LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo PGS TS Khuất Văn Ninh Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình song nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn, lịng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chun ngành Tốn giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn Phịng GD – ĐT huyện Sóc Sơn, Ban giám hiệu, thầy cô giáo, đồng nghiệp trường THCS Nam Sơn gia đình, người thân, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học Thạc sĩ hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2013 Tác giả Hàn Thị Mận LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại Học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi Trong q trình nghiên cứu hồn thành luận văn tơi kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2013 Tác giả Hàn Thị Mận Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Bảng ký hiệu v Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khơng gian giải tích hàm 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Khơng gian tuyến tính 1.1.3 Không gian định chuẩn không gian Banach 1.1.4 Không gian Hilbert 1.2 Tốn tử tuyến tính 10 1.2.1 Tốn tử tuyến tính khơng gian định chuẩn 10 1.2.2 Tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert 12 1.3 Sai phân tính chất 16 1.3.1 Định nghĩa 16 1.3.2 Tính chất sai phân 16 iii Phương pháp giải tốn biên phương trình tốn tử vi phân thường tuyến tính 18 2.1 Phương trình vi phân thường tuyến tính cấp n 18 2.1.1 Một số khái niệm phương trình vi phân thường 18 2.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính 20 2.2 Một số phương pháp cụ thể giải tốn biên phương trình tốn tử vi phân thường tuyến tính 26 2.2.1 Giải toán biên 26 2.2.2 Phương pháp sai phân 29 2.2.3 Phương pháp khử lặp 30 2.2.4 Phương pháp bắn 33 2.2.5 Phương pháp Ritz (phương pháp biến phân) 34 2.2.6 Phương pháp Galerkin 43 Ứng dụng số phương pháp giải toán biên phương trình vi phân thường tuyến tính 45 3.1 Giải toán biên 45 3.2 Ứng dụng phương pháp sai phân giải toán biên 48 3.3 Ứng dụng phương pháp khử lặp giải toán biên 50 3.4 Ứng dụng phương pháp bắn giải toán biên 51 3.5 Ứng dụng phương pháp Ritz giải toán biên 54 3.6 Ứng dụng phương pháp Galerkin giải toán biên 59 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 iv BẢNG KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không R Tập số thực R+ Tập số thực dương C Tập số phức K Tập số thực phức Rn Không gian Euclide n - chiều C[a;b] Không gian hàm số thực liên tục đoạn [a; b] C n [a;b] Khơng gian hàm xác định có đạo hàm liên tục đến cấp n [a, b] L2 [a;b] Khơng gian hàm bình phương khả tích [a; b] L2 [0;1] Khơng gian hàm bình phương khả tích [0; 1] Lp [a, b] Khơng gian hàm bậc p khả tích [a; b] L (X, Y ) Khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình tốn tử vi phân lĩnh vực quan trọng toán học đại Rất nhiều vấn đề toán học, vật lý, dẫn đến việc giải phương trình tốn tử vi phân Từ thập kỷ 70, người ta ý nhiều đến việc xây dựng lí thuyết tốn biên phương trình tốn tử vi phân Nhiều phương pháp khác đưa sử dụng vấn đề này.Thí dụ: lý thuyết tốn tử Fredholm, phương pháp tham số nhỏ, phương pháp Tôpô, Từ quan điểm đương thời, nói phương pháp giải tích hàm phương pháp Tơpơ phương pháp hữu dụng Qua ứng dụng có tính hệ thống phương pháp này, sở lí thuyết tốn biên cho lớp rộng phương trình tốn tử vi phân xây dựng Với mong muốn tìm hiểu sâu tốn biên phương trình tốn tử vi phân, điều kiện có hạn, luận văn tơi xin trình bày: “Phương pháp giải tốn biên phương trình tốn tử vi phân tuyến tính” Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu số phương pháp giải tốn biên phương trình vi phân thường tuyến tính, ứng dụng giải số toán biên cụ thể Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp giải giải xấp xỉ toán biên phương trình vi phân thường tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp giải toán biên phương trình vi phân thường tuyến tính Phương pháp sai phân Phương pháp khử lặp Phương pháp bắn Phương pháp Ritz Phương pháp Galerkin Dự kiến đóng góp Đề tài trình bày cách có hệ thống phương pháp giải toán biên phương trình tốn tử vi phân thường tuyến tính Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức, phương pháp Đại số tuyến tính,Giải tích hàm, Giải tích số Sưu tầm, nghiên cứu tài liệu liên quan Suy luận logic, phân tích, tổng hợp hệ thống hoá Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khơng gian giải tích hàm 1.1.1 Khơng gian metric Cho X tập hợp tùy ý X = φ Định nghĩa 1.1.1 Một metric X ánh xạ d:X ×X →R thỏa mãn điều kiện sau: 1) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d (x, y) = ⇔ x = y; 2) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X; 3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X Tập hợp X metric X gọi không gian metric, ký hiệu (X, d) Số d (x, y) gọi khoảng cách điểm x y Ví dụ 1.1.1 Với hai phần tử x, y ∈ R ta đặt: d (x, y) = |x − y| (1.1) Dựa vào tính chất giá trị tuyệt đối tập số thực R ta dễ dàng kiểm tra (1.1) xác định metric R Không gian tương ứng ký hiệu R1 Ta gọi metric (1.1) metric tự nhiên Ví dụ 1.1.2 Ta ký hiệu C[a,b] tập tất hàm số giá trị thực xác định liên tục [a, b], (−∞ < a < b < +∞).Với hai hàm số x (t) , y (t) ∈ C[a,b] ta đặt: d (x, y) = max |x(t) − y(t)| a≤t≤b (1.2) Vì hàm số x (t) , y (t) liên tục [a, b], nên hàm số |x(t) − y(t)| liên tục [a, b] Hệ thức (1.2) xác định ánh xạ từ C[a,b] × C[a,b] vào tập số thực R Ánh xạ (1.2) thoả mãn tiên đề metric Không gian metric tương ứng ký hiệu C[a,b] Định nghĩa 1.1.2 Dãy điểm {xn } không gian metric (X, d) gọi hội tụ tới điểm x ∈ X lim d (xn , x) = n→∞ Ký hiệu lim xn = x hay xn → x n → ∞ n→∞ Định nghĩa 1.1.3 Một dãy điểm {xn } không gian metric (X, d) gọi dãy ( hay dãy Cauchy ) lim d (xm , xn ) = m,n→∞ Định nghĩa 1.1.4 Không gian metric (X, d) gọi đầy đủ dãy X hội tụ tới phần tử X Định lý 1.1.1 Mọi tập đóng khơng gian metric đầy đủ khơng gian metric đầy đủ Chứng minh Giả sử F tập đóng khơng gian metric đầy đủ (X, d) Giả sử {xn } dãy F tức lim d (xm , xn ) = m,n→∞ Suy {xn } dãy X Do X không gian đầy đủ nên dãy {xn } hội tụ, tức ∃x0 ∈ X : xn → x0 , n → ∞ Như (xn ) ⊂ F : xn → x0 ∈ X, n → ∞ Do F tập đóng nên x0 ∈ F Vậy F không gian metric đầy đủ Ví dụ 1.1.3 Trong khơng gian metric đầy đủ (X, d), hình cầu đóng S (x0 , r) = {x ∈ X : d (x, x0 ) ≤ r} , r ∈ R+ không gian metric đầy đủ 1.1.2 Khơng gian tuyến tính Định nghĩa 1.1.5 Ta gọi nửa nhóm tập hợp X với phép tốn hai ngơi kết hợp cho X Một nửa nhóm có phần tử trung lập gọi vị nhóm Một nửa nhóm giao hốn phép tốn giao hốn Định nghĩa 1.1.6 Ta gọi nhóm nửa nhóm X có tính chất sau : 1) Có phần tử trung lập e; 2) Với x ∈ X, ∃x ∈ X cho x x = xx = e (phần tử x gọi phần tử đối xứng hay nghịch đảo x) - Như vậy, nhóm vị nhóm mà phần tử có nghịch đảo - Nếu phép tốn hai ngơi X giao hốn ta có nhóm giao hốn hay nhóm Abel Định nghĩa 1.1.7 Giả sử K trường số thực phức, tập X = ∅ với hai phép tính cộng nhân vơ hướng: + Phép cộng: X ×X →X (x, y) → x + y + Phép nhân vơ hướng: K ×X →X (λ, x) → λ.x 53 xi ui wi yi = ui + wi 0,0 1,250000 0,000000 1,250000 0,2 1,220131 0,097177 1,317308 0,4 1,132073 0,194353 1,326426 0,6 0,990122 0,291530 1,281652 0,8 0,800569 0,388707 1,189276 1,0 0,570844 0,485884 1,056728 1,2 0,308850 0,583061 0,891911 1,4 0,022522 0,680237 0,702759 1,6 -0,280424 0,777413 0,496989 1,8 -0,592609 0,874591 0,281982 2,0 -0,907039 0,971767 0,064728 2,2 -1,217121 1,068944 -0,148177 2,4 -1,516639 1,166121 -0,350518 2,6 -1,799740 1,263297 -0,536443 2,8 -2,060904 1,360474 -0,700430 3,0 -2,294916 1,457651 -0,837265 3,2 -2,496842 1,554828 -0,942014 3,4 -2,662004 1,652004 -1,010000 3,6 -2,785960 1,749181 -1,036779 3,8 -2,864481 1,846358 -1,018123 4,0 -2,893535 1,943535 bảng 3.2 -0,950000 So sánh lời giải số đạt phương pháp bắn tuyến tính với bước h = 0, h = 0, nghiệm toán biên (3.14) y(x) = 1, 25 + 0, 4860896526x − 2, 25x2 + 2xarctan(x) − ln(1 + x2 ) + 2 x ln(1 + x ) ta kết cho bảng 3.3 54 yi 0,0 y(xi ) − yi h = 0, nghiệm sai xi y(xi ) số 1,250000 0,000000 y(xi ) − yi h = 0, nghiệm sai xi y(xi ) số 1,326426 1,326505 1,291116 1,291117 0,000001 1,317348 1,317350 0,000002 1,328986 1,328990 0,000004 0,4 0,000079 0,000000 0,2 0,000042 1,250000 1,326500 1,326505 0,000005 0,5 0,4 1,317350 1,250000 0,3 1,317308 0,0 0,1 0,2 1,250000 yi 1,310508 1,310514 0,000006 0,6 1,281652 1,281762 0,000110 0,6 1,281756 1,281762 0,000006 0,8 1,189276 1,189412 0,000136 0,8 1,189404 1,189412 0,000008 1,0 1,056728 1,056886 0,000158 1,0 1,056876 1,056886 0,000010 1,2 0,891911 0,892086 0,000175 1,2 0,892076 0,892086 0,000010 1,6 0,496989 0,497187 0,000198 1,6 0,497175 0,497187 0,000012 2,0 0,064728 0,064931 0,000203 2,0 0,064919 0,064931 0,000012 2,4 -0,350518 -0,350325 0,000193 2,4 -0,350337 -0,350325 0,000012 2,8 -0,700430 -0,700262 0,000168 2,8 -0,700273 -0,700262 0,000011 3,2 -0,942014 -0,941888 0,000126 3,2 -0,941895 -0,941888 0,000007 3,6 -1,036779 -1,036708 0,000071 3,6 -1,036713 -1,036708 0,000005 4,0 -0,950000 -0,950000 0,000000 4,0 -0,950000 -0,950000 0,000000 bảng 3.3 3.5 Ứng dụng phương pháp Ritz giải toán biên Bài toán 3.7 Giải toán biên x = (t2 + 3)x + 2t, x(0) = x(1) = (3.17) 55 Giải Ta có q(t) = t2 + ≥ q0 = > 0, (0 ≤ t ≤ 1), f (t) = 2t hàm số liên tục Đặt H = L2 [0; 1] , Ax = −x + (t2 + 3)x Ký hiệu HA tập hợp hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục thoả mãn điều kiện biên x(0) = x(1) = Khi tốn (3.17) viết dạng toán tử Ax = −f Ta chứng minh A toán tử đối xứng xác định dương HA Giả sử x, y ∈ HA Khi 1 (t2 + 3)xydt −x + (t + 3)x ydt = − x ydt + (Ax, y) = = −yx |1 + x y dt + (t + 3)xydt = xy |1 + (t2 + 3)xydt y xdt + 0 −y + (t2 + 3)y xdt = (x, Ay) = Do A tốn tử đối xứng Giả sử x ∈ HA Khi 1 0 = −x −x + (t2 + 3)x xdt = − x xdt + (Ax, x) = x|1 + 2 (t + 3)x dt ≥ x dt + 0 Cho nên A toán tử xác định dương Ta tính J(x) : (t2 + 3)x2 dt x dt + x dt ≥ x2 dt = x , 0 56 1 −x + (t + 3)x xdt + J(x) = (Ax, x) + 2(f, x) = 1 =− (t2 + 3)x2 + 4xt dt x xdt + 0 = −x x|1 1 (t2 + 3)x2 + 4xt dt x dt + + 0 = x.2tdt 0 x + (t2 + 3)x2 + 4xt dt Vậy x + (t2 + 3)x2 + 4xt dt J(x) = Để giải gần toán (3.17) ta cần xây dựng dãy cực tiểu hoá phiếm hàm J(x) Lấy dãy hàm khả vi liên tục đoạn [0; 1] ϕk (t) = tk (t − 1), k = 1, thoả mãn điều kiện a) ϕk (0) = ϕk (1) = 0, k = 1, ; b) Với n = hệ hàm số {ϕ1 (t), ϕ2 (t), ϕ3 (t), ϕ4 (t)} hệ độc lập tuyến tính; c) Với hàm liên tục ϕ(t) , số ε > chọn đa thức suy rộng P4 (t) = α1 ϕ1 (t) + α2 ϕ2 (t) + + α4 ϕ4 (t), cho ϕ(t) − Pn (t) < ε, ≤ t ≤ Xét dãy hàm x4 (t) = αk ϕk (t) k=1 Ta thấy J(x4 ) = Aij αi αj + i,j=1 Ai αi , i=1 57 ϕ i (t)ϕ j (t) + t2 + ϕi (t)ϕj (t) dt Aij = ti (t − 1)2tdt(i = 1, 2, 3, 4) Ai = Ta có    ϕ (t) = 2t −  ϕ1 (t) = t(t − 1)          ϕ (t) = t2 (t − 1)  ϕ (t) = 3t2 − 2t 2 ⇒  ϕ (t) = 4t3 − 3t2  ϕ3 (t) = t3 (t − 1)          ϕ (t) = t4 (t − 1)  ϕ (t) = 5t4 − 4t3 4 1 1 1 t3 (t − 1).2tdt = A3 = 1 2t5 − 2t4 t4 (t − 1).2tdt = A4 = A11 = 2t4 − 2t3 t (t − 1).2tdt = A2 = −1 −1 dt = 10 −1 dt = 15 −1 dt = 21 2t3 − 2t2 dt = t(t − 1).2tdt = A1 = 2t6 − 2t5 ϕ (t) + t2 + ϕ1 (t) dt = (2t − 1)2 + t2 + t2 (t − 1)2 dt = 31 70 ϕ (t)ϕ (t) + t2 + ϕ1 (t)ϕ2 (t) dt A21 = A12 = (2t − 1) 3t2 − 2t + t2 + t (t − 1) t2 (t − 1) dt = = 187 840 ϕ (t)ϕ (t) + t2 + ϕ1 (t)ϕ3 (t) dt A31 = A13 = (2t − 1) 4t3 − 3t2 + t2 + t (t − 1) t3 (t − 1) dt = = 3317 1260 58 ϕ (t)ϕ (t) + t2 + ϕ1 (t)ϕ4 (t) dt A41 = A14 = (2t − 1) 5t4 − 4t3 + t2 + t (t − 1) t4 (t − 1) dt = = A22 = 11 126 ϕ 2 (t) + t2 + ϕ2 (t) dt t2 (3t − 2)2 + t2 + t4 (t − 1)2 dt = = 209 1260 ϕ (t)ϕ (t) + t2 + ϕ2 (t)ϕ3 (t) dt A23 = A32 = (t2 (4t − 3) 3t2 − 2t + t2 + t5 (t − 1)2 dt = = 38 315 ϕ (t)ϕ (t) + t2 + ϕ4 (t)ϕ2 (t) dt A24 = A42 = 5t4 − 4t3 = 3t2 − 2t + t2 + t4 (t − 1) t2 (t − 1) dt = A33 = 1249 13860 ϕ (t) + t2 + ϕ3 (t) dt = t4 (4t − 3)2 + t2 + t6 (t − 1)2 dt = 10 ϕ (t)ϕ (t) + t2 + ϕ3 (t)ϕ4 (t) dt A34 = A43 = t2 (4t − 3) 5t4 − 4t3 + t2 + t3 (t − 1) t4 (t − 1) dt = = A44 = ϕ (t) + t2 + ϕ4 (t) dt = t6 (5t − 4)2 + t2 + t8 (t − 1)2 dt = 100 αi xác định từ hệ phương trình tuyến tính sau:   A1 + A11 α1 + A21 α2 + A31 α3 + A41 α4 =      A +A α +A α +A α +A α =0 12 22 32 42  A3 + A13 α1 + A231 α2 + A33 α3 + A43 α4 =      A +A α +A α +A α +A α =0 14 24 34 44 25 59                  −1 31 187 3317 11 + α1 + α2 + α3 + α4 = 70 840 1260 126 209 38 1249 −1 187 + α1 + α2 + α3 + α4 = 10 840 1260 315 13860   −1 3317 38    + α1 + α2 + α3 + α4 =  15  1260 315 10 25        −1 11 1249   + α1 + α2 + α3 + α4 = 21 126 13860 25 100 ⇒ α1 ≈ −9 , 2000 α2 ≈ 19 , 25 α3 ≈ 13 , 1000 α4 ≈ −167 500 19 13 167 −9 t(t−1)+ t2 (t−1)+ t (t−1)− t (t−1) 2000 25 1000 500 dãy cực tiểu hoá nghiệm gần toán biên(3.17) Do hàm x4 (t) = 3.6 Ứng dụng phương pháp Galerkin giải toán biên Bài toán 3.8 Giải toán biên y + xy − 3y = −x2 + 6x + y (0) = 1, y(1) + y (1) = (3.18) Giải Chọn hệ sở ϕ0 (x) = x, ϕ1 (x) = x2 − 3, ϕ2 (x) = x3 − Hệ {ϕ0 (x), ϕ1 (x), ϕ2 (x)} độc lập tuyến tính thoả mãn điều kiện   ϕ (0) =      ϕ (0) = i  ϕ0 (1) + ϕ (1) =      ϕ (1) + ϕ (1) = 0, i = 1; i i 60 Đặt L(y) = y + xy − 3y; f (x) = −x2 + 6x + Khi ta tìm L(ϕ0 ) = ϕ + xϕ − 3ϕ0 = + x − 3x = −2x L(ϕ1 ) = ϕ + xϕ − 3ϕ1 = + 2x2 − 3x2 + = −x2 + 11 L(ϕ2 ) = ϕ + xϕ − 3ϕ2 = 6x + 3x3 − 3x3 + 12 = 6x + 12 b (f (x) − L(ϕ0 ))ϕi (x)dx Áp dụng công thức tính : bi = a (f (x) − L(ϕ0 ))ϕ1 (x)dx b1 = −x2 + 6x + + 2x = x2 − dx −x4 + 8x3 + 5x2 − 24x − dx = x5 − + 2x4 + x3 − 12x2 − 6x = = −218 15 (f (x) − L(ϕ0 ))ϕ2 (x)dx b2 = −x2 + 6x + + 2x = x3 − dx −x5 + 8x4 + 2x3 + 4x2 − 32x − dx = = x6 4 − + x + x + x − 16x2 − 8x b Áp dụng công thức : aik = L(ϕk )ϕi (x)dx ta có a = −311 15 61 1 −x2 + 11 L(ϕ1 )ϕ1 (x)dx = a11 = 0 −x4 + 14x2 − 33 dx = = −428 15 1 (6x + 12) x2 − dx L(ϕ2 )ϕ1 (x)dx = a12 = 0 6x3 + 12x2 − 18x − 36 dx = = −79 1 −x2 + 11 L(ϕ1 )ϕ2 (x)dx = a21 = x2 − dx 0 −x5 + 11x3 + 4x2 − 44 dx = = a22 = −481 12 (6x + 12) x3 − dx L(ϕ2 )ϕ2 (x)dx = 0 6x4 + 12x3 − 24x2 − 48 dx = = x3 − dx −279 Nghiệm gần tốn (3.18) có dạng y(x) = ϕ0 (x) + c1 ϕ1 (x) + c2 ϕ2 (x) ⇒ y(x) = x + c1 x2 − + c2 x3 − Trong c1 , c2 nghiệm hệ phương trình   −428 c1 − 79 c2 = −278   15  15 c1 = 24 ⇔  c2 = −17  −481 279 −311   c1 − c2 = 12 15 Vậy nghiệm gần toán (3.18) là: y(x) = x + 24 x2 − − 17 x3 − y(x) = −17x3 + 24x2 + x − Bài toán 3.9 Giải toán biên y − xy + 2y + y = −2x + y (0) = −2, Giải Chọn hệ sở y(2) = −4, y (2) − y (0) = (3.19) 62 ϕ0 (x) = −2x, ϕ1 (x) = x2 − 4, ϕ2 (x) = −2x2 + 4x, ϕ3 (x) = x3 (x − 2)2 Hệ {ϕ0 (x), ϕ1 (x), ϕ2 (x), ϕ3 (x)} độc lập tuyến tính thoả mãn điều kiện   ϕ (0) = −2, ϕ (0) = ϕ (0) = ϕ (0) =      ϕ (2) = −4, ϕ (2) = ϕ (2) = ϕ (2) = 0  ϕ0 (2) − ϕ0 (0) = 0, ϕ1 (2) − ϕ1 (0) = 0,      ϕ (2) − ϕ (0) = 0, ϕ (2) − ϕ (0) = 2 3 Đặt L(y) = y − xy + 2y + y; f (x) = −2x + Khi ta tìm L(ϕ0 ) = −2x − L(ϕ1 ) = x2 + 2x − L(ϕ2 ) = −2x2 + L(ϕ3 ) = x6 − 24x5 + 72x4 + 64x3 − 360x2 + 288x − 48 Áp dụng cơng thức tính : (f (x) − L(ϕ0 ))ϕi (x)dx bi = 2 (−2x + + 2x + 4) x2 − dx (f (x) − L(ϕ0 ))ϕ1 (x)dx = b1 = 0 2 7x − 28 dx = = x − 28x = −112 (7) −2x2 + 4x dx (f (x) − L(ϕ0 ))ϕ2 (x)dx = b2 = 0 2 −14x + 28x dx = = x3 −14 + 14x2 x7 − 7x6 + 84 = x − 14x4 Áp dụng công thức : b aik = L(ϕk )ϕi (x)dx ta có a = 56 x6 − 6x5 + 12x4 − 8x3 dx (f (x) − L(ϕ0 ))ϕ3 (x)dx = b3 = 2 = −32 63 2 −x2 + 2x − L(ϕ1 )ϕ1 (x)dx = a11 = 0 x4 + 2x3 − 8x2 + 16 dx = = −2x2 + L(ϕ2 )ϕ1 (x)dx = x2 − dx 0 −2x4 + 12x2 − 32 dx = = 556 15 2 a12 = x2 − dx −224 L(ϕ3 )ϕ1 (x)dx a13 = x6 − 24x5 + 72x4 + 64x3 − 360x2 + 288x − 48 = x2 − dx x8 − 24x7 + 164x5 − 648x4 + 32x3 + 1392x2 − 1152x + 192 dx = = 17152 315 a21 = x2 + 2x − L(ϕ1 )ϕ2 (x)dx = 0 −2x4 + 16x2 − 16x dx = = a22 = −32 15 −2x2 + L(ϕ2 )ϕ2 (x)dx = −2x2 + 4x dx 4x4 − 8x3 − 16x2 + 32x dx = = −2x2 + 4x dx 224 15 a23 = L(ϕ3 )ϕ2 (x)dx x6 − 24x5 + 72x4 + 64x3 − 360x2 + 288x − 48 = −2x2 + 4x dx −2x8 + 52x7 − 240x6 + 160x5 + 976x4 − 2016x3 + 1248x2 − 192x dx = = −1664 315 a31 = x2 + 2x − L(ϕ1 )ϕ3 (x)dx = x6 − 6x5 + 12x4 − 8x3 dx x8 − 4x7 − 4x6 + 40x5 − 64x4 + 32x2 dx = = 256 315 64 2 −2x2 + L(ϕ2 )ϕ3 (x)dx = a32 = x6 − 6x5 + 12x4 − 8x3 dx 0 −2x8 + 12x7 − 16x6 − 32x5 + 96x4 − 64x3 dx = = −1664 315 L(ϕ3 )ϕ3 (x)dx a33 = x6 − 24x5 + 72x4 + 64x3 − 360x2 + 288x − 48 = x6 − 6x5 + 12x4 − 8x3 dx = 7455744 385 Nghiệm gần tốn (3.19))có dạng y(x) = ϕ0 (x) + c1 ϕ1 (x) + c2 ϕ2 (x) + c3 ϕ3 (x) ⇒ y(x) = −2x + c1 x2 − + c2 −2x2 + 4x + c3 x6 − 6x5 + 12x4 − 8x3 Trong c1 , c2 , c3 nghiệm hệ phương trình   556 c1 − 32 c2 + 256 c3 = −112   15  15 315       c1 ≈ 0, 435     −224 224 1664 56 ⇔ c + c2 − c3 = c ≈ 5, 1328   15 315     c ≈ 6, 896      17152 1664 7455744 −32   c1 − c2 + c3 = 315 315 385 Vậy nghiệm gần toán (3.19) là: y(x) = −2x + 0, 435 x2 − + 5, 1328 −2x2 + 4x +6, 896 x6 − 6x5 + 12x4 − 8x3 65 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu hệ thống số phương pháp giải tốn biên với phương trình vi phân thường tuyến tính: phương pháp giải đúng, phương pháp sai phân, phương pháp khử lặp, phương pháp bắn, phương pháp Ritz, phương pháp Galerkin Luận văn nêu ứng dụng phương pháp vào giải số toán biên với phương trình vi phân thường tuyến tính cụ thể Với khả thời gian có hạn, chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong q thầy bạn góp ý để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán tử, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [3] Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung (2009), Bài tập phương trình vi phân, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Thế Hồn, Phạm Phu (2006), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định nghiệm, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [6] Hồng Xn Sính (2008), Đại số đại cương, NXB Giáo dục [7] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục [8] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [9] A.Jeffrey, H.Brezis, and R.G Douglas (1998), Numerical Analysis, by the Springer - Verlag of Berlin 66 67 [10] D.Rusell, M M Mattheij (1995),Numerical Solution of Boundary Value Problems for Odinary Differential Equation, by the Society for Industrial and Applied Mathematics [11] R S Varga (1971), Functional Analysis and Approximation Theory in Numerical Analysis, by SIAM, Philadelphia, Pensylvania [12] V K Ivanov, I V Melnikova, A I Filinkov (1994), Differential operator equations and ill - posed problems, Moscow, Nauka, Main Editorial Board for Literature on Physics and Mathematics [13] S G Krein (1967), Linear diferential equations in Banach spaces, Moscow, Nauka, Main Editorial Board, for Literature on Physics and Mathematic ... cứu phương pháp giải tốn biên phương trình vi phân tuyến tính ta tìm hiểu số vấn đề phương trình vi phân tuyến tính 2.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính Các phương trình vi phân mà biểu thức tuyến. .. Chương Phương pháp giải tốn biên phương trình tốn tử vi phân thường tuyến tính Trước nghiên cứu phương pháp giải toán biên phương trình tốn tử vi phân thường tìm hiểu số vấn đề phương trình vi phân. .. thường tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp giải tốn biên phương trình vi phân thường tuyến tính Phương pháp sai phân Phương pháp khử lặp Phương pháp bắn Phương pháp Ritz Phương pháp