BÀI TẬP GIẢI TÍCH A1 Ts. Lê Xuân Đại Ngày 7 tháng 7 năm 2011 Mục lục 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3 1.1 Khái niệm dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Định nghĩa dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Tính chất của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Những khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Tính chất của giới hạn hữu hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Giới hạn vô cùng của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.4 Dãy con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.5 Mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãy số hội tụ . . . . 6 1.3 Giới hạn của dãy đơn điệu. Định lý Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.1 Dùng biến đổi đại số để tìm giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . 7 1.4.2 Dùng định lý kẹp giữa tìm giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.3 Sử dụng giới hạn cơ bản lim n→+∞ q n = 0, |q| < 1 để tìm giới hạn của dãy 10 1.4.4 Sử dụng giới hạn cơ bản lim n→+∞ (−1) n n α = 0, α > 0 để tìm giới hạn của dãy 11 1.4.5 Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu . . 11 1.4.6 Tìm giới hạn của dãy số dùng giới hạn cơ bản lim n→∞ (1 + u n ) 1 u n = e, biết rằng khi n → ∞ thì u n → 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.7 Dùng mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãy số để chứng minh dãy số phân kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 17 2.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Giới hạn của hàm số từ một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 2.3 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại điểm vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Giới hạn vô cùng của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5 Giới hạn vô cùng của hàm số tại điểm vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.6 Giới hạn vô cùng bé của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.7 Giới hạn vô cùng lớn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.8 Tính chất của hàm vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.9 Giới hạn của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.10 Những giới hạn cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.11 So sánh hàm vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.12 Những hàm vô cùng bé tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.13 So sánh hàm vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.14 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.14.1 Tìm giới hạn của hàm một biến bằng cách thay vô cùng bé tương đương 22 2.14.2 So sánh những hàm vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.14.3 Tìm giới hạn của hàm một biến bằng cách thay vô cùng lớn tương đương 24 2.14.4 So sánh những vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.14.5 Tìm giới hạn của hàm một biến dùng giới hạn cơ bản lim x→0 (1+u(x)) 1 u(x) = e, biết rằng khi x → a thì u(x) → 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.14.6 Tìm giới hạn của biểu thức có dạng f(x) g(x) khi x → a . . . . . . . . 25 2 Chương 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1.1 Khái niệm dãy số 1.1.1 Định nghĩa dãy số Định nghĩa 1.1.1 Ánh xạ f : N −→ R từ tập hợp số tự nhiên lên tập hợp số thực R được gọi là dãy số. Dãy số được kí hiệu là (x n ). 1.1.2 Tính chất của dãy số 1. Tính tăng và tính giảm. Định nghĩa 1.1.2 Dãy số (x n ) được gọi là dãy tăng (dãy giảm) nếu như với mọi n ∈ N luôn có bất đẳng thức x n < x n+1 (x n < x n+1 ). Ví dụ 1.1.1 Dãy x n = (1 + 1 n ) n , (n ∈ N) là dãy tăng. Chứng minh. Vì x n = (1 + 1 n ) n > 0 nên ta chỉ cần chứng minh x n+1 x n > 1. Ta có x n+1 x n = (1 + 1 n+1 ) n+1 (1 + 1 n ) n = ( n+2 n+1 ) n+1 ( n+1 n ) n =  n+2 n+1 n+1 n  n+1 . n + 1 n =  n 2 + 2n n 2 + 2n + 1  n+1 . n + 1 n =  1 − 1 (n + 1) 2  n+1 . n + 1 n >  1 − 1 n + 1  . n + 1 n = n n + 1 . n + 1 n = 1 (Bất đẳng thức Bernuli.) Chứng minh rằng, nếu số h > −1 và h = 0 thì luôn có bất đẳng thức (1 + h) n > 1 + nh với mọi số tự nhiên n  2. Chú ý rằng dấu đẳng thức có được là do dùng bất đẳng thức Bernuli. Như vậy x n < x n+1  3 Ví dụ 1.1.2 Dãy số x n = (1 + 1 n ) n+1 , (n ∈ N) là dãy giảm. Chứng minh. Vì x n = (1 + 1 n ) n+1 > 0 nên ta chỉ cần chứng minh x n x n+1 > 1. Ta có x n x n+1 = (1 + 1 n ) n+1 (1 + 1 n+1 ) n+2 = ( n+1 n ) n+1 ( n+2 n+1 ) n+2 =  n+1 n n+2 n+1  n+2 . n n + 1 =  n 2 + 2n + 1 n 2 + 2n  n+2 . n n + 1 =  1 + 1 n(n + 2)  n+2 . n n + 1 >  1 + 1 n  . n n + 1 = n + 1 n . n n + 1 = 1. Chú ý rằng dấu bất đẳng thức có được là do dùng bất đẳng thức Bernuli. Như vậy x n > x n+1  2. Tính bị chặn. Định nghĩa 1.1.3 Dãy số (x n ) ⊂ R được gọi là bị chặn trên (dưới), nếu như tồn tại số ∃M ∈ R (m ∈ R), sao cho với mọi ∀n ∈ N luôn có x n  M(x n  m). Số M (m) được gọi là cận trên (cận dưới) của dãy (x n ). Định nghĩa 1.1.4 Dãy số (x n ) ⊂ R được gọi là bị chặn, nếu nó bị chặn trên và chặn dưới có nghĩa là nếu như tồn tại số ∃M, m ∈ R sao cho với mọi ∀n ∈ N luôn có m  x n  M. Định nghĩa 1.1.5 Dãy số (x n ) ⊂ R được gọi là không bị chặn trên (dưới), nếu như với mọi số ∀M ∈ R (m ∈ R), tồn tại số hạng của dãy số x n 0 sao cho x n 0 > M (x n 0 < m). Ví dụ 1.1.3 Dãy số x n = (1 + 1 n ) n+1 (n ∈ N) bị chặn dưới bởi số m = 0, và bị chặn trên bởi số M = (1 + 1) 2 = 4. Chứng minh. Vì dãy này là dãy giảm nên với mọi ∀n ∈ N luôn có x n  x 1 = 4. Với mọi ∀n ∈ N ta có x n > 0 Ví dụ 1.1.4 Dãy số x n = (1 + 1 n ) n , (n ∈ N) bị chặn dưới bởi số m = 0 và bị chặn trên bởi số M = 4. Chứng minh. Với mọi ∀n ∈ N luôn có x n > 0, và x n = (1 + 1 n ) n < (1 + 1 n ) n+1  4 1.2 Giới hạn của dãy số 1.2.1 Những khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.2.1 Số a ∈ R được gọi là giới hạn của dãy (x n ) ⊂ R, nếu như với mọi ∀ε > 0 tồn tại số N = N(ε) sao cho với mọi ∀n > N luôn có bất đẳng thức |x n − a| < ε. 4 Chú ý. Nếu số a ∈ R là giới hạn của dãy (x n ) ⊂ R thì ta viết là lim n→∞ x n = a. Định nghĩa 1.2.2 Dãy số (x n ) ⊂ R có giới hạn hữu hạn a ∈ R được gọi là dãy hội tụ đến a. Khi đó ta viết là x n → a. Định nghĩa 1.2.3 Dãy số (x n ) ⊂ R được gọi là phân kỳ nếu như mọi số ∀a ∈ R không là giới hạn của dãy số này. 1.2.2 Tính chất của giới hạn hữu hạn của dãy số Định lý 1.2.1 Mọi dãy hội tụ (x n ) ⊂ R đều bị chặn. Chú ý. Điều ngược lại không đúng. Ví dụ dãy a n = (−1) n bị chặn nhưng phân kỳ. Định lý 1.2.2 Nếu dãy số (x n ) ⊂ R có giới hạn hữu hạn a thì giới hạn đó là duy nhất. Định lý 1.2.3 Nếu dãy số (x n ) ⊂ R và (y n ) ⊂ R có giới hạn hữu hạn tương ứng là a và b thì luôn có đẳng thức sau: lim n→∞ |x n | = |a|. lim n→∞ (x n ± y n ) = a ± b lim n→∞ (x n .y n ) = a.b Nếu bổ sung thêm điều kiện b = 0 thì ta có lim n→∞ x n y n = a b . Định lý 1.2.4 Nếu y n  x n  z n , ∀n > n 0 và lim n→∞ y n = lim n→∞ z n = a thì lim n→∞ x n = a. 1.2.3 Giới hạn vô cùng của dãy số Định nghĩa 1.2.4 Số +∞(−∞; ∞) được gọi giới hạn của dãy số (x n ) ⊂ R, nếu như với mọi ∀M > 0 tồn tại số N = N(M) >) sao cho với mọi ∀n > N luôn có bất đẳng thức x n > M(x n < −M; |x n | > M). 5 1.2.4 Dãy con Định nghĩa 1.2.5 Cho dãy số (x n ) ⊂ R và n 1 < n 2 < . . . < n k < . . . một dãy số tự nhiên tăng bất kỳ, khi đó dãy số x n 1 , x n 2 , . . . , x n k , . . . được gọi là dãy con của dãy (x n ). Dãy con được kí hiệu là (x n k ). Định nghĩa 1.2.6 Số c ∈ R được gọi là giới hạn riêng của dãy (x n ), nếu như tồn tại dãy con (x n k ) của dãy (x n ), hội tụ đến số c. 1.2.5 Mối quan hệ giữa giới hạn riêng và g iới hạn của dãy số hội tụ Nếu như dãy (x n ) hội tụ đến số a, thì với mọi dãy con (x n k ) của dãy (x n ), giới hạn của nó là a. lim n→∞ x n = a =⇒ lim k→∞ x n k = a Định lý 1.2.5 Nếu dãy (x n ) hội tụ thì tất cả giới hạn riêng của dãy (x n ) đều bằng nhau và bằng giới hạn của dãy số (x n ). Chú ý. Để chứng minh dãy (x n ) phân kỳ ta làm như sau: Cách 1. Chỉ ra 2 dãy con hội tụ về 2 giới hạn riêng khác nhau. Cách 2. Chỉ ra 1 dãy con phân kỳ. Ví dụ 1.2.1 Nói chung đối với một số dãy số thì có thể tồn tại những giới hạn r iêng khác nhau. Đối với dãy (x n ) = (−1) n (n ∈ N), dãy con của nó (x 2k ) = (−1) 2k = 1 và (x 2k−1 ) = (−1) 2k−1 = −1 có giới hạn riêng lần lượt là 1 và -1. Chúng không bằng nhau. Ví dụ 1.2.2 Không phải với dãy số nào cũng có giới hạn riêng. Dãy số 1, 2, . . . , n, . . . không có giới hạn riêng. 1.3 Giới hạn của dãy đơn điệu. Định lý Weierstrass Định lý 1.3.1 Nếu dãy số đơn điệu tăng (giảm) (x n ) ⊂ R bị chặn trên (dưới): x 1  x 2  . . .  x n  . . .  y (x 1  x 2  . . .  x n  . . .  z), thì nó có giới hạn hữu hạn. Còn nếu 6 như dãy số đơn điệu tăng (giảm) (x n ) ⊂ R không bị chặn trên (dưới) thì giới hạn của nó là +∞(−∞). Ví dụ 1.3.1 Chứng minh rằng dãy số (x n ) = (1 + 1 n ) n (n ∈ N) có giới hạn hữu hạn. Giới hạn này được kí hiệu là e. Chứng minh. Như ta đã biết dãy (x n ) trên là dãy tăng và bị chặn trên. Vì vậy theo định lý Weierstrass tồn tại giới hạn hữu hạn lim n→∞ (1 + 1 n ) n = e. Chú ý. Số e là số siêu việt (không phải là số đại số). Nó không là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên có bậc n  1. Số e ≈ 2, 718281828459045, số này còn được gọi là số Neper hay số Ơle. 1.4 Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số 1.4.1 Dùng biến đổi đại số để tìm giới hạn của dãy số Bài 1.4.1 Tìm giới hạn I = lim n→∞  n 2 n + 1 − n 3 n 2 + 1  . Giải. I = lim n→∞ n 2 (n 2 + 1) − n 3 (n + 1) (n + 1)(n 2 + 1) = lim n→∞ n 2 − n 3 (n + 1)(n 2 + 1) = lim n→∞ 1 n − 1 (1 + 1 n )(1 + 1 n 2 ) = −1. Bài 1.4.2 Tìm giới hạn I = lim n→∞ (n + 1) 4 − (n − 1) 4 (n 2 + 1) 2 − (n 2 − 1) 2 . Giải. I = lim n→∞ (n + 1 − n + 1)(n + 1 + n − 1)((n + 1) 2 + (n − 1) 2 ) (n 2 + 1 − n 2 + 1)(n 2 + 1 + n 2 − 1) = lim n→∞ 2n(n 2 + 1) n 2 = ∞. Bài 1.4.3 Tìm giới hạn I = lim n→∞ 1 n( √ n 2 − 1 − n) . Giải. I = lim n→∞ √ n 2 − 1 + n n(n 2 − 1 − n 2 ) = lim n→∞  1 − 1 n 2 + 1 −1 = −2. Bài 1.4.4 Tìm giới hạn I = lim n→∞ √ n 2 + 1 − n √ n + 1 − √ n . 7 Giải. I = lim n→∞ (n 2 + 1 − n 2 )( √ n + 1 + √ n) (n + 1 − n)( √ n 2 + 1 + n) = lim n→∞  1 n + 1 n 2 +  1 n  1 + 1 n 2 + 1 = 0. Bài 1.4.5 Tìm giới hạn I = lim n→∞ √ n 2 + 1 − n √ n 3 + 1 − n √ n . Giải. I = lim n→∞ (n 2 + 1 − n 2 )( √ n 3 + 1 + n √ n) (n 3 + 1 − n 3 )( √ n 2 + 1 + n) = lim n→∞  n + 1 n 3 + √ n  1 + 1 n 2 + 1 = ∞. Bài 1.4.6 Tìm giới hạn I = lim n→∞ 4 √ n 3 + n − √ n n + 2 + √ n + 1 . Giải. I = lim n→∞ 4  1 n + 1 n 3 −  1 n 1 + 2 n +  1 n + 1 n 2 = 0. 1.4.2 Dùng định lý kẹp giữa tìm giới hạn của dãy số Định lý 1.4.1 Nếu y n  x n  z n , ∀n > n 0 và lim n→∞ y n = lim n→∞ z n = a thì lim n→∞ x n = a. Bài 1.4.7 Tìm giới hạn lim n→∞ 1 + 2 2 + . . . + n n n n . Giải. Đặt a n = 1 + 2 2 + . . . + n n n n . Khi đó ta có 1 = n n n n  a n  n 1 + n 2 + . . . + n n n n = n n+1 − n (n − 1)n n = n n − 1 n n . n n − 1 < n n − 1 . Vì n n − 1 → 1 nên a n → 1 khi n → ∞. Bài 1.4.8 I = lim n→∞ 1 √ n! Giải. Bằng phương pháp qui nạp toán học ta có thể chứng minh được n! > n 2 4 , ∀n ∈ N. Do đó 0 < 1 √ n! < 2 n . Mặt khác lim n→∞ 2 n = 0 nên I = 0. 8 Bài 1.4.9 I = lim n→∞ n √ n Giải. Theo công thức nhị thức Newton ta có n = (1 + ( n √ n − 1)) n = 1 + n( n √ n − 1) + n(n + 1) 2 ( n √ n − 1) 2 + . . . + ( n √ n − 1) n . Với mọi ∀n > 1 ta có n > n(n+1) 2 ( n √ n−1) 2 . Do đó với mọi ∀n > 1, 0 < n √ n−1 <  2 n + 1 . Mặt khác lim n→∞  2 n + 1 = 0 nên lim n→∞ n √ n − 1 = 0 hay I = 1. Bài 1.4.10 I = lim n→∞ n √ a, a > 1. Giải. Theo công thức nhị thức Newton ta có a = (1 + ( n √ a − 1)) n = 1 + n( n √ a − 1) + n(n + 1) 2 ( n √ a − 1) 2 + . . . + ( n √ a − 1) n . Với a > 1 ta có a > n( n √ a − 1). Do đó 0 < n √ a − 1 < a n . Mặt khác lim n→∞ a n = 0 nên lim n→∞ n √ a − 1 = 0 hay I = 1. Bài 1.4.11 I = lim n→∞ q n , |q | < 1. Giải. Nếu q = 0 thì I = 0. Nếu q = 0 thì ta có 1 |q| > 1, do đó 1 |q| = 1 + h, h > 0. Từ đó theo bất đẳng thức Bernouli ta có 1 |q| n = (1 + h) n > 1 + nh > nh ⇒ 0 < |q| n < 1 nh . Mặt khác lim n→∞ 1 nh = 0 nên I = 0. Bài 1.4.12 I = lim n→∞ n a n , a > 1. Giải. Theo công thức nhị thức Newton ta có a n = (1 + (a − 1)) n = 1 + n(a − 1) + n(n + 1) 2 (a − 1) 2 + . . . + (a − 1) n . Với a > 1 ta có a n > n(n+1) 2 (a − 1) 2 . Do đó 0 < n a n < 2 (n + 1)(a − 1) 2 . Mặt khác lim n→∞ 2 (n + 1)(a − 1) 2 = 0 nên I = 0. 9 [...]... +1 5 5 5 1 5 1 − 5n +1 1 = 1 4 1 5 1 1 5n 1 < 4 1 3n 1 < 2 Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ Bài 1. 4. 21 Chứng minh rằng dãy an = 1 1 1 + 2 + + n hội tụ 3 +1 3 +2 3 +n Giải Dãy an là dãy đơn điệu tăng Thật vậy, vì an +1 = an + 3n +1 1 +n +1 nên an +1 > an Dãy an bị chặn trên Thật vậy 1 1 1 1 1 1 an = + 2 + + n < + 2 + + n = 3 +1 3 +2 3 +n 3 3 3 1 3 1 − 3n +1 1 = 1 2 1 ... n +1 n = lim n→∞ Bài 1. 4.30 Tìm giới hạn lim n→∞ Giải lim n→∞ 1 1+ 2n n = lim n→∞ n→∞ lim n→∞ 2n + 1 2n 2n = lim n→∞ , n n +1 = e n n −(n +1) −(n +1) 1 1− n +1 1+ 1 2n 1 1+ n 2 n n 2n 2n 1 = e2 2n + 1 2n k∈N n (n+k) n+k 1 1+ n+k 1 1+ 2n Bài 1. 4. 31 Tìm giới hạn lim n 1 1+ n+k 2n 2n = e 15 = e 1 1. 4.7 Dùng mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãy số để chứng minh dãy số phân kỳ Định lý 1. 4.3... bản lim (1+ x→0 u(x)) 1 u(x) = e, biết rằng khi x → a thì u(x) → 0 x2 x2 + 4 x2 − 4 Bài 2 .14 .17 I = lim x→+∞ 1 Bài 2 .14 .18 I = lim (1 + 2x4 ) sin2 x x→0 Bài 2 .14 .19 I = lim (ln(e + x))cotgx x→0 1 Bài 2 .14 .20 I = lim (1 − tan2 x) sin2 2x x→0 1 Bài 2 .14 . 21 I = lim (cos x) x2 x→0 Bài 2 .14 .22 I = lim 2x2 + 3 2x2 − 1 Bài 2 .14 .23 I = lim 1 e + x x→∞ x 1 x x→∞ 2 .14 .6 x2 Tìm giới hạn của biểu thức có dạng f... x 1 x 1 bé tương đương Khi x → 1 thì sin(ex 1 − 1) ∼ ex 1 − 1 ∼ x − 1 vì sin(u(x)) ∼ u(x), eu(x) − 1 ∼ u(x) khi u(x) → 0 Khi x → 1 thì ln x = ln (1 + (x − 1) ) ∼ x − 1 x 1 Vậy I = lim = 1 x 1 x − 1 (ex − 1) (cos x − 1) x→0 sin3 x + 2x4 Bài 2 .14 .4 I = lim Giải Ta có lim (ex − 1) (cos x − 1) = 0 và lim sin3 x + 2x4 = 0 nên ta có thể thay chúng bằng x→0 x→0 những vô cùng bé tương đương Khi x → 0 thì ex − 1. .. ln(n2 − n + 1) n→∞ ln(n10 + n + 1) Bài 2 .14 .12 I = lim lg 2 10 n n→∞ lg 2 n Bài 2 .14 .13 I = lim lg(n2 + 2n cos n + 1) n→∞ 1 + lg(n + 1) Bài 2 .14 .14 I = lim 2 .14 .4 So sánh những vô cùng lớn Bài 2 .14 .15 Vô cùng lớn nào sau đây có bậc cao nhất khi x → +∞ : 3x+ln3 x, x ln x, √ 3x, x(2+ sin4 x) Bài 2 .14 .16 Vô cùng lớn nào sau đây có bậc cao nhất khi x → +∞ : 2x , x2 , x2 +sin4 x, x ln x 24 2 .14 .5 Tìm giới... x1 xn y (x1 x2 xn x2 z), thì nó có giới hạn hữu hạn Còn nếu như dãy số đơn điệu tăng (giảm) (xn ) ⊂ R không bị chặn trên (dưới) thì giới hạn của nó là +∞(−∞) 11 Bài 1. 4.20 Chứng minh rằng dãy an = 1 1 1 + + n hội tụ + 2 5 +1 5 +1 5 +1 Giải Dãy an là dãy đơn điệu tăng Thật vậy, vì an +1 = an + 1 5n +1 +1 nên an +1 > an Dãy an bị chặn trên Thật vậy an = 1 1 1 1 1 1 + 2 + + n < + 2 + + n = 5 +1 5 +1. .. hạn cơ bản sin x =1 x→0 x 1 lim 1 2 lim (1 + x) x = e x→0 1 loga (1 + x) = loga e = (a > 0, a = 1) x→0 x ln a 3 lim ln (1 + x) =1 x→0 x 4 lim ax − 1 = ln a(a > 0, a = 1) x→0 x 5 lim ex − 1 =1 x→0 x 6 lim (1 + x)µ − 1 = µ(µ ∈ R) x→0 x √ n 1+ x 1 1 8 lim = n (n ∈ N) x→0 x √ 1+ x 1 9 lim =1 2 x→0 x 7 lim 20 2 .11 So sánh hàm vô cùng bé Cho hàm số α = α(x) và β = β(x) xác định trên cùng 1 tập xác định X ⊂ R... vì lim ( 1) n α n→+∞ n Sử dụng giới hạn cơ bản lim 1. 4.4 = 0, α > 0 để tìm giới hạn của dãy 1 ( 1) n + n Bài 1. 4 .19 Tìm giới hạn lim 1 n→∞ 2 − ( 1) n n Giải Chia tử số và mẫu số cho ( 1) n ta có an = Do đó lim an = lim n→∞ 1. 4.5 n→∞ 1+ ( 1) n n ( 1) n n2 1 1+ ( 1) n n ( 1) n n2 1 ( 1) n ( 1) n = lim = 0 n→∞ n→∞ n n2 = 1 vì lim Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu Định lý 1. 4.2 Nếu...( 1) n , α>0 n→+∞ nα Bài 1. 4 .13 I = lim Giải Với α > 0 ta có ( 1) n nα 1 nα 1 nα 1 1 = lim α = 0 nên I = 0 α n→∞ n n→∞ n Mặt khác lim Sử dụng giới hạn cơ bản lim q n = 0, |q| < 1 để tìm giới hạn 1. 4.3 n→+∞ của dãy Bài 1. 4 .14 Tìm giới hạn của dãy an = 1 + 7n+2 3 − 7n Giải Chia tử số và mẫu số cho 7n ta có 1 + 72 7n 3 1 7n an = 1 + 72 7n n→∞ 3 − 1 7n Do đó lim an = lim n→∞ 1 = 0 n→∞ 7n =... ( 1) n 6n − 5n +1 n→∞ 5n − ( 1) n 6n +1 Bài 1. 4 .17 Tìm giới hạn lim Giải Chia tử số và mẫu số cho (−6)n ta có 1 an = 1 5.5n (−6)n 5n −6 Do đó lim an = lim n→∞ n→∞ (−6)n =− 5.5n (−6)n 5n (−6)n −6 1 5n vì lim = 0 n→∞ (−6)n 6 2n + 3−n n→∞ 2−n − 3n Bài 1. 4 .18 Tìm giới hạn lim Giải Chia tử số và mẫu số cho 3n ta có 2n + 91 n 3n 1 1 6n an = Do đó lim an = n→∞ 2n 1 n + n lim 3 1 9 n→∞ n − 1 6 2n 1 1 = lim n = . minh x n +1 x n > 1. Ta có x n +1 x n = (1 + 1 n +1 ) n +1 (1 + 1 n ) n = ( n+2 n +1 ) n +1 ( n +1 n ) n =  n+2 n +1 n +1 n  n +1 . n + 1 n =  n 2 + 2n n 2 + 2n + 1  n +1 . n + 1 n =  1 − 1 (n + 1) 2  n +1 . n + 1 n >  1. minh x n x n +1 > 1. Ta có x n x n +1 = (1 + 1 n ) n +1 (1 + 1 n +1 ) n+2 = ( n +1 n ) n +1 ( n+2 n +1 ) n+2 =  n +1 n n+2 n +1  n+2 . n n + 1 =  n 2 + 2n + 1 n 2 + 2n  n+2 . n n + 1 =  1 + 1 n(n +. lim n→∞ n 2 (n 2 + 1) − n 3 (n + 1) (n + 1) (n 2 + 1) = lim n→∞ n 2 − n 3 (n + 1) (n 2 + 1) = lim n→∞ 1 n − 1 (1 + 1 n ) (1 + 1 n 2 ) = 1. Bài 1. 4.2 Tìm giới hạn I = lim n→∞ (n + 1) 4 − (n − 1) 4 (n 2 + 1) 2 −