Trờng THPT Cao bá quát Đề thi học sinh giỏi Môn : toán lớp 10 Năm học 2009-2010 **** Bài 1: Cho bất phơng trình: (1) 2 9x 2 x 7mx 9x 2 x 4)x(9m + ++ + ( m là tham số) a. Giải bất phơng trình với m = 28. b. Tìm m để bất phơng trình (1) có nghiệm. Bài 2: Giải hệ phơng trình sau: =+++ =+++ +++ 2009 2008 20092x12x12x1 2009 2010 20092x12x12x1 200921 200921 Bài 3: Cho đờng tròn có bán kính cố định bằng R 0 , tam giác ABC nội tiếp đờng tròn đó. Gọi m a , m b , m c lần lợt là độ dài đờng trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức c m Csin b m Bsin a m Asin P ++= Bài 4:Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn bán kính R. a. Chứng minh rằng: các đờng thẳng đi qua trung điểm mỗi cạnh và vuông góc với cạnh đối diện cắt nhau ở một điểm ( điểm đó gọi là M). b. Chứng minh: MA 2 +MB 2 + MC 2 + MD 2 = 4R 2 Trờng THPT Cao bá quát Đáp án đề thi học sinh giỏi Môn: Toán- lớp 10 Năm 2009-2010 *** Bài 1: (5 điểm) a. (3 điểm) TXD: R +) x = 0 không là nghiệm của pt. 2 1 x 9 x 7m 1 x 9 x 4)(9m )1( + ++ + Đặt t = x 9 x + , 6t (1 điểm) +) Với m = 28: (1) trở thành: t 2 30t + 225 0 t = 15 (1 điểm) +) Bpt có hai nghiệm: 18915x = và 18915x += (1 điểm) b. ( 2 điểm) (1) trở thành: f(t) = t 2 ( m + 2)t + 8m + 1 0 (2) +) Để ( 1) có nghiệm x R thì (2) phải có nghiệm t ( ] [ ) + ,66 , . (0,5 điểm) +) Tìm m để (2) vô nghiệm ,28 14 49 m (1 điểm) +) KL: Bpt có nghiệm [ ) + ,28 14 49 ,m (0,5 điểm) Bài 2 ( 5điểm) +) Hệ pt đã cho =+++ =+++ +++ 2009.20082x12x12x1 2010.20092x12x12x1 200921 200921 Trong hệ trục toạ độ, xét các vectơ += ii i x21;x21a với 091,2, ,20=i có 2a = i ( 1 điểm ) và 22009 2009 1 a = =i i (1) (1 điểm) +) Mặt khác: = +++++++++= 2009 21200921 2009 1 2x1 2x12x1;2x1 2x12x1a i i và 22009 2009 1 a = = i i (2) ( 1 điểm) +) Từ (1) và (2) suy ra: các vectơ i a cùng hớng, 091,2, ,20=i Mà 2a = i , 091,2, ,20=i a 2 a 1 a 2009 === (1 điểm) ==== ==== +++ 2009 2008 2x12x12x1 2009 2010 2x12x12x1 200921 200921 KL: Nghiệm của hệ pt là 4018 1 200921 xxx ==== ( 1 điểm ) Bài 3 : ( 5điểm ) +) áp dụng định lí Sin ta có : (1) c 2m c b 2m b a 2m a R 1 P 0 ++= ( 1 điểm) +) Mặt khác: ) 2 c 2 b 2 a(2 2 a3 2 a m4 4 2 a 2 2 c 2 b 2 a m ++=+ + = Theo BĐT Cô si: a m a 34 2 a3 2 a m4 + ( 1 điểm) +) Suy ra 2 c 2 b 2 a 2 a3 a 2m a ++ , Tơng tự: 2 c 2 b 2 a 2 b3 b 2m b ++ , 2 c 2 b 2 a 2 c3 c 2m c ++ (1 điểm) +) Thay vào (1): 0 R 3 P ( 1 điểm) +) KL: Giá trị nhỏ nhất của 0 R 3 P = khi ABC đều. ( 1 điểm) Bài 4: ( 5 điểm) a. ( 2 điểm) Gọi I, J, K, L lần lợt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. +) Chứng minh tứ giác OJML là hình bình hành Suy ra 2 đờng chéo OM và JLcắt nhau tại trung điểm G của mỗi đờng. Chứng minh tứ giác IJKL là hình bình hành Suy ra 2 đờng chéo IK và JL cắt nhau tại trung điểm G ( 1điểm) +) Suy ra tứ giác OIMK là hình bình hành, mà ABKM ABOI . Tơng tự: CDIM CDOK (đpcm) ( 1điểm) b. (3 điểm) +) áp dụng hệ thức lợng trong tam giác MAB và MCD ta có: 2 2 CD 2 2MK 2 MD 2 MC , 2 2 AB 2 2MI 2 MB 2 MA +=++=+ Suy ra 2 2 CD 2 2 AB ) 2 MK 2 2(MI 2 MD 2 MC 2 MB 2 MA +++=+++ (1) ( 1điểm) +) Do MI = OK, MK =OI, áp dụng hệ thức lợng trong tam giác OAB và OCD: 2 2 AB 2 2R 2 OI2 2 2 AB 2 OI2 2 OB 2 OA 2 2R =+=+= 2 2 CD 2 2R 2 OK2 2 2 CD 2 OK2 2 OD 2 OC 2 2R =+=+= ( 1điểm) +) Thay vào (1) ta đợc MA 2 +MB 2 + MC 2 + MD 2 = 4R 2 . ( 1điểm) . Trờng THPT Cao bá quát Đề thi học sinh giỏi Môn : toán lớp 10 Năm học 2009-2 010 **** Bài 1: Cho bất phơng trình: (1) 2 9x 2 x 7mx 9x 2 x 4)x(9m + ++ + . M). b. Chứng minh: MA 2 +MB 2 + MC 2 + MD 2 = 4R 2 Trờng THPT Cao bá quát Đáp án đề thi học sinh giỏi Môn: Toán- lớp 10 Năm 2009-2 010 *** Bài 1: (5 điểm) a. (3 điểm) TXD: R +) x = 0 không là. trình sau: =+++ =+++ +++ 2009 2008 20092x12x12x1 2009 2 010 20092x12x12x1 200921 200921 Bài 3: Cho đờng tròn có bán kính cố định bằng R 0 , tam giác ABC nội tiếp đờng tròn đó. Gọi