm hữu tỉ. c, Tìm tất cả các giá trị a nguyên để phương trình có hai nghiệm 1 2 ;x x thỏa mãn ( ) ( ) 3 2 3 2 1 2 2 1 1 4 1 4 4x x x x+ + + + chia hết cho 6. Bài 2: a, Tìm tất cả các cặp (x;y) thỏa mãn 5 5 3 3 x y x y x y− = − = − b, Giải phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 3 27 72x y z xyz+ + + = Bài 3: Cho tam giác ABC, các đường tròn (O), (I), (J) đôi một tiếp xúc với nhau, (O) đi qua B,C; (I) đi qua C,A, (J) đi qua A,B. Biết rằng tam giác có các đỉnh là ABC đồng dạng với tam giác có các đỉnh là OIJ. Tính số đo các góc của tam giác ABC. Bài 4: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AC=b, BC=a không đổi. Trên cạnh AB về phía ngoài tam giác dựng hình vuông ABDE. Gọi O là tâm hình vuông; M,N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Tìm GTLN của tổng OM+ON khi góc ACB thay đổi. ………………………… Hết ………………………… SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2000-2001 MÔN TOÁN ( Thời gian làm bài 150 phút) Câu 1: Cho hệ phương trình 2 1ax y z x ay z a x y az a  + + =  + + =   + + =  a, Giải hệ phương trình với a=2 b, Tìm các giá trị nguyên của a để hệ phương trình có nghiệm nguyên c, Tìm số thực 1a ≥ sao cho hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn tổng A x y z= + + đạt GTNN. Câu 2: Chứng minh rằng nếu phương trình 4 2 2 2 2 0x ax b c− + + = chỉ có đúng hai nghiệm phân biệt thì a>0 và ( ) 8 8 8 8a c b≤ + Câu 3: Hai số nguyên dương a,b thỏa mãn điều kiện 1 1a b b a + + + là một số nguyên. Gọi d là UCLN(a,b). Chứng minh rằng d a b≤ + Câu 4: Cho tứ giác ABCD, đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD tại điểm M khác với giao điểm của hai đường chéo của tứ giác. Gọi P là trung điểm AB, Q là trung điểm CD. Đường tròn tâm O 1 đi qua 3 điểm A,M,C cắt PQ tại điểm thứ hai K; đường tròn tâm O 2 đi qua 3 điểm D,M,B cắt PQ tại điểm thứ hai L. CMR a, Bốn điểm O 1 ,P,Q,O 2 thuộc đường tròn. b, MK ML AB CD− = − Câu 5: Điểm P thay đổi trên các cạnh của tam giác ABC vuông tại A. Tìm vị trí của P sao cho tổng PA+PB+PC có GTNN. ………………………………. Hết…………………………… SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2001-2002 MÔN TOÁN ( Thời gian làm bài 150 phút) Câu 1: a, Giải phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 24x x x x− − − − = b, Tìm tất cả các số tự nhiên n để 4 3 6 11 6n n n n+ + + Câu 2: a, Chứng minh rằng với mọi số thực x ta luôn có 2 2 1 1 3 3 1 x x x x + + ≤ ≤ − + b, Tìm tất cả các số nguyên x,y để giá trị của phân thức 2 2 1 1 x x x x + + − + là một số nguyên. Câu 3: Giải hệ phương trình 3 3 3 3 4 2 6 6 3 9 8 x y x y z y z x z  + = +  + = +   + = +  Câu 4: a, Cho tam giác ABC, gọi O là tâm đường tròn bàng tiếp cạnh BC của tam giác ABC. D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO. Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D cùng nằm trên một đường tròn. b, Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Tìm GTNN của biểu thức ( ) ( ) ( ) a b b c c a P abc + + + = …………………… Hết ……………………… SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2002-2003 MÔN TOÁN ( Thời gian làm bài 150 phút) Câu 1: a, Giải phương trình 2 2 3 8 5x x x+ + + = b, Giải hệ phương trình 3 2 2 8 12 9 12 0 3 2 1 x x y y x y xy  − − − =   − =   Câu 2: a, Chứng minh đẳng thức ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 1 2 6 n n n n + + + + + = b, Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất lớn hơn 1 sao cho 2 2 2 1 2 n n + + + là số chính phương. Câu 3: Cho biểu thức ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 4 2 16 2 4 4P x x x x x x   = − + − + −  ÷  ÷   . Trong đó 1 2 ;x x là hai nghiệm của phương trình ( ) 2 2 3 2 4 0x a a x+ + − − = . Tìm các giá trị của a khi biểu thức P nhận GTNN. Câu 4: Một đường tròn (O) đi qua đỉnh C của tam giác ABC và tiếp xúc với đường thẳng AB tại B. Đường tròn này cắt AC và trung tuyến CM của tam giác ABC lần lượt tại D và E. Tiếp tuyến tại C và tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt nhau tại F. Chứng minh rằng nếu B,D,F thẳng hang thì: a, . . FD CD ED FB CB EB = b, · 0 90ABC = ……………………… Hết ……………………… . PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 20 02- 2003 MÔN TOÁN ( Thời gian làm bài 150 phút) Câu 1: a, Giải phương trình 2 2 3 8 5x x x+ + + = b, Giải hệ phương trình 3 2 2 8 12 9 12. & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 199 9 -20 00 MÔN TOÁN ( Thời gian làm bài 150 phút) Bài 1: Cho phương trình 2 0x x a− − = ( a là tham số) a, Gọi 1 2 ;x x là các. PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 20 01 -20 02 MÔN TOÁN ( Thời gian làm bài 150 phút) Câu 1: a, Giải phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 24 x x x x− − − − = b, Tìm tất cả các số