SỞ GD-ĐT THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN KHẢO SÁT CHẤT L Ư ỢNG THI THPT QUỐC GIA Năm học 2014 – 2015 Môn thi: TOÁN HỌC Th ời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đ ề thi gồm 01 trang) Câu 1 . (2,0 đi ểm) Cho hàm s ố 4 2 8 4y x x    . a. Khảo sát và vẽ đồ thị   C của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến của   C , biết hoành độ của tiếp điểm là nghiệm của phương trình   '' 13.y x  Câu 2. (1,0 điểm) a. Giải phương trình 2 1 sin cos 2 sin cos . 2 x x x x              b. Cho số phức 3 2z i  . Xác định phần thực và phần ảo của .w iz z   Câu 3. (0,5 điểm) Giải bất phương trình 2 1 3 3 6log 5log 4 0.x x   Câu 4. (1,0 điểm) Giải bất phương trình   4 3 3 2 2 2 1 . 2 2 x x x x x x x x         Câu 5. (1,0 điểm) Tính tích phân 4 2 0 2 4 1 2 1 x x I dx x      . Câu 6. (1,0 đi ểm) Cho hình chó p .S ABCD có ABCD là hình thang cân v ới hai đáy l à BC và AD . Biết 2SB a , 2 ,AD a AB BC CD a    và hình chiếu vuông góc của điểm S xuống mặt ph ẳng   ABCD trùng v ới tru ng đi ểm c ạnh .AD Tính theo a th ể tích khối chó p .S ABCD và khoả ng cá ch gi ữa hai đường thẳng SB và AD . Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn       2 2 : 2 2 4T x y    và đường thẳng :3 10 0.x y     Vi ết ph ương tr ình đư ờng tr òn   C bi ết tâm I của   C có hoành đ ộ âm và nằm tr ên đường thẳng : 0,d x y    C ti ếp xúc với  và cắt   T t ại ,A B sao cho 2 2AB  . Câu 8. (1,0 điểm) Trong không gian , Oxyz cho điểm   1;2; 2 I  và mặt phẳng   P có phương trình   : 2 2 5 0P x y z    . Hãy vi ết phương tr ình mặt cầu   S có tâm I sao cho giao tuyến của mặt cầu   S và mặt phẳng   P là một đường tròn có chu vi bằng 8 . Câu 9. (0,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho các điểm         2,0 , 2,2 , 4,2 , 4,0A B C D  . Xét các điểm có tọa độ   ;x y với ,x y là các số nguyên, nằm trong hình chữ nhật ABCD (kể cả các điểm nằm trên các cạnh). Trong các điểm đó, chọn ngẫu nhiên một điểm. Tính xác suất để điểm được chọn có tọa độ   ;x y thỏa 2.x y  Câu 10. (1,0 điểm) Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 2 2 .ac b bc  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 . 4 4 a b b c P a b ab b b c bc c         GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk ĐÁP ÁN TOÁN THPT 2014-2015 Câu Ý Nội dung Điểm 1 a Học sinh khảo sát và vẽ đúng đồ thị hàm số 1,0 b     3 2 1 ' 4 16 ; '' 12 16 13 2 y x x x y x x x          0,5 1 2 x   phương trình tiếp tuyến: 15 93 2 16 y x  0,25 1 2 x    phương trình tiếp tuyến: 15 93 . 2 16 y x   0,25 2 a Biến đổi phương trình như sau          1 sin cos 2sin cos 1 2 1 sin cos 1 sin 0 1 sin cos 2 0 x x x x x x x x x              0,25 Vì cos 1x  nên phương trình có nghiệm 2 2 x k     . 0,25 b     3 2 3 2 1w i i i i      0,25 Re 1, Im 1.w w   0,25 3 ĐK: 0.x  Biến đổi bất phương trình 2 3 3 6log 10log 4 0 x x      * 0,25 Đặt   2 3 1 log * : 6 10 4 0 2 3 t x t t t          Suy ra tập nghiệm bất phương trình 3 1 ; 3 . 9 S          0,25 4 Điều kiện 0.x  Biến đổi bất phương trình                3 3 3 2 2 1 1 1 * 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x            0,25 Đặt     3 2 1 t f t t t     , ta có     4 2 2 2 3 ' 0, 1 t t f t t t        Hơn nữa   f t liên tục trên  , nên đồng biến trên  0,5 Vậy       3 5 * : 1 1 0; . 2 f x f x x x x                   0,25 5 Đặt 2 1 2 1 2 t t x x dx tdt        0,5 3 3 4 5 3 2 1 1 1 478 . 2 2 10 3 2 15 t t t t I t dt                               0,5 6 Gọi M là trung điểm AD , theo giả thiết   SM ABCD . Tứ giác MBCD là hình bình hành nên ,MB a do đó .SM a 0,25 Ta có MC a nên tam giác MBC đều, do đó     2 3 3 3 4 a dt ABCD dt MBC      3 1 3 . . . 3 4 a V SM dt ABCD  0,25 Gọi K là trung điểm ,BC H là hình chiếu của M lên .SK Do 2SC SB a  nên tam giác SBC cân tại S , do đó     BC MK BC MH BC SMK MH SBC BC SK SK MH                        0,25 GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk Tam giác MBC đều cạnh bằng a nên 3 , 2 a MK  do đó       2 2 . 21 , , . 7 SM KM a d SB AD d AD SBC MH SM KM      0,25 7 Đường tròn   T có tâm   2;2 , K bán kính 2;r  Gọi   ; ,I t t bán kính của đường tròn   C là   4 10 , 10 t R d I     0,25 Ta có       2 2 2 2 2 5 8 , 2 2 5 5 5 5 t d I AB R t t         và     , 2; 2 2 2 2 d K AB IK t t     (do 0t  ) 0,25 TH1. ,I K khác phía đối với :AB               2 2 2 2 1 , , 2 5 5 1 5 2 10 5 : 5 2 10 5 2 10 8 3 10 . d I AB d K AB IK t t t t C x y                    0,25 TH2. ,I K cùng phía đối với :AB         2 1 , , 2 5 5 1 2 * 5 d I AB d K AB IK t t t           * không có nghiệm âm         2 2 2 : 5 2 10 5 2 10 8 3 10 C x y       0,25 8 Đường tròn giao tuyến của   S và   P có 4;r      , 3 d I P  . 0,5 Bán kính mặt cầu là     2 2 , 5 R r d I P    Vậy phương trình         2 2 2 : 1 2 2 25. S x y z      0,5 9 Không gian mẫu     ; | , , 2 4,0 2 x y x y x y         0,25                         , | 2 2;0 ; 2;1 ; 2;2 ; 1;0 ; 1;1 ; 1;2 ; 0;0 ; 0;1 ; 1;0 A x y x y             Suy ra       9 3 . 21 7 n A P A n     0,25 10 Đặt , , 0, 2 a b x y x y x y b c       Ta có     2 2 2 2 2 1 2 1 4 4 x y P f x f y x x y y           Trong đó   2 2 2 1 4 t f t t t     với   0;2 . t  0,25                    2 2 2 2 2 4 2 1 1 13 16 1 104 29 3 29 3 1 8 2 16 2 2 8 16 8 29 3 1 . 16 2 t t t t t f t t t t t t t t t                      0,5 Vậy       29 2 3 3 16 P f x f y x y        Nên min 3P  khi 1 .x y a b c     0,25 GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk Chú ý. H ọc sinh có th ể sử dụng tọa độ đ ể giải b ài toán 6 như sau Chọn hệ trục tọa độ   ; , ,M MK MD MS    khi đó     3 ; ;0 , 0; ;0 , 0;0; 2 2 a a C D a S a             ,     3 ; ;0 , 0; ;0 , 0;0; 2 2 a a MC MD a MS a                    3 . 1 3 3 , . 2 4 S MCD a V V MC MD MS             -Ta có     3 3 0; ;0 , ; ;0 0;2 ;0 , ; ; 2 2 2 2 a a a a A a B AD a SB a                                  Vậy   , . 21 , . 7 , AD SB MS a d AD SB AD SB                    GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk . NẴNG TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN KHẢO SÁT CHẤT L Ư ỢNG THI THPT QUỐC GIA Năm học 2014 – 2015 Môn thi: TOÁN HỌC Th ời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đ ề thi gồm 01.        GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk ĐÁP ÁN TOÁN THPT 2014- 2015 Câu Ý Nội dung Điểm 1 a Học sinh khảo sát và vẽ đúng đồ thị hàm số 1,0 b. Trong không gian , Oxyz cho điểm   1;2; 2 I  và mặt phẳng   P có phương trình   : 2 2 5 0P x y z    . Hãy vi ết phương tr ình mặt cầu   S có tâm I sao cho giao tuyến