TRƯỜ NG ĐẠIHỌCVINH TRƯỜNGTHPTCHUYÊN ĐỀKHẢOSÁTCHẤTLƯỢNGLỚP12,LẦN1 NĂM2014 Môn:TOÁN; Khối:A vàA 1 ; Thờigianlàmbài:180 phút I. PHẦNCHUNGCHOTẤTCẢTHÍSINH(7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Chohàmsố 2 3 . 1 x y x - = - a) Khảosátsựbiếnthiên vàvẽđồthị (H)củ ahàmsố đãcho. b)Tìmmđểđườngthẳng : 3 0d x y m + + = cắt(H)tạihaiđiểmM, Nsaochotamgiác AMN vuôngtại điểm (1; 0).A Câu 2 (1,0 điểm). Giảiphươngtrình sin3 2cos2 3 4sin cos (1 sin ).x x x x x + = + + + Câu3(1,0 điểm). Giải bấtphươngtrình 2 4 1 2 2 3 ( 1)( 2).x x x x + + + £ - - Câu 4 (1,0 điểm). Tính tíchphân 1 2 0 3 2ln(3 1) d . ( 1) x x I x x + + = + ò Câu5(1,0điểm). ChohìnhchópS.ABCD cóđáy ABCD làhìnhchữnhật,mặtbên SAD làtamgiácvuôngtại S, hìnhchiếuvuônggóccủa S lênmặtphẳng(ABCD)làđiểm H thuộccạnh AD saocho 3 .HA HD = Gọi M làtrung điểm củaAB.Biếtrằng 2 3SA a = vàđườngthẳng SC tạovớiđáy mộtgóc 0 30 . Tínhtheo a thểtíchkhốichóp S.ABCD vàkhoảngcáchtừ M đếnmặtphẳng(SBC). Câu6(1,0điểm). Giảsửx,y,zlàcá csốthựckhôngâmt hỏamãn 2 2 2 5( ) 6( ).x y z xy yz zx + + = + + Tìmgiá trịlớnnhấtcủabiểuthức 2 2 2( ) ( ).P x y z y z = + + - + II. PHẦNRIÊNG (3,0 điểm) Thísinhchỉđượclàmmộttronghaiphần(phần a hoặc phần b) a.TheochươngtrìnhChuẩn Câu7.a(1,0 điểm). Trongmặtphẳngvớihệtọađộ ,Oxy chotamgiácABCcó (2;1)M làtrungđiểmcạnh AC, điểm (0; 3)H - làchânđườngcaokẻtừ A,điểm (23; 2)E - thuộcđườngthẳngchứatrungtuyếnkẻtừ C.Tìmtọa độđiểm B biếtđiểm A thuộcđườngthẳng : 2 3 5 0d x y + - = vàđiểm C cóhoànhđộdương. Câu8.a(1,0điểm).Trongkhônggianvớihệtọađộ ,Oxyz chođườngthẳng 2 1 2 : 1 1 2 x y z d + - - = = - vàhai mặtphẳng ( ) : 2 2 3 0, ( ) : 2 2 7 0.P x y z Q x y z + + + = - - + = Viếtphươngtrìnhmặtcầucótâmthuộcd,đồng thờitiếpxúcvớihaimặtphẳng(P)và(Q). Câu9.a (1,0 điểm). Chotậphợp { } 1, 2, 3, 4, 5 .E = GọiM làtậphợptấtcảcácsố tựnhiêncóítnhất3chữsố, cácchữsốđôimộtkhácnhauthuộc E.Lấyngẫunhiênmộtsố thuộc M.Tí nhxácsuấtđểtổngcá cchữsốcủa sốđóbằng10. b.TheochươngtrìnhNâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho hai điểm (1; 2), (4; 1)A B và đườ ng thẳng : 3 4 5 0.x y D - + = Viếtphươngtrình đườngtròn điqua A,Bvàcắt D tại C,D sao cho 6.CD = Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ  ,Oxyz cho điểm (1; 1; 0)M và hai đường thẳng 1 2 1 3 1 1 3 2 : , : . 1 1 1 1 2 3 x y z x y z d d - - - - + - = = = = - - - Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(P)songsongvới 1 d và 2 d đồngthờicách Mmộtkhoảngbằng  6. Câu9.b (1,0 điểm). Tìmsốnguyêndương n thỏamãn 0 1 2 3 1 1 1 1 ( 1) 1 . . . . 2 3 4 5 2 156 n n n n n n n C C C C C n - - + - + + = + Hết  www.VNMATH.com TRNGIHCVINH TRNGTHPTCHUYấN PNKHOSTCHTLNGLP12,LN1 NM2014 Mụn:TON KhiA,A 1 Thigianlmbi:180phỳt Cõu ỏpỏn im a)(1,0im) 1 0 .Tpxỏcnh: \{1}.R 2 0 .Sbinthiờn: *Giihntivụcc:Tacú lim 2 x y đ-Ơ = v lim 2. x y đ+Ơ = Giihnvụcc: 1 lim x y + đ = -Ơ v 1 lim . x y - đ = +Ơ Suyrath(H)cútimcnnganglngthng 2,y = timcnnglngthng 1.x = *Chiubinthiờn:Tacú 2 1 ' 0, 1. ( 1) y x x = > " ạ - Suyrahmsngbintrờnmikhong ( ) 1 -Ơ v ( ) 1 . + Ơ 0,5 *Bngbinthiờn: 3 0 .th: thctOx ti 3 0 , 2 ổ ử ỗ ữ ố ứ ct Oy ti (03). Nhngiaoim (1 2)I cahaitimcn lmtõmixng. 0,5 b) (1,0im) Ta cú 1 : . 3 3 m d y x = - - Hon h giao im ca d v (H) l nghim ca phng trỡnh 2 3 1 , 1 3 3 x m x x - = - - - hay 2 ( 5) 9 0, 1.x m x m x + + - - = ạ (1) Tacú 2 ( 7) 12 0,m D = + + > vimim.Suyraphngtrỡnh(1)cú 2nghimphõnbit.Hnna c2nghim 1 2 ,x x ukhỏc1.Doú d luụn ct(H)ti2imphõnbit 1 1 2 2 ( ), ( ).M x y N x y 0,5 Cõu1. (2,0 im) Tacú 1 1 2 2 ( 1 ), ( 1 ).AM x y AN x y = - = - uuuur uuur Tamgiỏc AMNvuụngti A . 0.AM AN = uuuur uuur Hay 1 2 1 2 ( 1)( 1) 0x x y y - - + = 1 2 1 2 1 ( 1)( 1) ( )( ) 0 9 x x x m x m - - + + + = 2 1 2 1 2 10 ( 9)( ) 9 0.x x m x x m + - + + + = (2) pdngnhlýViet,tacú 1 2 1 2 5, 9.x x m x x m + = - - = - - Thayvo(2)tac 2 10( 9) ( 9)( 5) 9 0m m m m - - + - - - + + = 6 36 0 6.m m - - = = - Vygiỏtrcam l 6.m = - 0,5 Cõu2. (1,0 im) Phngtrỡnh óchotngngvi sin3 sin 2cos2 3(sin 1) cos (sin 1)x x x x x x - + = + + + 2 2cos2 sin 2cos2 (sin 1)(cos 3) (sin 1)(2cos2 cos 3) 0 (sin 1)(4cos cos 5) 0 (sin 1)(cos 1)(4cos 5) 0. x x x x x x x x x x x x x x + = + + + - - = + - - = + + - = 0,5 x 'y y Ơ - Ơ + 1 2 Ơ - + + Ơ + 2 x O y I 3 2 1 3 2 www.VNMATH.com *) sin 1 2 , 2 x x k p p = - Û = - + .k ÎZ *) cos 1 2 ,x x k p p = - Û = + .k ÎZ *) 4cos 5 0x - = vônghiệm. Vậyphươngtrìnhcónghiệm 2 , 2 , . 2 x k x k k p p p p = - + = + ÎZ 0,5 Điềukiện : 1.x ³ - Nhậnthấy 1x = - làmộtnghiệmcủabấtphươngtrình. Xét 1.x > - Khiđóbấtphươngtrìn h đãchotươngđươngvới ( ) ( ) 3 2 4 1 2 2 2 3 3 2 12x x x x x + - + + - £ - - - ( ) 2 2 4( 3) 4( 3) ( 3)( 2 4) 1 2 2 3 3 4 4 3 ( 1) 3 0. (1) 1 2 2 3 3 x x x x x x x x x x x - - Û + £ - + + + + + + æ ö Û - + - + - £ ç ÷ + + + + è ø 0,5 Câu3. (1,0 điểm) Vì 1x > - nên 1 0x + > và 2 3 1.x + > Suyra 4 4 3, 1 2 2 3 3x x + < + + + + vìvậy 2 4 4 ( 1) 3 0. 1 2 2 3 3 x x x + - + - < + + + + Dođóbấtphươngtrình (1) 3 0 3.x x Û - ³ Û ³ Vậynghiệmcủabấtphươngtrìnhlà 1x = - và 3.x ³ 0,5 Tacó 1 1 2 2 0 0 3 ln(3 1) d 2 d . ( 1) ( 1) x x I x x x x + = + + + ò ò Đặt 3d ln(3 1) d ; 3 1 x u x u x = + Þ = + 2 d 1 d . 1 ( 1) x v v x x = Þ = - + + Ápdụngcôngthứctíchphântừngphầntacó 0,5 Câu4. (1,0 điểm) 1 1 1 2 0 0 0 1 1 2 0 0 1 1 0 0 3 2ln(3 1) d d 6 1 (3 1)( 1) ( 1) 3 3 3 1 d ln 4 3 d 1 3 1 1( 1) 3 3 ln 4 3ln 3 1 4ln 2. 1 2 x x x I x x x x x x x x x xx x x + = - + + + + + æ ö æ ö = - - + - ç ÷ ç ÷ + + + + è ø è ø = - + + = - + + ò ò ò ò 0,5 Vì ( )SH ABCD ^ nên · ( ) · 0 , ( ) 30 .SCH SC ABCD = = Trongtamgiác vuông SAD tacó 2 .SA AH AD = 2 2 3 12 4 ; 3 ; 4 a AD AD a HA a HD a Û = Þ = = = 0 . 3 .cot30 3SH HA HD a HC SH a Þ = = Þ = = 2 2 2 2 .CD HC HD a Þ = - = Suyra 2 . 8 2 ABCD S AD CD a = = . Suyra 3 . 1 8 6 . . 3 3 S ABCD ABCD a V SH S = = 0,5 Câu5. (1,0 điểm) Vì M làtrungđiểm ABvà AH // (SBC)nên ( ) ( ) ( ) 1 1 , ( ) ,( ) , ( ) . 2 2 d M SBC d A SBC d H SBC = = (1) Kẻ HK BC ^ tại K, 'HH SK ^ tại '.H Vì ( )BC SHK ^ nên ' ' ( ).BC HH HH SBC ^ Þ ^ (2) Trongtamgiácvuông SHK tacó 2 2 2 2 1 1 1 11 2 6 2 66 ' . 11 ' 24 11 a HH a HH HK HS a = + = Þ = = (3) Từ(1),(2)và(3)suyra ( ) 66 , ( ) . 11 d M SBC a = 0,5 Câu6. Tacó 2 2 2 2 2 5 5 ( ) 5 5( ) 6( ) 2 x y z x y z xy yz zx + + £ + + = + + 2 1 6 ( ) 6. ( ) . 4 x y z y z £ + + + 0,5 A B D C K H S 'H M a www.VNMATH.com Doú 2 2 5 6 ( ) ( ) 0,x x y z y z - + + + Ê hay . 5 y z x y z + Ê Ê + Suyra 2( )x y z y z + + Ê + . Khiú 2 1 2( ) ( ) 2 P x y z y z Ê + + - + 2 2 1 1 4( ) ( ) 2 ( ) . 2 2 y z y z y z y z Ê + - + = + - + t ,y z t + = khiú 0t v 4 2 . 2 t P t Ê - (1) (1,0 im) Xộthms 4 1 ( ) 2 2 f t t t = - vi 0.t Tacú 3 '( ) 2 2 '( ) 0 1.f t t f t t = - = = Suyrabngbinthiờn: Davobngbinthiờntacú 3 ( ) (1) 2 f t f Ê = vimi 0.t (2) T(1)v(2)tacú 3 , 2 P Ê dun gthcxyrakhi 1 1 1 2 x y z x y z y z y z = + ỡ = ỡ ù ù = ớ ớ = = ù ù + = ợ ợ VygiỏtrlnnhtcaP l 3 , 2 tckhi 1 1, . 2 x y z = = = 0,5 1 3 : 2 3 5 0 ( 3 1, 2 1). 1 2 x t A d x y A a a y t = - ỡ ẻ + - = ị - + + ớ = + ợ Vỡ (21)M lt rungim AC nờn suyra (3 3 1 2 )C a a + - ( 3 1 2 4) (3 3 4 2 ). HA a a HC a a ỡ = - + + ù ị ớ = + - ù ợ uuur uuur Vỡ ã 0 90AHC = nờn 1 . 0 19 . 13 a HA HC a = ộ ờ = ị ờ = - ờ ở uuur uuur *)Vi 1 ( 2 3), (6 1)a A C = ị - - thamón. *)Vi 19 18 51 13 13 13 a C ổ ử = - ị - ỗ ữ ố ứ khụngthamón. 0,5 Cõu 7.a (1,0 im) Vi ( 2 3), (6 1)A C - - tacúphngtrỡnh : 17 11 0,CE x y + + = phngtrỡnh : 3 9 0BC x y - - = Suyra (3 9 )B b b BC + ẻ ịtrungim AB l 3 7 3 . 2 2 b b N + + ổ ử ỗ ữ ố ứ M 4 ( 3 4).N CE b B ẻ ị = - ị - - 0,5 Tõmmtcu (S)l ( 2 1 2 2) .I t t t d - - + + ẻ Vỡ(S)tipxỳc(P),(Q)nờn ( ) ( ) , ( ) , ( )d I P d I Q R = = 0,5 Cõu 8.a (1,0 im) 1 1 2, ( 4 3 2), 3 7 1 3 3 2 2 3 3 3, ( 5 4 4), 3 3 t R I R t t R t R I R ộ ộ = - = - - = ờ ờ + - - = = ị ờ ờ ờ ờ = - = - - = ờ ờ ở ở Suyrapt(S)l 2 2 2 1 ( 4) ( 3) ( 2) 9 x y z + + - + + = hoc 2 2 2 4 ( 5) ( 4) ( 4) . 9 x y z + + - + + = 0,5 Cõu 9.a (1,0 Scỏcsth uc Mcú3chsl 3 5 60.A = Scỏcsth uc Mcú4chsl 4 5 120.A = 0,5 A d B H C M N E ( )f t '( )f t t 1 0 + 0 +Ơ 3 2 www.VNMATH.com Scỏcsth uc Mcú5chsl 5 5 120.A = SuyrasphntcaM l 60 120 120 300. + + = im) Cỏctpconca E cútngcỏcphntbng10gm 1 2 3 {1,2,3,4}, {2,3,5}, {1,4,5}.E E E = = = Gi A ltpconcaMmmisthuc A cútngcỏcchsbng10. T 1 E lpcscỏcsthuc A l 4! Tmitp 2 E v 3 E lpcscỏ csthuc A l 3! Suyrasphntca Al 4! 2.3! 36. + = Doúxỏcsutcntớnhl 36 0,12. 300 P = = 0,5 Gis(C)cútõm ( ),I a b bỏnkớnh 0.R > Vỡ(C)iqua A,B nờn IA IB R = = 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 4) ( 1) 3 6 ( 3 6) 10 50 65 10 50 65 (1) a b a b R b a I a a R a a R a a - + - = - + - = = - - ỡ ỡ ù ù ị ị ớ ớ = - + = - + ù ù ợ ợ 0,5 Cõu 7.b (1,0 im) K IH CD ^ ti H.Khiú 9 29 3, ( , ) 5 a CH IH d I - + = = D = 2 2 2 (9 29) 9 25 a R IC CH IH - ị = = + = + (2) T(1)v(2)suyra 2 2 2 (9 29) 10 50 65 9 169 728 559 0 25 a a a a a - - + = + - + = 1 43 13 a a = ộ ờ ờ = ờ ở (1 3), 5 43 51 5 61 , 13 13 13 I R I R - = ộ ờ ị ổ ử ờ = ỗ ữ ờ ố ứ ở Suyra 2 2 ( ) :( 1) ( 3) 25C x y - + + = hoc 2 2 43 51 1525 ( ) : . 13 13 169 C x y ổ ử ổ ử - + - = ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ 0,5 Vỡ ( )P // 1 2 ,d d nờn(P)cúcpvt cp 1 1 2 2 (1 11) , (1 21) ( 1 2 3) P u n u u u ỡ = - ù ộ ự ị = = ớ ở ỷ = - - ù ợ uur uur uur uur uur Suyrapt(P)cúdng 2 0.x y z D + + + = ( ) 33 , ( ) 6 6 9 6 DD d M P D = + ộ = = ờ = - ở ( ) : 2 3 0 (1) ( ) : 2 9 0 (2) P x y z P x y z + + + = ộ ị ờ + + - = ở 0,5 Cõu 8.b (1,0 im) Ly 1 (1 31)K d ẻ v 2 (1 3 2)N d - ẻ th vo cỏc phng trỡnh (1) v (2) ta cú ( ) : 2 3 0N P x y z ẻ + + + = nờn 2 ( ) : 2 3 0d P x y z è + + + = .Suy raphngtrỡnh mt phng(P) thamónbitoỏnl( ) : 2 9 0.P x y z + + - = 0,5 Vimi x ẻR vmisnguyờndng n,theonhthcNiutntacú ( ) 0 1 2 1 0 1 . . . ( 1) . . . ( 1) (1 ) . n n n n n n n n n n n n n C x C x C x C C x C x x x x + - + + - = - + + - = - Suyra ( ) 1 1 0 1 2 1 0 0 . . . ( 1) d (1 ) d . n n n n n n n C x C x C x x x x x + - + + - = - ũ ũ 0,5 Cõu 9.b (1,0 im) Hay 1 1 0 1 1 0 0 1 1 ( 1) . (1 ) d (1 ) d 2 3 2 n n n n n n n C C C x x x x n + - - + + = - - - + ũ ũ 1 1 1 1 2 ( 1)( 2)n n n n = - = + + + + ,vimi * .n ẻN Tútacú 2 1 1 3 154 0 11 ( 1)( 2) 156 n n n n n = + - = = + + (vỡ * ).nẻN 0,5 I D H A B C D www.VNMATH.com . )SH ABCD ^ nên · ( ) · 0 , ( ) 30 .SCH SC ABCD = = Trongtamgiác vuông SAD tacó 2 .SA AH AD = 2 2 3 12 4 ; 3 ; 4 a AD AD a HA a HD a Û = Þ = = = 0 . 3 .cot30 3SH HA HD a. TRƯỜ NG ĐẠIHỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀKHẢOSÁTCHẤTLƯỢNGLỚP12,LẦN1 NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối: A và A 1 ; Thờigianlàmbài:180 phút I. PHẦNCHUNGCHOTẤTCẢTHÍSINH(7,0. = 0,5 Gis(C)cútõm ( ),I a b bỏnkớnh 0.R > Vỡ(C)iqua A, B nờn IA IB R = = 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 4) ( 1) 3 6 ( 3 6) 10 50 65 10 50 65 (1) a b a b R b a I a a R a a R a a - + - = - + - = =