Trường THPT Nguyễn Huệ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN 8 Năm học 2014 − 2015 Môn: Toán Thời gian: 180 phút Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 2 2 3 1y x x= − + a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Tìm tọa độ hai điểm A , B thuộc đồ thị (C) sao cho ( ) 0; 2I − là trung điểm AB . Câu 2 (1,0 điểm). a) Giải phương trình : 4sin5 .sin 2cos4 3x x x= + . b) Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất . Giả sử súc sắc xuất hiện mặt b chấm . Tính xác suất để phương trình 2 2 0x bx+ + = có hai nghiệm phân biệt . Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân 2 2 0 ( cos )sinx x xdx π + ∫ . Câu 4 (1,0 điểm). a) Tìm m để hàm số ( ) x y e x m= + đạt cực tiểu tại x = 1. b) Tìm các căn bậc hai của số phức w biết 11 13 22 17 5 2 i w i i + = − + − . Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (2;1;5)A và (3;4;1)B a) Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với AB tại B . b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho M cách đều A và mặt phẳng (Oxy). Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , 2 2AB a= . Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn 2IA IH= − uur uuur . Góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng 0 60 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH). Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm ( ) ( ) 1;2 ; 3;4A B và đường thẳng : 3 0.d y − = ,Viết phương trình đường tròn ( ) C đi qua hai điểm ,A B và cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt ,M N sao cho · 0 60MAN = . Câu 8 (1,0 điểm). Giải bất phương trình ( ) ( ) 2 3 2 5 5 10 7 2 6 2 13 6 32x x x x x x x x− + + + + + ≥ + − + . Câu 9 (1,0 điểm). Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ( ) 2 2 y z x y z+ = + . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 P x y z x y z = + + + + + + + + + . Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: Trường THPT Nguyễn Huệ ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ SỐ 8 trang 1 Nội dung Điểm Câu 1b Gọi 3 2 3 2 ( ;2 3 1), (b;2 3 1)A a a a B b b− + − + . Có ( ) 0; 2I − là trung điểm của AB và 3 2 3 2 3 2 3 2 2 0 1 2 3 1 2 3 1 4 2 3 1 2 3 1 4 6 6 a b b a b a b a a a a b b a a a a a + = = − = − = −     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔     = ± − + + − + = − − + − − + = − − = −     0,75 Với 1 (1;0), ( 1; 4)a A B= ⇒ − − Với 1 ( 1; 4), (1;0)a A B= − ⇒ − − 0,25 Câu 2a Pt đã cho ( ) 3 5 2(cos6 cos4 ) cos4 3 cos6 2 36 3 x x x x x k k π π − ⇔ − − = + ⇔ = ⇔ = ± + ∈¢ 0,5 Câu 2b Có 6 khả năng xảy ra khi tung súc sắc 0,25 Pt có 2 nghiệm phân biệt { } 2 0 8 0 3;4;5;6b b⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ ∈ . Xác suất cần tìm 2 3 P = 0,25 Câu 3 2 2 2 0 0 sin cos sinI x xdx x xdx π π = + ∫ ∫ . Đặt 2 2 2 1 2 0 0 sin , cos sinI x xdx I x xdx π π = = ∫ ∫ 0,25 2 1 0 sinI x xdx π = ∫ . Đặt 2 2 2 1 0 0 0 cos cos sin 1 sin cos u x du dx I x x xdx x dv xdx v x π π π = =   ⇒ ⇒ = − + = =   = = −   ∫ 0,25 Đặt 1 3 0 1 2 2 2 1 0 0 1 cos ( ) 3 3 t x t I t dt t dt= ⇒ = − = = = ∫ ∫ . Vậy 1 4 1 3 3 I = + = . 0,5 Câu 4a Có ' ( ) ( 1) '' ( 1) ( 2) x x x x x x y e x m e e x m y e x m e e x m= + + = + + ⇒ = + + + = + + . Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 '(1) 0 (1 1) 0 2y e m m⇒ = ⇔ + + = ⇔ = − 0,25 Với 2 '' . ''(1) 0 1 x m y e x y e x= − ⇒ = ⇒ = > ⇒ = là điểm cực tiểu ( thỏa mãn ) .Vậy 2m = − 0,25 Câu 4b 2 21 20 (2 5 )w i i= − + = + . Các căn bậc hai của số w là 2 5i+ và 2 5i− − 0,5 Câu 5a (P) đi qua (3;4;1)B có véctơ pháp tuyến ( ) 1;3; 4 ( ): 3 4 11 0AB P x y z− ⇒ + − − = uuur 0,5 Câu 5b (0;0; )M Oz M t∈ ⇒ . Ta có ( ) 2 ( ,( )) 5 ( 5) 3 0;0;3AM d M Oxy t t t M= ⇔ + − = ⇔ = ⇔ 0,5 Câu 6 Ta có 2 2 2 2 4 5HC IC HI a a a= + = + = . ( ) · · 0 , 60SC ABC SCH= = . Xét SHC∆ có 0 .tan 60 15SH HC a= = 0,25 2 1 . 4 2 ABC S AB AC a= = . Ta có 3 . 1 4 15 . 3 3 S ABC ABC a V S SH ∆ = = 0,25 ( ) ( ) ( ) ;BI SAH d B SAH BI a⊥ ⇒ = = .Gọi M là trung điểm SI . Ta có ( ) ( ) ( ) / / , 2 a MK BI MK SAH d K SAH MK⇒ ⊥ ⇒ = = 0,5 Câu 7. Gọi ( ) 2 2 : 2 2 0C x y ax by c+ − − + = (đk 2 2 0)a b c+ − > ( ) ( ) ( ) ( ) 1;2 5 2 4 0 5 25 6 8 0 15 2 3;4 A C a b c b a a b c c a B C  ∈ − − + = = −    ⇔ ⇒    − − + = = − ∈     .Vậy ( ) ; 5I a a− + bán kính ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 15 2 2 4 5R a a a a a= + − − − = − + 0,25 Trường THPT Nguyễn Huệ ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ SỐ 8 trang 2 · 0 60MAN = . Suy ra · · · 0 0 120 30MIN I MN I NM= ⇒ = = hạ ( ) ( ) 1 , 2 IH d IH d I d R⊥ ⇒ = = 0,25 ( ) 2 2 1 2 2 4 5 4 3 0 1 3 2 a a a a a a a⇔ − = − + ⇔ − + = ⇒ = ∨ = 0,25 Khi 1a = ta có đường tròn ( ) 2 2 : 2 8 13 0C x y x y+ − − + = ( loại do ,I A khác phía đường thẳng d ) Khi 3a = ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 : 6 4 9 0 : 3 2 4C x y x y C x y+ − − + = ⇔ − + − = (t/ mãn) 0,25 Câu 8 Điều kiện 2x ≥ − . Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình ( ) ( ) 2 2 3 2 (5 5 10) 7 3 (2 6) 2 2 3(5 5 10) 2(2 6) 13 6 32x x x x x x x x x x x− + + − + + + − + − + + + ≥ + − + ( ) ( ) 2 3 2 (5 5 10) 7 3 (2 6) 2 2 2 5 10 0x x x x x x x x⇔ − + + − + + + − − + − + ≥ 0,25 ( ) 2 2 5 5 10 2 6 2 5 0 7 3 2 2 x x x x x x x   − + + ⇔ − + − − ≥  ÷ + + + +   (*) 0,25 Do 1 1 2 2 2 2 2 2 2 x x x ≥ − ⇒ + + ≥ ⇒ ≤ + + và vì 2 6 0x + > 2 6 2 6 3 2 2 2 x x x x + + ⇒ ≤ = + + + (1) Do 2x ≥ − ⇒ 1 1 7 3 5 3 5 5 7 3 x x + + ≥ + > ⇒ < + + và vì 2 5 5 10 0x x x− + > ∀ ∈¡ 2 2 2 2 2 5 5 10 5 5 10 5 5 10 2 5 3 5 7 3 7 3 x x x x x x x x x x x x − + − + − + ⇒ < = − + ⇒ − − < − − + + + + (2) Từ (1) và (2) 2 2 5 5 10 2 6 5 0 7 3 2 2 x x x x x x − + + ⇒ + − − < + + + + . Do đó (*) 2 0 2x x⇔ − ≤ ⇔ ≤ 0,25 Kết hợp điều kiện 2 2 2x x ≥ − ⇒ − ≤ ≤ . 0,25 Câu 9 Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2y z y z x y z x y z+ ≤ + ⇒ + ≤ + ( ) ( ) 2 2 2x y z y z y z x ⇔ + ≤ + ⇒ + ≤ Theo BĐT Côsi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 4 4 y z y z y z x   + + ≤ + + ⇔ + + ≤ +  ÷   ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 x y z x + ⇔ + + ≤ ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 x y z x ⇔ ≥ + + + (1) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 (1 ) 1 1 1 x x y z x ⇔ ≥ + + + + (2) Lại có theo BĐT Côsi ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1y z y z + ≥ + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 1 1 1 y z y z ⇔ + ≥ + + + + (3) . Từ (1) và (2) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 x y z x ⇒ + ≥ + + + (4) 0,5 Từ (2) và (4) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 2 4 1 1 1 x x P x x x ⇒ ≥ + + + + + ( ) 3 2 3 2 6 1 1 x x x P x + + + ⇔ ≥ + 0,25 Xét hàm số ( ) 3 2 3 2 6 1 ( ) 1 x x x f x x + + + = + trên ( ) 0;+∞ . Ta có ( ) 4 10 2 1 ( ) 0 5 1 x f x x x − ′ = = ⇒ = + Lập BBT 1 91 ( ) 5 108 P f x f   ≥ ≥ =  ÷   . Vậy GTNN của . 91 1 ; 5 108 5 P x y z= ⇔ = = = . 0,25 . THPT Nguyễn Huệ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN 8 Năm học 2014 − 2015 Môn: Toán Thời gian: 180 phút Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 2 2 3 1y x x= − + a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ. sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: Trường THPT Nguyễn Huệ ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ SỐ 8 trang 1 Nội dung Điểm Câu 1b Gọi 3 2. vì 2 5 5 10 0x x x− + > ∀ ∈¡ 2 2 2 2 2 5 5 10 5 5 10 5 5 10 2 5 3 5 7 3 7 3 x x x x x x x x x x x x − + − + − + ⇒ < = − + ⇒ − − < − − + + + + (2) Từ (1) và (2) 2 2 5 5 10 2 6 5 0 7