http://edufly.vn Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987.708.400 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THÀNH PHỐ HÀ NỘI Năm học: 2013 - 2014 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: (5 điểm) Cho hàm số 3 3 4 y x x    có đồ thị (C) a. Tìm các điểm M, N cùng nằm trên (C) sao cho điểm 1 ; 2 2 I        là trung điểm của đoạn thẳng MN. b. Cho ba điểm phân biệt A, B, C cùng thuộc (C). Các tiếp tuyến của (C) tại A, B, C cắt (C) tại điểm thứ hai lần lượt là ' ' ' , , A B C . Chứng minh rằng nếu A, B, C thẳng hàng thì A’, B’, C’ cũng thẳng hàng. Bài 2: (5 điểm) a. Giải phương trình:   2 2 2 2 5 4 1 3 x x x x      b. Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 2 3 6 3 4 0 2 4 3 3 2 3 2 0 x y x x y x y y x                   Bài 3: (2 điểm) Cho cá số thực a, b, c sao cho 0, 0, 0 1 a b c     và 2 2 2 3 a b c    . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 6 2 3 3P ab bc ca a b c       Bài 4: (3 điểm) Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Đặt    , , zOx xOy yOz y      . Lấy các điểm A, B, C lần lượt trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho OA OB OC a    với a > 0 . http://edufly.vn Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987.708.400 a. Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho 2 BM MC  và I là trung điểm của đoạn thẳng AM. Tính độ dài đoạn thẳng OI theo  trong trường hợp 0 0 60 , 90       b. Chứng minh rằng: 3 cos os + os 2 c c       Bài 5: (3 điểm) Cho dãy số ( ) n u thỏa mãn điều kiện: 1 2 1 2 2013 , 1, 2, 2014 2014 n n n u u u u n           a. Chứng minh rằng ( ) n u là dãy số tăng b. Với mỗi 1, , n n N   đặt 1 1 n n n u v u    . Chứng minh rằng: 1 2 2014 n v v v    với mọi 1 n  . Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987.708.400 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THÀNH PHỐ HÀ NỘI Năm học: 2013 - 2014 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: (5 điểm) Cho hàm số 3 3 4 y x x . 1 2 1 2 2013 , 1, 2, 2014 2014 n n n u u u u n           a. Chứng minh rằng ( ) n u là dãy số tăng b. Với mỗi 1, , n n N   đặt 1 1 n n n u v u    . Chứng minh rằng: 1 2 2014 n v. lần lượt là ' ' ' , , A B C . Chứng minh rằng nếu A, B, C thẳng hàng thì A’, B’, C’ cũng thẳng hàng. Bài 2: (5 điểm) a. Giải phương trình:   2 2 2 2 5 4 1 3 x x x x   