Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn Toán học Thời gian làm bài 180 phút Đề thi bảng A Bài 1: Cho y = (-m + 1) x 3 + 3( m + 1) x 2 - 4 mx - m . a) Tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến . b) Chứng minh với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng . Bài 2: Tìm các giá trị của tham số a để bất phơng trình : 1 34 1 2 < + + axax x Đợc nghiệm đúng với mọi x . Bài 3: Giải phơng trình 2 )1( 22 3 = + + xx xx Bài 4: Tìm cặp số (x; y) thoả mãn y 6 + y 3 + 2 x 2 = 22 yxxy Bài 5: Cho khối tứ diện ABCD ; M là 1 điểm nằm bên trong tứ diện;AM, BM , CM, DM. Lần lợt cắt các mặt BCD; ACD; ABD; và ABC tại A 1 , B 1 , C 1 , D 1 . a) Chứng minh rằng : 1 1 1 1 1 1 1 1 DD MD CC MC BB MB AA MA +++ Không đổi . b) Tìm vị trí của điểm M để biểu thức 1111 MD DM MC CM MB BM MA AM P +++= Đạt giá trị nhỏ nhất . Bài 6:Chứng minh với mỗi số nguyên dơng n thì phơng trình x 2n+ 1 = x + 1 . chỉ có 1 nghiệm số thực x n . Khi đó tìm lim x n n đáp án và biểu điểm môn Toán học thi học sinh giỏi lớp 12 Bài 1: a) (1.5 điểm ) D = R Cần điều kiện : y = 3 (m + 1) x 2 + 6 ( m + 1 ) x - 4 m 0 Thoã mãn với x (0.25 điểm) + m + 1 = 0 => m = - 1 có y = 4 > 0 Thoã mãn với x vậy m = -1 là giá trị cần tìm . (0.25 điểm) + m + 1 0 = > m = - 1 . Để y 0 Thoã mãn với x cần điều kiện +++= >+ 0)1(12)1(9 01 2' mmm m 1 0)37)(1( 01 < ++ >+ m mm m hoặc m 7 3 (0.50 điểm) Kết luận: m ( ] .; 7 3 1; + (0.25 điểm) b) Gọi (x 0 ;y 0 ) là điểm cố định mà đồ thị đi qua với m => m ( 03)143 0 2 0 3 00 2 0 3 0 =++ yxxxx (*) Để phơng trình (*) không phụ thuộc m cần =+ =+ 03 0143 0 2 0 3 0 0 2 0 3 0 yxx xxx Xét phơng trình 0143 0 2 0 3 0 =+ xxx Gọi f(x) = 0143 0 2 0 3 0 =+ xxx là hàm số liên tục trên R + Có f(0) .f(-1) <0 => phơng trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc (-1; 0) (1.0 điểm) + Có f(1) .f(2) <0 => phơng trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc (1; 2) + Có f(-1) > 0 ; khi x thì f(x) <0. Vậy phơng trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (- )1; Vậy phơng trình f(x) = 0 luôn có 3 nghiệm . Các nghiệm ấy thõa mãn : =+ =+ 03 0143 23 23 yxx xxx Trừ hai phơng trình cho nhau đợc : y - 4x - 1 = 0 hay các điểm cố định thuộc đờng thẳng y = 4x - 1 . Bài 2 (3 điểm ) Trớc hết cần ax 2 - 4x + a - 3 0 với mọi x <= 0)3(4 0 ' aa a a < -1 hoặc a > 4 (0,5 điểm) + Nếu a < -1 thì ax 2 - 4x + a - 3 < 0 với x . Bất phơng trình đã cho thỏa mãn với x . x + 1 > ax 2 - 4x + a - 3 thỏa mãn với x . ax 2 - 5x + a - 4 < 0 thỏa mãn với x . = 25 - 4a (a - 4 ) < 0 (vì a < -1) (1,0 điểm) = 4a 2 - 16a - 25 > 0 2 414 < a (do a < - 1) + Nếu a > 4 thì ax 2 - 4x + a - 3 > 0 với x . Bất phơng trình đã cho thỏa mãn với x . x + 1 < ax 2 - 4x + a - 3 thỏa mãn với x . ax 2 - 5x + a - 4 > 0 thỏa mãn với x (1,0 điểm) = 25 - 4a (a - 4 ) < 0 (vì a = 4 > 0) 4a 2 - 16a - 25 > 0 2 414 + > a (do a > 4) Kết luận: + + ; 2 414 2 414 ;a (0.5 điểm) Bài 3: ( 3 điểm ) Tập xác định D = x R (0,25 điểm) Do x = 0 không là nghiệm của phơng trình đã cho nên phơng trình đã cho (0,25 điểm) 2 1 1 1 1 22 2 2 3 = + + = + + x x x x x xx x xx (0,5 điểm) x x x x 1 1 1 2 2 += + (0,5 điểm) Đặt . 1 t x x =+ Điều kiện 2t (vì 2 11 +=+= x x x xt ) (0,25 điểm) Ta đợc phơng trình mới 2t 2 - 5t + 2 = 0 (0,25 điểm) = = )( 2 1 2 mãnthoả khôngdo loạit t (0,25 điểm) Với t = 2 012 2 2 1 2 =+ =+ xx x (0,5 điểm) 1= x Kết luận: Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 (0,25 điểm) Bµi 4: (3 ®iÓm ) §iÒu kiÖn : xy - x 2 y 2 0≥ hay 10 ≤≤ xy (0,25 ®iÓm) Ta cã : xy - x 2 y 2 = - 4 1 4 1 4 1 22 ≤+       +− xyyx (0,25 ®iÓm) 2 1 22 ≤−⇒ yxxy ( DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi xy = 2 1 ) Do ®ã : y 6 + y 3 + 2x 2 2 1 ≤ (0,25 ®iÓm) KÕt hîp víi gi¶ thiÕt 2 1 4)2(12 3322 ++≤−++ yxyyxx (0,25 ®iÓm) Céng hai vÕ hai bÊt ®¼ng thøc ta cã : 14)2(14 3226 +≤−+++ xyyxxy (0,25 ®iÓm) −⇔ 1 2 )2(1 yx −+ 23 )2( xy −≥ Do −1 2 )2(1 yx −+ 0 ≤ dÊu b»ng x¶y ra khi 1 + (2x - y ) 2 =1 vµ 0)2( 23 ≥− xy (0,25 ®iÓm) nªn ta cã −1 2 )2(1 yx −+ )2( 3 xy −= = 0    =− =− ⇔ 02 02 3 yx xy (0,25 ®iÓm) Gi¶i hÖ nµy ta ®îc      −= −=    = =    = = 2 1 1 ; 1 1 ; 0 0 3 3 2 2 1 1 x y x y x y (0,5 ®iÓm) Thử lại chỉ thấy : (x ; y ) = 1; 2 1 thoả mãn (0,5 điểm) Bài 5: (4 điểm ) a) Gọi thể tích các khối tứ diện M.BCD ; M.ACD ; M.ABC và ABCD là V 1 , V 2 , V 3 , V 4 và V khi đó : V V AA MA 1 1 1 = ; V V BB MB 2 1 1 = ; V V CC MC 3 1 1 = ; V V DD MD 3 1 1 = (1,0 điểm) Cộng 4 đẳng thức trên = > khết quả = 1 (không đổi ) (0.5 điểm ) b) Theo kết quả câu a để thuận tiên gọi V 1 = a 2 ; V 2 = b 2 ; V 3 = c 2 ; V 4 = d 2 . Khi đó : 2 2222 11 1 a dcba V V MA AA +++ == => = 1 MA AM 2 222 a dcb ++ Tơng tự: = 1 MB BM 2 222 b acd ++ = 1 MC CM 2 222 c bad ++ = 1 MD DM 2 222 d cba ++ . (1,0 điểm) Mặt khác theo Bất đẳng thức Bunhi a ta có : (b + c + d ) 2 3 (b 2 + c 2 + d 2 ) => ++ ++ = a dcb a dcb AM BM 3 1 222 1 (0,5 điểm) Tơng tự : b dca MB BM ++ 3 1 1 c dba MC CM ++ 3 1 1 d cba MD DM ++ 3 1 1 Dấu = xảy ra khi a 2 = b 2 = c 2 = d 2 (0,5 điểm) =>T 3412. 3 1 3 1 = ++ + ++ + ++ + ++ d cba c dba b acd a dcb (Theo BĐT cô si cho 2 số không âm ) Vậy T min = 4 3 khi a 2 = b 2 = c 2 = d 2 Hay M là trọng tâm tứ diện ABCD ) (0.5 điểm ) Bài 6: (3 điểm ) Tập xác định D = R (0,25 điểm) Phơng trình đã cho 1 12 = + xx n 1)1( 2 = n xx (*) (0,5 điểm ) + Nếu x 11 2 n x : vế trái 0 (0,25 điểm) Vậy phơng trình vô nghiệm . +Nếu 0 < x <1 => vế trái (*) âm = > phơng trình vô nghiệm (0,25 điểm) +Nếu 1<x 1 (*) trái vế0 phơng trình vô nghiệm (0,25 điểm) +Nếu x > 1 xét f(x) = x 1 12 + x n là hàm số liên tục trên (1 ; + ) mà f(-1) . f(2) < 0 . nên theo tính chất của hàm số liên tục n x (0,5 điểm ) Sao cho x n (1;2 ) để f (x n ) = 0 : với x n = n n n xn x n n n 2 12 12 12 1 12 + + ++ + + (theo bÊt ®¼ng thøc c«isi ) (0,5 ®iÓm ) Vµ lim 1 2 12 lim = + ≤ n n x n VËy lim x n = 1 (0,25 ®iÓm) n ∞→       + ≤< n n xDo n 2 12 1 . Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn Toán học Thời gian làm bài 180 phút Đề thi bảng A Bài 1: Cho y = (-m + 1) x 3 + 3( m + 1) x 2 - 4 mx - m . a) Tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng. minh với mỗi số nguyên dơng n thì phơng trình x 2n+ 1 = x + 1 . chỉ có 1 nghiệm số thực x n . Khi đó tìm lim x n n đáp án và biểu điểm môn Toán học thi học sinh giỏi lớp 12 Bài 1: a). n n n xn x n n n 2 12 12 12 1 12 + + ++ + + (theo bÊt ®¼ng thøc c«isi ) (0,5 ®iÓm ) Vµ lim 1 2 12 lim = + ≤ n n x n VËy lim x n = 1 (0,25 ®iÓm) n ∞→       + ≤< n n xDo n 2 12 1