T T e e â â n n m m o o â â n n h h o o ï ï c c : : P P H H Ö Ö Ô Ô N N G G P P H H A A Ù Ù P P T T Í Í N N H H (Computation Methods ) G G I I A A Û Û I I T T Í Í C C H H S S O O Á Á ( Numerical Analysis ) T T h h ô ô ø ø i i g g i i a a n n : : 45 tieát Phương Pháp Tính Ngô Thu Lương T T h h ô ô ø ø i i g g i i a a n n : : 45 tieát C C a a ù ù c c p p h h a a à à n n l l i i e e â â n n q q u u a a n n : : Toaùn cao caáp Matlab , Maple , C , Pascal C C h h ư ư ơ ơ n n g g t t r r ì ì n n h h : : Gồm 5 chương 0 0 . .Giới thiệu về sai số 1 1 . .Giải gần đúng phương trình 0 ) ( = x f 2 2 . .Giải gần đúng hệ phương trình B x A = 3 3 . . Nội suy, phương pháp bình phương tối thiểu Phương Pháp Tính Ngơ Thu Lương tối thiểu 4 4 . .Tính gần đúng tích phân xác đònh , đạo hàm 5 5 . .Giải gần đúng phương trình vi phân Đ Đ a a ù ù n n h h g g i i a a ù ù k k e e á á t t q q u u a a û û : : Bài kiểm giữa kỳ 20% Bài tập lớn 20% Thi cuối kỳ 60% ( ( Đ Đ ư ư ơ ơ ï ï c c p p h h e e ù ù p p s s ư ư û û d d u u ï ï n n g g t t a a ø ø i i l l i i e e ä ä u u k k h h i i t t h h i i ) ) Phương Pháp Tính Ngơ Thu Lương T T a a ø ø i i l l i i e e ä ä u u t t h h a a m m k k h h a a û û o o : : 1 1 ) ) Giáo trình Phương pháp tính ( Lê Thái Thanh) 2 2 ) ) Phương pháp tính ( Dương Thủy Vỹ ) 3 3 ) ) Phương pháp tính ( Tạ Văn Đónh ) 4 4 ) ) Numerical analysis (Richard Burden) Phương Pháp Tính Ngơ Thu Lương 4 4 ) ) Numerical analysis (Richard Burden) C C H H Ư Ư Ơ Ơ N N G G 0 0 : : G G I I Ơ Ơ Ù Ù I I T T H H I I E E Ä Ä U U V V E E À À S S A A I I S S O O Á Á 1 1 ) ) S S ư ư ï ï c c a a à à n n t t h h i i e e á á t t p p h h a a û û i i t t í í n n h h g g a a à à n n đ đ u u ù ù n n g g : : 2 2 ) ) C C a a ù ù c c l l o o a a ï ï i i s s a a i i s s o o á á : : S S a a i i s s o o á á t t u u y y e e ä ä t t đ đ o o á á i i ( ( S S a a i i s s o o á á t t u u y y e e ä ä t t đ đ o o á á i i g g i i ơ ơ ù ù i i h h a a ï ï n n ) ) : : A là giá trò đúng của bài toán Phương Pháp Tính Ngơ Thu Lương A là giá trò đúng của bài toán a là giá trò gần đúng của nó Một số dương a ∆ : A a a − ≤ ∆ a ∆ là s s a a i i s s o o á á t t u u y y e e ä ä t t đ đ o o á á i i của a a ∆ không duy nhất càng nhỏ càng tốt S S a a i i s s o o á á t t ư ư ơ ơ n n g g đ đ o o á á i i : : a δ = | | a a ∆ ( Sai số tương đối thể hiện theo tỷ lệ phần trăm % ) Sai số quy tròn Phương Pháp Tính Ngơ Thu Lương Sai số quy tròn a được quy tròn thành a* * * a a a θ = − : : s s a a i i s s o o á á q q u u y y t t r r o o ø ø n n C C h h u u ù ù y y ù ù : : * * a a a θ ∆ = ∆ + Q Q u u y y t t a a é é c c l l a a ø ø m m t t r r o o ø ø n n s s o o á á : : 1 1 : : Quy tắc quá bán : Ví dụ : π = 3 3 . . 1 1 4 4 1 1 5 5 9 9 2 2 6 6 … … → 3 3 . . 1 1 4 4 1 1 5 5 9 9 π = 3 3 . . 1 1 4 4 1 1 5 5 9 9 2 2 6 6 … … → 3 3 . . 1 1 4 4 1 1 6 6 2 2 : Quy tròn trong bất đẳng thức a ≤ x ≤ b Phương Pháp Tính Ngơ Thu Lương a ≤ x ≤ b b : luôn q q u u y y t t r r o o ø ø n n l l e e â â n n a : luôn q q u u y y t t r r o o ø ø n n x x u u o o á á n n g g C C o o õ õ n n g g t t h h ử ử ự ự c c s s a a i i s s o o ỏ ỏ c c u u ỷ ỷ a a h h a a ứ ứ m m s s o o ỏ ỏ : : 1 2 ( , , ) n f x x x haứm n bieỏn vụựi caực sai soỏ 1 1 , , , n x x x 1 . n k k k f f x x = = Phng Phỏp Tớnh Ngụ Thu Lng 1 k k = Chữ số c c o o ù ù n n g g h h ó ó a a của một số là tất cả những chữ số bắt đầu từ một chữ số khác không kể từ trái sang V V í í d d u u ï ï : : 3 3 3 . . . 1 1 1 4 4 4 1 1 1 5 5 5 9 9 9 có 6 chữ số có nghóa Phương Pháp Tính Ngơ Thu Lương 3 3 3 . . . 1 1 1 4 4 4 1 1 1 5 5 5 9 9 9 có 6 chữ số có nghóa 0.003 3 3 1 1 1 4 4 4 1 1 1 có 4 chữ số có nghóa 0.003 3 3 1 1 1 4 4 4 1 1 1 0 0 0 0 0 0 có 6 chữ số có nghóa Chữ số thứ k sau dấu phẩy của số gần đúng gọi là c c h h ư ư õ õ s s o o á á đ đ a a ù ù n n g g t t i i n n nếu 0.5 10 k a − ∆ ≤ × V V í í d d u u ï ï : : Nếu 2.7182818 a = với 0.00045 a ∆ = Phương Pháp Tính Ngơ Thu Lương 0.00045 a ∆ = 3 0.00045 0.5 10 a − ∆ = ≤ × thì chữ số thứ 3 sau dấu phẩy là đáng tin 2,7,1,8 là các chữ số đ đ a a ù ù n n g g t t i i n n [...]... khá chậ m Ví dụ 1: Phương trình x − cos x = 0 với khoảng cách ly nghiệm [ 0 , 1] , chia đôi tới x4 Kết quả cho theo bảng sau Sai số phương pháp chia đơi là b−a 1 = = 0.3125 5 32 2 Ví dụ 2 : Giải phương trình x − e −x = 0 với khoảng cách ly nghiệ m [ 0 ,1] đến x3 0.5 0.75 0.625 0.5625 2) Phương pháp lặp đơn (phương pháp điểm bất động, phương pháp ánh xạ co ) a) Nội dung : *) Đưa phương trình f ( x )...   b n  Tính nghiệm x1 → x2 → x3 → x4 → xn Ngơ Thu Lương Phương pháp Tính 3) Giải bằng phương pháp nhân tử LU : ( A ma trận vuông bất kỳ ) a) Nội dung : Phân tích ma trận A = L.U L là ma trận tam giác dưới U là ma trận tam giác trên Việc giải hệ phương trình sẽ đưa về giải hai hệ phương trình dạng tam giác Quy ước l11 = l22 = l33 = = 1 : có nghiệm duy nhất Ngơ Thu Lương Phương pháp Tính Cách tìm... của U tìm được u23 Nhân hàng3 của L với cột 3 của U tìm được u33 Ngơ Thu Lương Phương pháp Tính 4) Phương pháp Cholesky ( phương pháp căn bậc hai ) a) Nội dung : Biểu diễn ma trận A dưới dạng A = B BT trong đó B là ma trận tam giác dưới T : ma trận chuyển vò của B , là ma trận tam (B giác trên ) Ngơ Thu Lương Phương pháp Tính ... a2 n   x2  b 2        =          ann   xn  b n      Tính nghiệm xn → xn −1 → xn − 2 → xn −3 → x1 Ngơ Thu Lương Phương pháp Tính Ví dụ : = 18.0  x1 + 2 x2 + x3   0 + 0.1x2 + 2 x3 = 20.2  0 +0 + 0.01x3 = 0.1   x1 = 4   x2 = 2  x = 10  3 Ngơ Thu Lương Phương pháp Tính 2) Hệ có A là ma trận tam giác dưới  a11 a  21 A x =  a31    a n1  0 a 22 a32... x Với x0 = 10 ta có xgd = 9,966666791 với số bước lặp Phương pháp Newton ( Phương pháp Tiếp tuyến ) a) Nội dung : Đưa f ( x) = 0 về dạng lặp f ( x) x = x− = ϕ( x) f ' ( x) Chọn x0 f ( x0 ) x1 = x0 − f ' ( x0 ) f ( x1) x2 = x1 − f ' ( x1) b) Đánh giá sai số : Sai số theo công thức sai số tổng quát x gd − x * ≤ c)Nhận xét : f ( x gd ) (1) m Phương pháp sử dụng được nếu f ' ( x) và f ' ' ( x) không đổi...Chương I : Giải phương trình f(x)=0 1)Đònh nghóa: Khoảng [ a , b ] gọi là một khoảng cách ly nghiệm nếu trong khoảng đó phương trình f ( x ) = 0 chỉ có duy nhất một nghiệm Đònh lý: Nếu f (x) khả vi liên tục trên [ a , b ] 1) f ' ( x) giữ dấu trên [ a , b] 2) f ( a ) f (b) < 0 thì [ a , b ] là khoảng cách ly nghiệm Ví dụ : Phương trình x 4 − 4 x − 1 = 0 f (1.5) = − 1.94... thức sai số : x gd − xd ≤ Ký hiệu : (1) = Min f ' ( x) , ∀ x∈[ a , b ] m f ( xgd ) m (1) Ví dụ : Phương trình x 4 − 4 x − 1 = 0 xét trong khoảng cách ly nghiệ m : [1.5 , 2 ] giả sử x gd = 1.663 Đánh giá sai số tuyệ t đố i f (1.663) = 0.003629 m(1) = 9.5 0.003629 sai số : 1.663 − x * ≤ ≈ 0.0004 9.5 3 )Phương pháp chia đôi : a)Nội dung : Nếu [ a , b ] là khoảng cách ly nghiệm thì a+b a+b [a, ] hoặc [ ,... x0 là điểm Fourier nếu f ( x0 ) cùng dấu với f ''( x0 ) Chọn x = a , x0 = b nếu a , b là điểm Fourier Vídụ: Phương trình x3 + x − 1000= 0 với khoảng cách ly nghiệm [9 , 10] Điểm nào là điểm Fourier trong hai điểm 9 , 10 Với x0 tìm được , tính x2 Đánh giá sai số của x2 0.3 Chương II : GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ax=b 1) Hệ có A là ma trận tam giác trên  a11  0  Ax = 0     0 a12 a22 a 23 0 a33... ( đá nh giá tiên nghiệm ) 2) q xn − xn −1 xn − x * ≤ 1− q ( đá nh giá hậu nghiệm ) c) Nhận xét : Có vô số cá ch chọn hàm ϕ(x ) Hàm ϕ(x ) có tính chấ t q < 1 gọ i là hàm co q là hệ số co q càng nhỏ thì tốc độ hội tụ càng cao q ≥ 1 Không sử dụng được Ví dụ1 : Xét phương trình x 3 + x − 1000 = 0 trong khoả ng cá ch ly nghiệ m [9, 10 ] a) x 3 + x − 1000 = 0 3 x = 1000 − x ϕ( x) = 1000 − x 3 2 ϕ ' ( x) = . đúng phương trình 0 ) ( = x f 2 2 . .Giải gần đúng hệ phương trình B x A = 3 3 . . Nội suy, phương pháp bình phương tối thiểu Phương Pháp Tính Ngơ Thu Lương tối thiểu 4 4 . .Tính. Lê Thái Thanh) 2 2 ) ) Phương pháp tính ( Dương Thủy Vỹ ) 3 3 ) ) Phương pháp tính ( Tạ Văn Đónh ) 4 4 ) ) Numerical analysis (Richard Burden) Phương Pháp Tính Ngơ Thu Lương 4 4 ) ) . t t h h i i ) ) Phương Pháp Tính Ngơ Thu Lương T T a a ø ø i i l l i i e e ä ä u u t t h h a a m m k k h h a a û û o o : : 1 1 ) ) Giáo trình Phương pháp tính ( Lê Thái