Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! 1! H4"I)1%J%)>K)L!ML)N=O9)P%E)Q)L4RS()/T&1)L4U&4)VE6) DW&()L"I&X)/Y)Z[)\\]^*) V1US)#4%)()*\]*7].*\^) L4_%)1%E&)$U6)`U%()\a*)@4b#c)24W&1)2d)#4_%)1%E&)1%E")>K) e%f&)4g)>0&1)23)24"I)489)Q)!"#$%&'()*+,-) ).*.)Q)B4%)#%C#()hhhF6E#4$%&2:FG&)) Bi=)\)j.c*)>%d6kF!Cho!hàm!số! y = x − 2 x −1 (1) .! 1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).! 2. Tìm!k!để!đường!thẳng! y = k(x −3) !cắt!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt!có!hoành!độ!lớn!hơn!1.!! Bi=).)j\c*)>%d6kF) a) Giải!phương!trình! 3 x 2 .4 x 2 x−1 = 12 .!! b) Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!hàm!số! y = x + x 2 − 2 x + 2 .!! Bi=)7)j\c*)>%d6kF!Tính!tích!phân! I = cos 3 x cos 4 x −3cos 2 x + 3 dx 0 π 2 ∫ .!! Bi=)l)j\c*)>%d6kF) a) Gọi! x 1 ,x 2 !là!hai!nghiệm!phức!của!phương!trình! 2x 2 − 2x +1 = 0 .!Tính! A = 1 x 1 2 − 1 x 2 2 .!!! b) Cho!tập! X = 0,1,3,4,5 { } .!Hỏi!từ!X!có!thể!lập!được!bao!nhiêu!số!tự!nhiên!gồm!5!chữ!số!và!chia! hết!cho!4?!! Bi=)^)j\c*)>%d6kF)Cho!hình!hộp!ABCD.A’B’C’D’!có!đáy!ABCD!là!hình!chữ!nhật, AB = 2a ,! BC = a .! Gọi!O!là!giao!điểm!của!AC!và!BD,!M!là!một!điểm!thuộc!cạnh!AD.!Góc!giữa!cạnh!bên!và!mặt!đáy! bằng! 60 0 !và! A'O ⊥ (ABCD ) .!Tính!thể!tích!khối!tứ!diện!A’AOB!và!khoảng!cách!từ!điểm!M!đến!mặt! phẳng!(A’BC).!!!!! Bi=)-)j\c*)>%d6kF)Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!đường!thẳng! d 1 : x −1 1 = y −1 2 = z −1 2 ;d 2 : x −1 = y +1 −2 = z −3 2 .!Tìm!toạ!độ!giao!điểm!I!của! d 1 ,d 2 .!Viết!phương!trình! đường!thẳng!d!đi!qua!điểm!M(0;w1;2)!và!cắt d 1 ,d 2 lần!lượt!tại!A,B!khác!I!sao!cho! AI = AB .!!!!! Bi=),)j\c*)>%d6kF)Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!chữ!nhật!ABCD!có!B(w1;5).!Gọi! E 3 5 ; 9 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ là!hình!chiếu!vuông!góc!của!A!trên!BD,! G 1; 19 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ !là!điểm!thuộc!đoạn!CD!thoả!mãn! ECD ! = CBG ! .!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!hình!chữ!nhật!ABCD!biết!C!có!hoành!độ!nguyên.! Bi=)a)j\c*)>%d6kF)Giải!hệ!phương!trình (x − y−1) 2(3− y 2 ) = −xy + 2 y 5− x 2 = x − y − 4 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ (x, y ∈ !) .! Bi=)+)j\c*)>%d6kF!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!không!âm!thoả!mãn! max x − y ; y− z ; z − x { } ≤ 2 !và! xy + yz + zx = 2 .!!Tìm!giá!trị!lớn!nhất!của!biểu!thức! P = ( x − y +1)( y − z +1)( z − x +1)− x 2 + y 2 + z 2 .! mmm!nLmmm) Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! 2! M!oV)LpB!)qrV!)estV)uv)/wM)wV) Bi=)\)j.c*)>%d6kF!Cho!hàm!số! y = x − 2 x −1 (1) .! 1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).! 2. Tìm!k!để!đường!thẳng! y = k(x −3) !cắt!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt!có!hoành!độ!lớn!hơn!1.!! 1. Học!sinh!tự!giải.! 2. Phương!trình!hoành!độ!giao!điểm:! x − 2 x −1 = k(x −3) ⇔ kx 2 − (4k +1)x + 3k + 2 = 0 (2) .! Để!(1)!cắt!đường!thẳng!d!tại!hai!điểm!có!hoành!độ!lớn!hơn!1!khi!(2)!có!2!nghiệm! 1 < x 1 < x 2 .! !! ⇔ k ≠ 0 Δ = (4k +1) 2 − 4k(3k + 2) > 0 x 1 + x 2 > 2 (x 1 −1)(x 2 −1) > 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ k ≠ 0 x 1 + x 2 > 2 x 1 x 2 −(x 1 + x 2 ) +1> 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ k ≠ 0 4k +1 k > 2 3k + 2 k − 4k +1 k +1> 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ k > 0 .! Vậy! k > 0 !là!giá!trị!cần!tìm.! B4b)3F!Cách!so!sánh!nghiệm!của!PT!bậc!hai!với!một!số!a!cho!trước!thực!hiện!như!sau:! +) x 1 < x 2 < a ⇔ Δ > 0 x 1 −a < 0 x 2 −a < 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ Δ > 0 x 1 + x 2 − 2a < 0 (x 1 −a)(x 2 −a) > 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ; +) x 1 > x 2 > a ⇔ Δ > 0 x 1 −a > 0 x 2 −a > 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ Δ > 0 x 1 + x 2 − 2a > 0 (x 1 −a)(x 2 −a) > 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ; +) x 1 < a < x 2 ⇔ Δ > 0 (x 1 −a)(x 2 −a) < 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ! Bi=).)j\c*)>%d6kF) a) Giải!phương!trình! 3 x 2 .4 x 2 x−1 = 12 .!! b) Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!hàm!số! y = x + x 2 − 2 x + 2 .!! a) Điều!kiện:! x ≠ 1 2 .! Phương!trình!tương!đương!với:! ! log 3 3 x 2 .4 x 2x−1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = log 3 12 ⇔ x 2 + x 2x −1 log 3 4 =1+ log 3 4 ⇔ x 2 −1+ 1− x 2x −1 log 3 4 = 0 ⇔ (x −1) (x +1)(2x −1)−log 3 4 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = 0 ⇔ (x − 1) 2x 2 + x − 1−log 3 4 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = 0 ⇔ x =1 2x 2 + x − 1−log 3 4 = 0 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⇔ x =1 x = −1± 8+ 8log 3 4 4 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! 3! Vậy!phương!trình!có!ba!nghiệm!là! x =1;x = −1± 8+ 8log 3 4 4 .! B4b)3F!Phương!pháp!logarit!hoá!hai!vế!của!phương!trình!! qU%)#;@)#<x&1)#y)m!Giải!phương!trình! 3 x 2 .2 x 2 x−1 = 6 .!Đ/s:! x =1;x = −1± 9+ 8log 3 2 4 .!!!!! b) B4b)3F)Với!hàm!số!có!chứa!dấu!giá!trị!tuyệt!đối!ta!tìm!cách!phá!dấu!trị!tuyệt!đối!trước!tiên.! +)!Nếu! x >1 ⇒ y ≥ x >1 .! +)!Nếu! −1≤ x ≤ 0 ⇒ y = − x − x 2 − 2 x + 2 = −2x 2 − 2x + 2 x + 2 = −x(2x + 3) x + 2 +1≥1 .! Dấu!bằng!đạt!tại! x = 0 .!!!! +)!Với! 0 ≤ x ≤1⇒ y = x − x 2 − 2 x + 2 = 2x + 2 x + 2 = x x + 2 +1 ≥1 .!! Dấu!bằng!đạt!tại! x = 0 .!!!! Vậy! y ≥1 !.!Dấu!bằng!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi! x = 0 .!! HC#)$=;&()Vậy! y min = y(0) =1 .!!! qU%)#;@)#<x&1)#y)m!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!hàm!số! y = x + 2 x 2 −1 x − 2 .!Đ/s:! y min = y(0) = y(±1) = 1 .!!! Bi=)7)j\c*)>%d6kF!Tính!tích!phân! I = cos 3 x cos 4 x −3cos 2 x + 3 dx 0 π 2 ∫ .!! Đặt! t = sin x ⇒ dt = cos xdx .! Ta!có:! I = 1−t 2 (1−t 2 ) 2 −3(1−t 2 ) + 3 dt 0 1 ∫ = 1−t 2 t 4 + t 2 +1 dt 0 1 ∫ .! Xét!nguyên!hàm!! 1−t 2 t 4 + t 2 +1 dt ∫ = 1 t 2 −1 t 2 + 1 t 2 +1 dt ∫ = d −t − 1 t ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ −t − 1 t ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 −1 ∫ = 1 2 ln −t − 1 t −1 −t − 1 t +1 + c = 1 2 ln t 2 + t +1 t 2 −t +1 + c .! Vì!vậy! I = 1 2 ln t 2 + t +1 t 2 − t +1 1 0 = 1 2 ln 3 .!!! B4b)3F!Khi!tính!tích!phân!vướng!cận!không!thực!hiện!được!các!phép!chia!có!thể!thực!hiện!tìm! nguyên!hàm!trước!tiên.! qU%)#;@)#<x&1)#y)m!Tính!tích!phân! I = x 2 −1 x 4 − x 2 +1 dx 0 1 ∫ .!Đ/s:! I = 1 2 3 ln 2− 3 2 + 3 .!!! Bi=)l)j\c*)>%d6kF) a) Gọi! x 1 ,x 2 !là!hai!nghiệm!phức!của!phương!trình! 2x 2 − 2x +1 = 0 .!Tính! A = 1 x 1 2 − 1 x 2 2 .!!! b) Cho!tập! X = 0,1,3,4,5 { } .!Hỏi!từ!X!có!thể!lập!được!bao!nhiêu!số!tự!nhiên!gồm!5!chữ!số!và!chia! hết!cho!4?!! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! 4! a) Phương!trình!tương!đương!với:!! ! 4x 2 − 4x + 2 = 0 ⇔ (2x −1) 2 = i 2 ⇔ x = 1+ i 2 x = 1− i 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ .! Suy!ra! A = 1 1+ i 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 − 1 1−i 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 = 4 2i − 4 −2i = 4 i = −4i = 4 .!!! b) Giả!sử!số!cần!tìm!là! abcde .! +)!Từ!X!lập!được!các!số!chia!hết!cho!4!khi!hai!chữ!số!tận!!cùng! de !chia!hết!cho!4!nên!chỉ!có!thể!là! 00;04;40!và!44.!Vậy! de !có!4!cách!chọn.! +)!a!có!4!cách!chọn.! +)!b,c!mỗi!số!có!5!cách!chọn.! Vậy!tất!cả!có! 4.4.5.5 = 400 số.!!! B4b)3(!Một!số!tự!nhiên!chia!hết!cho!4!khi!hai!chữ!số!cuối!chia!hết!cho!4.! qU%)#;@)#<x&1)#y)m!Cho!tập! X = 0,1,2,3,4,5 { } .!Hỏi!từ!X!có!thể!lập!được!bao!nhiêu!số!tự!nhiên!gồm!5! chữ!số!và!chia!hết!cho!4?!!Đ/s:! 5.9.6.6 = 1620 !số.!! Bi=)^)j\c*)>%d6kF)Cho!hình!hộp!ABCD.A’B’C’D’!có!đáy!ABCD!là!hình!chữ!nhật, AB = 2a ,! BC = a .! Gọi!O!là!giao!điểm!của!AC!và!BD,!M!là!một!điểm!thuộc!cạnh!AD.!Góc!giữa!cạnh!bên!và!mặt!đáy! bằng! 60 0 !và! A'O ⊥ (ABCD ) .!Tính!thể!tích!khối!tứ!diện!A’AOB!và!khoảng!cách!từ!điểm!M!đến!mặt! phẳng!(A’BC).!!!!! ! +)!Góc!giữa!AA’!và!mặt!đáy!(ABCD)!là!góc! A' AO ! = 60 0 .! Độ!dài! AO = AC 2 = 4a 2 + a 2 2 = a 5 2 ⇒ A 'O = AO tan 60 0 = a 15 2 .! S AOB = 1 4 S ABCD = 2a.a 4 = a 2 2 ⇒V A'.AOB = 1 3 A'O.S OAB = 1 3 . a 15 2 . a 2 2 = a 3 15 12 .! +)!Vì!AD//BC!nên!AD//(A’BC)!suy!ra:! d (M ;(A' BC )) = d(AD;(A' BC )) = d (A;(A' BC )) = 2d(O;(A' BC )) .! Hạ!OE!vuông!góc!với!BC!tại!E!suy!ra! BC ⊥ (A'OE ),OE = a .! Hạ!OK!vuông!góc!với!A’E!suy!ra! OK ⊥ (A' BC ) .! Tam!giác!vuông!A’OE!có! 1 OK 2 = 1 OE 2 + 1 OA' 2 = 1 a 2 + 4 15a 2 ⇒ OK = a 15 19 .! Vậy! d (M ;(A ' BC )) = 2a 15 19 .!!!!!!!!! Bi=)-)j\c*)>%d6kF)Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!đường!thẳng! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! 5! d 1 : x −1 1 = y −1 2 = z −1 2 ;d 2 : x −1 = y +1 −2 = z −3 2 .!Tìm!toạ!độ!giao!điểm!I!của! d 1 ,d 2 .!Viết!phương!trình! đường!thẳng!d!đi!qua!điểm!M(0;w1;2)!và!cắt d 1 ,d 2 lần!lượt!tại!A,B!khác!I!sao!cho! AI = AB .!!!!! +)!Toạ!độ!điểm!I!là!nghiệm!của!hệ! x −1 1 = y −1 2 = z −1 2 x −1 = y +1 −2 = z −3 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ x =1 y = 1 z = 1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ I (1;1;1) .! +)!Lấy!điểm! A 1 (2;3;3) ∈ d 1 ,B 1 (−t;−1− 2t;3+ 2t ) ∈ d 2 (B 1 ≠ I )|A 1 I = A 1 B 1 .! Ta!có!phương!trình:! 1 2 + 2 2 + 2 2 = (−t −2) 2 + (−4− 2t ) 2 + (2t ) 2 ⇔ 9t 2 + 20t +11= 0 ⇔ t = −1 t = − 11 9 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⇒ B 1 (1;1;1)(l ) B 1 11 9 ; 13 9 ; 5 9 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ (t / m) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ .! +)!Với! B 1 11 9 ; 13 9 ; 5 9 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⇒ A 1 B 1 ! "!!! = −7 9 ; −14 9 ; 22 9 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ //(7;14;−22) .! Theo!định!lý!Talets!đảo!ta!có:! A 1 B 1 AB = A 1 I AI ⇒ AB //A 1 B 1 ⇒ d / /A 1 B 1 .! Vậy!d!nhận!véc!tơ!(7;14;w22)!làm!véc!tơ!chỉ!phương,!suy!ra! d : x 7 = y +1 14 = z −2 −22 .!!!! BH=),)IJK*)>%L6MF)Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!chữ!nhật!ABCD!có!B(w1;5).!Gọi! E 3 5 ; 9 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ là!hình!chiếu!vuông!góc!của!A!trên!BD,! G 1; 19 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ !là!điểm!thuộc!đoạn!CD!thoả!mãn! ECD ! = CBG ! .!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!hình!chữ!nhật!ABCD!biết!C!có!hoành!độ!nguyên.! ! Gọi!F!là!giao!điểm!AE!với!CD.!! Tứ!giác!BEFC!nội!tiếp!( E ! = C ! = 90 0 !)!nên! BEC ! = BFC ! .! Theo!giả!thiết!có:! ECD ! = CBG ! ! Nên! BHE ! = BCF ! = 90 0 ⇒ BG ⊥ CE .! Đường!thẳng!BG!có!phương!trình:! x + 8y − 39 = 0 .!! Đường!thẳng!CE!đi!qua!E!và!vuông!góc!với!BG!có!phương! trình!là! 8x − y − 3 = 0 .!! Gọi! C (c;8c −3) ∈CE ⇒ CB ! "! = (−1− c;8−8c ) CG ! "!! = (1− c; 31 4 −8c ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ .! Do!CG!vuông!góc!với!CB!nên!! CB ! "! .CG ! "!! = 0 ⇔ (−1− c )(1− c ) + (8−8c )( 31 4 −8c ) = 0 ⇔ 65c 2 −126c + 61= 0 ⇔ c = 1(t / m) c = 61 65 (l ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ .! Vì!vậy!C(1;5).!Đường!thẳng!CD!đi!qua!C,G!nên!có!phương!trình! x −1 = 0 .! Đường!thẳng!BD!đi!qua!B,E!nên!có!phương!trình!là! 2x + y − 3 = 0 .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! 6! Toạ!độ!điểm!D!là!nghiệm!của!hệ:! x −1= 0 2x + y −3 = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ x =1 y =1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ D(1;1) .! Vì! AB ! "!! = DC ! "!! ⇒ A(−1;1) .!!! NC#)$=;&()Vậy!toạ!độ!bốn!điểm!cần!tìm!là!! A(−1;1),B(−1;5),C (1;5),D (1;1) .! BH=)O)IJK*)>%L6MF)Giải!hệ!phương!trình (x − y−1) 2(3− y 2 ) = −xy + 2 y 5− x 2 = x − y − 4 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ (x, y ∈ !) .! Điều!kiện:! x ≤ 5; y ≤ 3 .! B4P)3F)Thử!các!giá!trị!đặc!biệt!có!nghiệm! x = 2; y = −1 .!!! Khi!đó! x − y −1 = 2(3− y 2 ) = 2;−y = 5− x 2 = 1 .! Sử!dụng!bất!đẳng!thức!cơ!bản!dạng:! ab ≤ a 2 + b 2 2 ta!có:!!! (x − y−1) 2(3− y 2 ) ≤ (x − y−1) 2 + 2(3− y 2 ) 2 ;−y 5− x 2 ≤ y 2 + 5− x 2 2 .! Suy!ra! ! (x − y−1) 2(3− y 2 ) − y 5− x 2 ≤ (x − y−1) 2 + 2(3− y 2 ) 2 + y 2 + 5− x 2 2 = −xy + x − y + 6 (1) .! Trừ!theo!vế!hai!phương!trình!của!hệ!ta!được:! (x − y−1) 2(3− y 2 ) − y 5− x 2 = −xy + x − y + 6 (2) .! Từ!(1)!và!(2)!suy!ra!dấu!bằng!xảy!ra! ⇔ −y = 5− x 2 x − y −1 = 2(3− y 2 ) (x − y−1) 2(3− y 2 ) = −xy + 2 y 5− x 2 = x − y − 4 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ x = 2 y = −1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ .! Vậy!hệ!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất! (x; y) = (2;−1) .!!!! Q4;&)RS#(!Cơ!sở!là!tìm!được!trước!nghiệm!để!ghép!cặp!đánh!giá:!Ta!có!thể!thực!hiện!bằng!cách! tương!tự!sau:! Phương!trình!đầu!của!hệ!tương!đương!với:! ! (x − y−1− 2(3− y 2 )) 2 = x 2 − y 2 − 2x + 2y + 3 ⇒ x 2 − y 2 − 2x + 2y + 3 ≥ 0 .! Phương!trình!thứ!hai!của!hệ!tương!đương!với:! ! ( y + 5− x 2 ) 2 = −x 2 + y 2 + 2x − 2y −3 ⇒ −x 2 + y 2 + 2x − 2y −3≥ 0 .! Vì!vậy! −x 2 + y 2 + 2x − 2 y −3 = 0 .! Vậy!ta!có!hệ! x − y −1 = 2(3− y 2 ) y = − 5− x 2 −x 2 + y 2 + 2x − 2y −3 = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ x = 2 y = −1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ .! TU%)#;@)#<V&1)#W)X) Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! 7! TU%):Y)*J(!Giải!hệ!phương!trình! y(12− x 2 ) = x + y −3 x 12− y =15− x − y ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ .!Đ/s:! (x; y) = (3;3) .!!! TU%):Y)*.(!Giải!hệ!phương!trình! (x + y +1) 2(3− y 2 ) = xy + 6 y 5− x 2 = x + y ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ .!Đ/s:! (x; y) = (2;−1) .!!! TU%):Y)*7(!Giải!hệ!phương!trình! 3 2− x 2 . 5 + y 2 = xy +7 (x + y −1) 8x 2 − y 2 = y 2 2 − x − y + 5 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ .!Đ/s:! (x; y) = (2;1) .!!! BH=)+)IJK*)>%L6MF!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!không!âm!thoả!mãn! max x − y ; y− z ; z − x { } ≤ 2 !và! xy + yz + zx = 2 .!Tìm!giá!trị!lớn!nhất!của!biểu!thức!! P = ( x − y +1)( y − z +1)( z − x +1)− x 2 + y 2 + z 2 .! Không!mất!tính!tổng!quát!giả!sử! x ≥ y ≥ z !khi!đó! max x − y ; y− z ; z − x { } = x − z .! ! P = (x − y +1)( y − z +1)(x − z +1)− x 2 + y 2 + z 2 .!! Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có:! ! (x − y +1)(y − z +1) ≤ x − z + 2 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 .! ! 3 2 (x − z) 2 = (x − z ) 2 + 1 2 (x − y) + ( y − z) ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 2 ≤ (x − z ) 2 + (x − y) 2 + (z − x ) 2 = 2(x 2 + y 2 + z 2 )− 4 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 ≥ 3(x − z ) 2 + 8 4 .!! Suy!ra:! P ≤ (x − z +1) x − z + 2 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 − 1 2 3(x −z ) 2 + 8 .!! Đặt! t = x − z (0 < t ≤ 2) !khi!đó! P ≤ 1 4 (t +1)(t + 2) 2 − 3t 2 + 8 2 .! Xét!hàm!số! f (t) = 1 4 (t +1)(t + 2) 2 − 3t 2 + 8 2 trên! 0;2 ( ⎤ ⎦ ⎥ ta!có:! ! f '(t) = 3t 2 +10t + 8 4 − 3t 3t 2 + 8 = (3t 2 +10t + 8) 3t 2 + 8 −3t 4 3t 2 + 8 > 8 8 − 3.2 4 3t 2 + 8 > 0 .! Vì!vậy!f(t)!là!hàm!số!đồng!biến!trên! 0;2 ( ⎤ ⎦ ⎥ .!Suy!ra! P ≤ f (t) ≤ f (2) = 12− 5 .!!!!! Dấu!bằng!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi! xy + yz + zx = 2 x − y = y − z x − z = 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ x = 2 y = 1 z = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ .! Vậy!giá!trị!lớn!nhất!của!P!bằng! 12− 5 .!!! !! !!!!! !! . 2 !và! xy + yz + zx = 2 .!!Tìm!giá!trị!lớn!nhất!của!biểu!thức! P = ( x − y +1)( y − z +1)( z − x +1)− x 2 + y 2 + z 2 .! mmm!nLmmm) Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam. } .!Hỏi!từ!X!có!thể!lập!được!bao!nhiêu!số!tự!nhiên!gồm!5!chữ!số !và! chia! hết!cho!4?!! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! 4! a). 1−log 3 4 = 0 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⇔ x =1 x = −1± 8+ 8log 3 4 4 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! 3! Vậy!phương!trình!có!ba!nghiệm!là!