Các phương pháp biến đổi trong chứng minh bất đẳng thức 1.Biến đổi tương đương: khi sử dụng phép biến dổi tương đương cần chú ý tới dấu của BĐT khi đảo chiều hay nhân thêm biểu thức Ví dụ:Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện , chứng tỏ rằng : Giải: , bất đẳng thức này đúng do giả thiết Đẳng thức xảy ra 2.Đưa về hàm số: khi đưa về hàm số ta thường sử dụng tính chất đơn điệu và liên tục Ví dụ:Cho các số x, y thỏa mãn : và . Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Giải: Từ giả thiết . Ta có : Đặt với ; có P là hàm nghịch biến trong đoạn ( đạt khi hoặc ). ( đạt khi ). 3.Sử dụng phương pháp đánh giá: đây là PP tương đối khó trong việc Cm BĐT,tùy từng dạng bài mà có cách đánh giá khác nhau.Cần chú ý điều kiện đề bài để có hướng đi phù hợp nhất cho bài toán Ví dụ 1: Cho là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]. Chứng minh rằng: Giải: Do giả thiết (đpcm) Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên ta đều có: Giải: bất đẳng thức cần chứng minh đúng với . Với , đpcm (1) Ta có : ( đpcm). Ví dụ 3: Cho . Chứng minh: Giải: Dấu “ ” xảy ra hoặc 2 trong 3 số bằng 1, số còn lại bằng 0 4.Sử dụng tam thức bậc 2: Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi u, v thỏa mãn điều kiện , ta luôn có: Giải: - Nếu thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng. - Nếu thì với và đpcm Vế trái (1) là tam thức bậc 2 với nên (1) đúng ( đpcm) 5.Phương pháp quy nạp: Ví dụ: Chứng minh rằng với thì Hãy nêu và chứng minh một kết quả tổng quát hơn kết quả của bài toán trên. Giải: Ta sẽ chứng minh kết quả tổng quát sau đây: Với . Chứng minh ( bằng quy nạp toán học theo n): - Với ( do . - Giả sử khẳng định đúng với , ta sẽ chứng minh khẳng định cũng đúng với . Do khẳng định đúng với Vì Mà vế phải bằng Vậy khẳng định đúng với Kỹ thuật chọn điểm rơi trong các bài toán BĐT và cực trị Tác giả: minhbka đưa lên lúc: 14:07:37 Ng y 09-11-2007à Thời gian qua mình đã nhận được nhiều yêu cầu của các bạn hướng dẫn cách làm bài tập về BĐT và cực trị.Đây cũng là mảng kiến thức sâu rộng và tương đối khó.Bài viết này sẽ hướng dẫn các bạn những hướng suy nghĩ và giải quyết các bài tập dạng này thông qua PP chọn "điểm rơi"-tức là những điểm ta dự đoán được để từ đó có hướng giải quyết phù hợp nhất. Ký hiệu sqrt là căn bậc 2 và cbb là căn bậc 3 Ta hãy bắt đầu từ 1 bài toán đơn giản: Bài 1: Cho .Tìm Min của: Giải: Rõ ràng ko thể áp dụng Cosi ngay để vì dấu = xảy ra khi a=1, mâu thuẫn với đk Ta dự đoán từ đề bài rằng P sẽ nhỏ nhất khi a=3 và đây chính là "điểm rơi" của bài toán.Khi a=3 thì và Ta áp dụng Cosi như sau: ta có Khi đó kết hợp với đk ta có Dễ thấy khi a=3 thì .Vậy khi a=3 Bài 2: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR: Giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảyra khi a=b=c=1.Lúc này và 1+b=2.Ta áp dụng Cosi như sau: Tương tự cho 2 BĐT còn lại.Khi đó ta có .Tiếp tục áp dụng Cosi cho 3 số ta có .Thay vào ta có Bài 3: Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1.CMR: P= + + >= Giải: Đầu tiên ta thấy trong căn có dạng nên nghĩ ngay đến sử dụng Bunhi dạng .Ở đây dễ thấy .Vậy còn a và b.Ta sẽ sử dụng PP "điểm rơi". Ta hãy cứ viết và dấu "=" đạt được khi .Ta chú ý tiếp đk x+y+z=1 và "dự đoán" dấu = xảy ra ở bài toán khi .Khi đó ta có 9a=b.Cho a=1 và b=9 ta được ngay: Tương tự cho y và z.Cuối cùng ta sẽ có 1 bài toán đơn giản hơn rất nhiều và chỉ là TH đặc biệt của bài toán 1. Cuối cùng là 1 bài toán mình xin dành lời giải cho các bạn: Bài 4: Cho a,b,c dương và a+b+c=3.Tìm Min: P= + + Sử dụng hằng đẳng thức giải phương trình vô tỉ Tác giả: boy148 đưa lên lúc: 19:00:41 Ng y 05-03-2008à Dạng I)Phương trình dạng Ví dụ 1:Giải phương trình: Phương trình đã cho tương đương với: Giải (1): Giải (2): Ví dụ 2:Giải phương trình: Điều kiện: Phương trình đã cho tương tương với: Giải (1) ta có: x=0. Giải (2) ta có x=1. Dạng II)Phương trình dạng Ví dụ 3:Giải phương trình: Điều kiện Phương trình đã cho tương đương với : Giải (1) x=1. Giải (2) x=0. Ví dụ 4:Giải phương trình: Điều kiện Phương trình đã cho tương đương với: Giải (1) ta có (vô nghiệm) Giải (2) ta có:x=0. Dạng III)Phương trình dạng: Ví dụ 5:Giải phương trình: Phương trình đã cho tương đương với : Dạng IV) Ví dụ 6:Giải phương trình: Điều kiện: Phương trình đã cho tương đương với: Sau đây là một số bài tập áp dụng: Giải phương trình: Bài 1) Bài 2) Bài 3) Bài 4) Bài 5) Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu Tác giả: boy148 đưa lên lúc: 16:57:04 Ng y 20-02-2008à Bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức kinh điển rất quen thuộc với học sinh THPT .Chuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô- Si đó là kĩ thuật Cô-Si ngược dấu. Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng: Bài giải: Ta luôn có : Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1) Hoàn toàn tương tự ta cũng có: (2) (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có: (đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức thì ta phải dùng tới biểu thức Ví dụ 2)Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có: Ta có: Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1) Hoàn toàn tương tự ta cũng có: (2) (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có: Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta đã chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dài thậm chí không giải được ,sau đây là một số bài tập ứng dụng: Bài 1)Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có: Bài 2)Chứng minh rằng với a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có: Bài 3)Cho 3 số và a+b+c=3.Chứng minh rằng: MỘT KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT CÓ ĐIỀU KIỆN Tác giả: nhoanh2006d đưa lên lúc: 15:29:02 Ng y 18-02-2008à [...]... b là 2 799 20-46620=2753100 Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số và chia hết cho 9 số tự Bài làm a.*Số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là *Số tự nhiên lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là Các số tự nhiên chia hết cho 9 là CSC vời công ứoc d =9 theo công thức cấp số cộng: suy ra 99 99= 1008+(n-1 )9 suy ra (n-1) =99 9 suy ra n=1000 Vậy có 1000 số thỏa yêu cầu đề bài b.theo cong thức CSC... bài b a=!0 TH1: Chọn a là 1 trong các số {1,2,4,5,7,8} suy ra a có 6 cách chọn d chia hết cho 3 có 4 cách chọn{0,3,6 ,9} b =!a,d có 8 cách chọn c=!a,b,d có 7 cách chọn e=!a,b,c,d có 6 cách chọn suy ra Th1 có 6.4.8.7.6=8064 số Th2: Chọn a trong các số {3,6 ,9} suy ra có 3 cách chọn a d có 3 cách chọn {0,3,6 ,9} \{a} b=!a,d có 8 cách chọn c=!a,b,d có 7 cách chọn d=!a,b,c có 6 cách chọn vậy Th 2 có 3.3.8.7.6=3024...Chúng ta thường gặp các dạng toán chứng minh BĐT có dạng :Cho ,chứng minh có một kĩ thuật là ta đi chứng minh : Nếu chứng minh được như thế , từ điều kiện ta suy ra được Sau đây là một số ví dụ: Ví dụ 1.Cho ,chứng minh : Giải : Ta có : mà nên nên Ví dụ 2:Cho x,y là các số dương thỏa mãn ,chứng minh rằng : Giai: Ta có : Mà Ví dụ 4:Cho x,y là các số dương thỏa Giải: Ta có : (x,y là các số dương) tương... ko phải GTLN của A .với M thì ko có phần tử nào thuộc (0,1) bằng M vậy M ko phải GTLN của A .Vậy A ko có GTLN .GTNN định nghĩa tương tự CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN,GTNN,CHỨNG MINH BĐT: A.PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ: đây là phương pháp thường dùng nhất để cm các bđt: 1.SỬ DỤNG BĐT THỨC CAUCHY : bđt thường dung nhất *nhận xét bđt Cauchy thuộc loại bđt thuần nhất đối với những bài toán mà cả hai vế có số “phần tử “... b=!a suy ra có 9 cách chọn{0,1,2,3,4 9} \{a} c=!a,b suy ra có 8 cách chọn {0,1,2,3 9} |{a,b} d=!a,b,c suy ra có 7 cách chọn {0,1,2,3 9{ \{a,b,c} Áp dụng qui tắc nhân ta có :9. 9.8.7=4536 số thỏa yêu cầu bài toán Ví dụ 2:Cho các số {0,1,2,3,4,5,6} a.Hỏi có bao nhiêu số tư nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các số kia b.tính tổng các số ở câu a Bài làm a*Chọn 4 trong số 7 số tự nhiên trên {0,1,2 6}... CSC ta có tổng các số này là: S= Ví dụ 4: a.Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số và chia hết cho 3 b.Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và số hàng chục chia hết cho 3 Bài làm gọi số có 5 chữ số là abcde a a=! 0 suy ra có 9 cách chọn{1,2,3 9} b có 10 cách chọn c có 10 cách chọn d có 4 cách chọn {0,3,6 ,9] e có 5 cách chọn {0,2,4,8} Áp dụ qui tắc nhân suy ra có 9. 10.10.4.5=18000... học.Hỏi thày giáo có bao nhiêu cách phát sách bài 16 Trong tập các số tự nhiên có bao nhiên số có 6 chữ số tạo ra từ các số 0,1,2,3,4 ( tất các các số này đều xuất hiện) bài 17 Có 9 học sinh xếp hàng ngang chụp hình .Trong đó có 4 hs A,B,C,D luôn đứng cạnh nhau.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy? bài 18 Có 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp hành 1 hàng ngang.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 6 hs này sao... 2 bài trên ta suy ra Mong phương pháp này sẽ hỗ trợ ,chứng minh rằng : bất đẳng thức tên tuổi | Bài này được '.boy148.' cho '.3.' điểm 1 BĐT Cô-si (AM-GM): Dấu bằng xảy ra khi là các số hữu tỉ dương mà BĐT suy rộng: Cho Cho dãy số không âm 2 BĐT Bunhiacopski:Giả sử Khi đó và là hai dãy số tùy ý Khi đó Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 3 BĐT Svac-xơ: Cho và là hai dãy số, trong đó với Khi đó 4 BĐT... của: 9 Cho 2 số thực dương 10 Cho 2 số thực không âm thỏa mãn Tìm Min của: Tìm Max và Min của biểu thức: 11.Cho 3 số thực dương CMR: thỏa mãn 12 Cho 3 số thực dương =1 CMR: A.BÀI TOÁN VỀ SỐ CÁC CON SỐ VÀ TỔNG CỦA CHÚNG: ví dụ 1: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau GỌi:abcde là cố tự nhiên có 4 chữ số: Bài làm a=! 0 suy ra có 9 cách chọn {1,2,3,4 9} b=!a suy ra có 9 cách... bài 19 Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập bao nhiêu số gồm 10 chữ số trong dó số 6 có mặt đúng 3 lần các chữ số khác có mặt đúng 1 lần Bài 20 Cho 9 chữ số từ 0 >8.Hỏi có thể lập đựoc bao nhiêu số gồm 9 chữ số sao cho số 8 luôn đứng vị trí chính giữa Bài 21 Từ các số 1,2,3,4,5,6 lập đựoc bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho 1,6 không đứng cạnh nhau BẮT ĐẦU NHÉ : Mở đầu bằng 4 bài phương . Các phương pháp biến đổi trong chứng minh bất đẳng thức 1 .Biến đổi tương đương: khi sử dụng phép biến dổi tương đương cần chú ý tới dấu của BĐT khi đảo chiều hay nhân thêm biểu thức Ví. (đpcm) Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên ta đều có: Giải: bất đẳng thức cần chứng minh đúng với . Với , đpcm (1) Ta có : ( đpcm). Ví dụ 3: Cho . Chứng minh: Giải: Dấu. một phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô- Si đó là kĩ thuật Cô-Si ngược dấu. Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3 .Chứng minh rằng: Bài giải: Ta luôn có : Theo bất đẳng thức