UBND HUYỆN LONG PHÚ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2014-2015 Khóa ngày 18/01/2015 MÔN THI: TOÁN LỚP 8 (Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi này có 01 trang Bài 1: (4,0 điểm). a) Cho x y z 2 3 4 = = . Tìm giá trị của biểu thức : y + z - x M= x - y + z b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 f(x) = - x 5x + 3 + Bài 2: (6,0 điểm). a) Tìm x, biết rằng: 1 1 1 0,75x +4 4 + : = 11.13 13.15 19.21 x 231   + +  ÷   b) Rút gọn biểu thức sau đây: 2 2 2 2 1 x 1 + x + 1 x + x 1 x + x C = 1+ x 1 - x - 1 x + x 1 - x + x − − + + Bài 3: (2,0 điểm). Trong một trường có ba lớp 7 . Biết rằng 2/3 số học sinh lớp 7A bằng 3/4 số học sinh lớp 7B và bằng 4/5 số học sinh lớp 7C. Lớp 7 C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của hai lớp kia là 57 bạn . Tính số học sinh mỗi lớp. Bài 4: (4,0 điểm). Cho tam giác ABC, các đường cao AK và BD cắt nhau tại G. Vẽ đường trung trực HE, HF của AC và BC. Chứng minh rằng : BG = 2HE và AG = 2HF Bài 5: (4,0 điểm). Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC. a) Chứng minh rằng EI // CD; FI // AB b) Chứng minh hệ thức AB + CD EF 2 ≤ c) Từ hệ thức trên, suy ra rằng dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình thang. Hết Họ tên thí sinh:……………………………………………………… Số báo danh:…… Chữ ký của giám thị 1:……………… Chữ ký của giám thị 2:………………………… UBND HUYỆN LONG PHÚ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2014-2015 Khóa ngày 18/01/2015 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: Toán lớp 8 Bài 1: (4,0 điểm) a) (2,0 điểm) Đặt x y z = k 0 2 3 4 = = ≠ (0,5 điểm) x = 2k , y = 3k, z = 4k ⇒ (0,5 điểm) Khi đó: y + z - x 3k + 4k - 2k M = = x - y + z 2k - 3k + 4k (0,5 điểm) 5k 5 M = = 3k 3 (0,5 điểm) b) (2,0 điểm) 2 f(x) = - x 5x + 3 + = - ( x 2 - 5x - 3 ) (0,25 điểm) = - (x 2 – 2. 5 2 .x + 25 37 - 4 4 ) (0,5 điểm) 2 5 37 x - - 2 4     = −    ÷       (0,5 điểm) 2 5 37 - x - + 2 4   =  ÷   (0,25 điểm) Do 2 2 5 5 - x - 0 nên - x - 2 2     ≤  ÷  ÷     lớn nhất là 0 khi 5 x = 2 (0,25 điểm) Vậy f (x) có giá trị lớn nhất là 37 4 (0,25 điểm) Bài 2: (6,0 điểm) a) (3,0 điểm) Ta có: 1 1 1 + + 11.13 13.15 19.21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = - + + + 2 11 13 2 13 15 2 19 21       − −  ÷  ÷  ÷       (0,5 điểm) 1 1 1 1 1 1 1 + + 2 11 13 13 15 19 21   = − + − −  ÷   (0,25 điểm) 1 1 1 2 11 21   = −  ÷   (0,25 điểm) Do đó: 1 1 1 0,75x + 4 4 : = 2 11 21 x 231   −  ÷   1 1 0,75x + 4 8 : = 11 21 x 231   ⇔ −  ÷   (0,25 điểm) 10 0,75x + 4 8 : = 231 x 231 ⇔ (0,25 điểm) 0,75x + 4 10 8 10 5 = : = = = 1,25 x 231 231 8 4 ⇔ (0,5 điểm) 0,75x + 4 = 1,25x ⇒ (0,5 điểm) 0,5x = 4⇔ (0,25 điểm) x = 8 ⇔ (0,25 điểm) b) (3,0 điểm) Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 2 2 1 - x 1 + x 1 - x + 1 +x 2 + = = 1 - x + x 1 x + x 1 - x + x 1 + x + x 1 - x + x 1 + x + x + ( 1 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 + x 1 - x 1 + x - 1 +x 2x - = = 1 + x + x 1 - x + x 1 + x + x 1 - x + x 1 + x + x 1 - x + x ( 1 điểm) Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 2 2 1- x + x 1 + x + x 2 1 C = = = 2x 2x x 1 + x + x 1 - x + x ( 1 điểm) Bài 3: (2,0 điểm). Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh của các lớp 7A, 7B, 7C (x, y, z * N ∈ ). (0,25 điểm) Theo đề bài ta có: 2 3 4 x = y = z 3 4 5 (0,2 5 điểm) x y z x + y - z 57 = = = = = 36 3 4 5 3 4 5 19 - 2 3 4 2 3 4 12 ⇒ + (1 điểm) - Lớp 7A có 3 36 . = 54 2 học sinh - Lớp 7B có 4 36 . = 48 3 học sinh (0,5 điểm) - Lớp 7C 5 36 . = 45 4 học sinh Bài 4: (4,0 điểm). H D K G I F E B A C Chứng minh rằng : BG = 2HE và AG = 2HF Lấy I đối xứng với C qua H, kẻ AI và BI. (0,5 điểm) Ta có HE là đường trung bình của tam giác ACI, nên: HE // IA và HE = IA 2 ( 1) (0,5 điểm) Tương tự, trong tam giác CBI: HF // IB và HF = IB 2 ( 2) (0,5 điểm) Từ BG ⊥ AC và HE ⊥ AC ( gt) Suy ra BG // IA ( 3) (0,5 điểm) Tương tự : AK ⊥ BC và HF ⊥ BC ( gt) Suy ra AG // IB ( 4) (0,5 điểm) Từ ( 3) và ( 4) suy ra BIAG là hình bình hành (0,5 điểm) Do đó: BG = IA và AG = IB. Kết hợp với các kết quả ( 1) và ( 2) (0,5 điểm) Suy ra : BG = 2 HE và AG = 2 HF (0,5 điểm) Bài 5: (4,0 điểm). I F E A B C D a) Chứng minh rằng EI // CD; FI // AB Ta có: EI là đường trung bình của tam giác ACD (0,25 điểm) Suy ra: EI // CD (0,25 điểm) Tương tự, ta có: FI là đường trung bình của tam giác ABC (0,25 điểm) Suy ra: FI // AB (0,25 điểm) b) Chứng minh hệ thức AB + CD EF 2 ≤ Ta có: EI là đường trung bình của tam giác ACD Suy ra: 1 EI = DC 2 ( 1 ) (0,25 điểm) Tương tự : 1 IF = AB 2 ( 2 ) (0,25 điểm) Trong tam giác EIF, theo bất đẳng thức tam giác, ta có: EF EI + IF≤ (0,5 điểm) Suy ra: ( ) 1 EF AB + CD 2 ≤ (0,5 điểm) c) Từ hệ thức trên, suy ra rằng dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình thang. Khi tứ giác ABCD là hình thang thì ba điểm E, I, F thẳng hàng, lúc đó EF = EI + IF (0,25 điểm) Suy ra: AB + CD EF = 2 (0,25 điểm) Ngược lại: nếu ta có AB + CD EF = 2 thì EF = EI + IF (0,25 điểm) Suy ra: ba điểm E, I, F thẳng hàng (0,25 điểm) Do EI // CD và FI // AB mà E, I, F thẳng hàng nên AB // CD (0,25 điểm) Suy ra: tứ giác ABCD là hình thang. (0,25 điểm) * Ghi chú : Thí sinh có thể giải theo cách khác. Nếu đúng vẫn cho trọn số điểm theo qui định của từng bài Hết . ba lớp 7 . Biết rằng 2/3 số học sinh lớp 7A bằng 3/4 số học sinh lớp 7B và bằng 4/5 số học sinh lớp 7C. Lớp 7 C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của hai lớp kia là 57 bạn . Tính số học sinh. PHÚ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2014-2015 Khóa ngày 18/ 01/2015 MÔN THI: TOÁN LỚP 8 (Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi này. 5 19 - 2 3 4 2 3 4 12 ⇒ + (1 điểm) - Lớp 7A có 3 36 . = 54 2 học sinh - Lớp 7B có 4 36 . = 48 3 học sinh (0,5 điểm) - Lớp 7C 5 36 . = 45 4 học sinh Bài 4: (4,0 điểm). H D K G I F E B A C Chứng