Đề thi chuyên Lê Quý Đôn 2014 GV: NVThắng KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÍ ĐÔN NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN THI: TOÁN KHÔNG CHUYÊN NGÀY THI: 20/6/2014 Bài 1: (2đ) 1)Không dùng máy tính cầm tay, tính: 1 8 - 10 A = - 2 +1 2- 5 2)Rút gọn biểu thức :      a a a 1 B = + a- 2 a a 2 a- 4 a 4 với a > 0 và a ≠ 4. Bài 2: (2đ) 1)Cho hệ phương trình    ax -y = -b x -by = -a Tìm a và b biết hệ phương trình đã cho có nghiệm (x, y) = (2, 3). 2)Giải phương trình: 2(2x-1)-3 5x- 6 3x-8 Bài 3: (2đ) Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): y = 2 1 x 2 a)Vẽ đồ thị (P). b)Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x A = -2. Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho MA – MB đạt giá trị lớn nhất, biết rằng B(1; 1). Bài 4: (4đ) Cho nửa đường tròn (O) đường kình AB = 2R. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B. Trên cung AB lấy điểm M tùy ý (M khác A và B), tia AM cắt d tại N. Gọi C là trung điểm của AM , tia CO cắt d tại D. a)Chứng minh rằng: OBNC nội tiếp. b)Chứng minh rằng: NO  AD c)Chứng minh rằng: CA. CN = CO . CD. d)Xác định vị trí điểm M để 2AM + AN đạt giá trị nhỏ nhất. Đề thi chuyên Lê Quý Đôn 2014 GV: NVThắng ĐÁP ÁN: Bài 1: 1)      1 8 - 10 A = - 2 1 2 1 2 +1 2- 5 2)   2 2 ( : . (               a2 a a a 1 a a 1) B = + a a 2)= a 2 a a - 2 a 2 ( a 2) a 2 a 1 Bài 2: 1)Vì hệ có nghiệm (2,3) nên:                2a-3 =-b 2a+b= 3 6a-3b = 9 a =1 2-3b = -a a-3b = -2 a-3b = -2 b =1 2) ĐKXĐ: x ≥ 8/3 Biến đổi tương đương phương trình:     22 0                   4(2x-1)- 6 5x - 6 2 3x -8 5x - 6- 6 5x - 6 9+3x -8 2 3x -8 1=0 5x - 6 3 3x - 8 1 5x - 6 3 x = 3 3x -8 1 Vậy PT có 1 nghiệm là x = 3. Bài 3 : a)HS tự vẽ b)Điểm A thuộc (P) và có x A = -2 nên y A = ½.(-2) 2 = 2. Suy ra : A(-2, 2). Gọi điểm M thuộc trục Ox nên M(a, 0). Ta có : A(-2,2) ; B(1,1) và M(a,0) Ta tính AB = 22 ((1+2) 1-2) 10 (đvđd) Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng AB và trục Ox. Ta có : M’A – M’B = AB = 10 Với M khác M’ ta có: A, M, B không thẳng hàng. 2 = -2a + b và 1 = a + b Khi đó: MA – MB < AB = 10 (BĐT trong tam giác) Do đó MA – MB đạt GTLN là 10 khi M M’ hay M là giao điểm của AB với Ox. + Viết pt đường thẳng AB đi qua (-2,2) và B(1,1) ta được 14 y = - x + 33 + Vì M là giao điểm của AB với Ox nên 14 0 = - .a+ 33  a = 4 Vậy M(4 ; 0). Đề thi chuyên Lê Quý Đôn 2014 GV: NVThắng Bài 4 : a) + Xét (O) có C là trung điểm của dây CM (gt) OC  CM (đường kính và dây cung) + d là tiếp tuyến của (O) tại B (gt)  d  OB Xét tứ giác OBNC có : 0 0 0   NCO+OBN 90 90 180 Suy ra OBNC là tứ giác nội tiếp. b) Xét ADN có : DC và AB là 2 đường cao cắt nhau tại O Suy ra : O là trực tâm Suy ra : ON  AD. c) Ta có: Tứ giác OBNC nội tiếp nên COA =CND Xét CAO vuông tại C và CDN vuông tại C có COA =CND Suy ra : CAO và CDN đồng dạng Suy ra :  CA CO CD CN  CA. CN = CO . CD. d) Ta có: 0 AMB =90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  MB  AN Xét AMB vuông tại B có đường cao BM ta có: AB 2 = AM . AN (hệ thức lượng) Hay AM. AN = 4R 2 Ta có: 2AM + AN ≥ 2 2 2AM.AN 2 2.4R 4 2R (BĐT Cô si) Suy ra 2AM + AN đạt GTNN là 4 2R khi 2AM = AN hay M là trung điểm của AN. Suy ra: ABN vuông cân tại B  0 MAB = 45  sđ MB = 90 0 . Do đó: M là điểm chính giữa của cung AB thì 2AM + AN đạt GTNN. D C M B O A N d . Đề thi chuyên Lê Quý Đôn 2014 GV: NVThắng KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÍ ĐÔN NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN THI: TOÁN KHÔNG CHUYÊN NGÀY THI: 20/6/2014 Bài. để 2AM + AN đạt giá trị nhỏ nhất. Đề thi chuyên Lê Quý Đôn 2014 GV: NVThắng ĐÁP ÁN: Bài 1: 1)      1 8 - 10 A = - 2 1 2 1 2 +1 2- 5 2)   2 2 ( : . (    . B(1,1) và M(a,0) Ta tính AB = 22 ((1+2) 1-2) 10 (đvđd) Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng AB và trục Ox. Ta có : M’A – M’B = AB = 10 Với M khác M’ ta có: A, M, B không thẳng hàng.