LỜI CẢM ƠN Tôi xin bầy tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến PGS.TS. Lưu Thị Kim Thanh, cô đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học và các thầy cô trong Khoa Vật lý đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành chương trình học và luận văn tốt nghiệp này. Cuối cùng tôi xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn ở bên tôi, cổ vũ, động viên tôi và giúp đỡ tôi vượt qua những khó khăn để hoàn thành luận văn. Hà nội, tháng 11 năm 2011 Tác giả Đỗ Ngọc Thịnh BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ĐỖ NGỌC THỊNH NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT TỪ VÀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG KIM LOẠI LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ HÀ NỘI, 2011 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn này không trùng lặp với các đề tài khác. Tác giả Đỗ Ngọc Thịnh 1 M U Kim loi l loi vt rn cú tớnh dn in tt, dn in vo khng t 10 6 n 10 8 1 m -1 . ú l vỡ trong kim loi cú cha rt nhiu electron cú th chuyn ng t do khp tinh th kim loi. Nu mi nguyờn t cho mt electron thỡ trong 1cm 3 ó cú khong 10 22 electron húa tr, liờn kt rt yu vi cỏc lừi nguyờn t. Chỳng cú th chuyn ng t do trong tinh th tr thnh cỏc ht ti in, quyt nh tớnh dn in ca kim loi, nờn c gi l cỏc electron dn [ 4], [5], [6]. Nu coi mt cỏch n gin rng cỏc in t t do ny khụng tng tỏc vi nhau (núi chớnh xỏc hn l coi rng chỳng ch tng tỏc vi nhau theo mt cỏch duy nht l va chm), thỡ khi ú cỏc in t ny to thnh mt cht khớ lý tng, cũn nu coi cỏc in t ny cú tng tỏc vi nhau thỡ chỳng to thnh mt cht lng. Vic nghiờn cu tớnh cht t v nhit dung ca khớ in t t do trong kim loi ó thu hỳt s quan tõm ca nhiu nh khoa hc trong v ngoi nc c v lý thuyt ln thc nghim. Tựy vo vic dựng hm phõn b no xột khớ in t t do m ta s cú cỏc lý thuyt khỏc nhau [1], [2], [3]: - Lý thuyt Drude, coi cỏc in t t do cú cựng mt giỏ tr nng lng, ta cú h khớ c in n gin nht. - Nu dựng phõn b Maxwell - Boltzmann c in, h khớ in t t do l h khớ c in, c kho sỏt trong Lý thuyt Lorentz. - Lý thuyt Sommerfeld dựng phõn b Fermi - Dirac lng t, h khớ in t t do l h khớ Fermi lý tng. Các tính toán lý thuyết đợc xây dựng đối với mô hình lý tởng, do đó vẫn có những sai khác giữa kết quả lý thuyết và thực nghiệm thu đợc. Khi đó ngời ta thờng dùng các phơng pháp gần đúng để giải quyết. Nhóm lợng tử mà cấu trúc nó là đại số biến dạng phù hợp với nhiều mô hình của vật lý, là một phơng pháp gần đúng của lí thuyết trờng lợng tử. 2 Nhóm lợng tử và đại số biến dạng đợc khảo sát thuận lợi trong hình thức luận dao động tử điều hoà biến dạng. Trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm lợng tử và đại số biến dạng đợc kích thích thêm bởi sự quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với thống kê Bose - Einstein và thống kê Fermi - Dirac nh thống kê para Bose, para - Fermi, thống kê vô hạn, các thống kê biến dạng , với t cách là các thống kê mở rộng [7, 8, 9, 10]. Cho đến nay cách mở rộng đáng chú ý nhất là trong khuôn khổ của đại số biến dạng. Trong quỏ trỡnh hc tp, tụi ó nhn thc c vic nghiờn cu tớnh cht t v nhit dung ca khớ in t t do trong kim loi l mt vic cú ý ngha khoa hc trong nhiu lnh vc ca khoa hc k thut v i sng. Vỡ vy tôi đã chọn đề tài Nghiờn cu tớnh cht t v nhit dung ca khớ in t t do trong kim loi. Mục đích của đề tài là nghiờn cu mt cỏch cú h thng, y v cỏc thuyt nhit dung ca khớ in t t do trong kim loi c c in v lng t; Nghiờn cu cỏc tớnh cht t ca khớ in t t do. Xây dựng phõn b Fermi - Dirac bin dng bằng phơng pháp lí thuyết trờng lợng tử. p dng phõn b Fermi - Dirac bin dng -q kho sỏt h khớ in t t do trong kim loi, tớnh nhit dung v cm t ca khớ in t t do; S dng phn mm toỏn hc tớnh nhit dung i vi mt s kim loi c th, thụng qua vic bin lun tham s bin dng q cho kt qu lý thuyt phự hp tt vi kt qu thc nghim. Cỏc phng phỏp chớnh ca ti l phng phỏp gii tớch toỏn hc, phng phỏp lý thuyt trng lng t v cỏc phng phỏp nghiờn cu ca vt lý cht rn. 3 Chương 1 LÝ THUYẾT VỀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG KIM LOẠI 1.1 Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại Lý thuyết cổ điển về điện tử tự do đã được Drude và Lorentz xây dựng vào khoảng đầu thế kỷ XX. Theo lý thuyết này, lực tương tác giữa các electron hóa trị với các lõi nguyên tử được giả thiết là yếu, không đáng kể. Các electron dẫn được coi như một chất khí lí tưởng tự do, không tương tác. Khi chuyển động, các electron dẫn có thể va chạm với lõi nguyên tử, giữa hai lần va chạm liên tiếp electron chuyển động hoàn toàn tự do. 1.1.1. Lý thuyết Drude Các giả thuyết chính của Drude bao gồm: - Các điện tử tạo thành khí, chuyển động nhiệt hỗn loạn vô hướng. - Tại cùng một nhiệt độ, tất cả các điện tử đều có năng lượng như nhau: kT mv T 2 3 2 2   (với m kT v T 3  ) - Khi có điện trường tác dụng lên hệ thì có thêm thành phần chuyển động có hướng, gọi là cuốn theo hướng của điện trường với tốc độ cuốn là d v , tuy vậy: d v << T v Sau mỗi lần va chạm, điện tử mất hoàn toàn chuyển động có hướng mà nó đã có trước đó. 1.1.2. Lý thuyết Lorentz Theo thuyết electron cổ điển, các electron dẫn trong kim loại được xem như chất khí electron lý tưởng. Các electron tự do tham gia vào chuyển động nhiệt hỗn độn, va chạm với các ion của mạng tinh thể và trao đổi năng lượng với 4 chúng. Lực tương tác giữa các electron này với các lõi nguyên tử được giả thiết là yếu không đáng kể. Khi đó, năng lượng toàn phần của các electron chỉ bao gồm động năng, bỏ qua thế năng. Các electron tự do này tuân theo định luật phân bố vận tốc Maxwell - Boltzmann. . 2 4)( 3        kT m vf   kT mv ev 2 2 2 .  (1.3) Từ hàm phân bố này ta sẽ đi xác định giá trị của vận tốc T v 2 T v =   0 2 .v           0 2 22 3 2 2 4)( dvevv kT m dvvf kT mv   = m kT kT m kT m 3 2 8 3 . 2 4 5 3                  m kT v T 3 (1.4) Động năng trung bình của một phân tử khí: kT mv E T đ 2 3 2 2  Vì động năng trung bình của chuyển động nhiệt của các electron có thể coi là bằng động năng trung bình của các ion trong mạng, nên ta nói mỗi electron có năng lượng là kT đ 2 3   (1.5) 1.1.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại Giả sử có N nguyên tử kim loại, mỗi một ion dao động của mạng tinh thể ứng với một điện tử tự do. Khi đó năng lượng trung của các điện tử tự do trong kim loại bằng RTNkTNE đ 2 3 2 3 .   (1.6) Ở đây N: là hằng số Avôgađrô. 5 k: là hằng số Boltzmann. R: là hằng số khí, R  1,99 Kcall/độ. Vậy nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại là: R dT dE C el 2 3  (1.7) Mặt khác, như ta đã biết đóng góp của dao động mạng tinh thể vào nhiệt dung ở các nhiệt độ cao (từ nhiệt độ phòng trở lên) là: RTNkT ion 33   (1.8) R dT d C ion ion 3  (1.9) Khi đó, nhiệt dung của toàn bộ kim loại bao gồm nhiệt dung của ion và nhiệt dung của điện tử: RRRCCC ionelV 2 9 3 2 3  (1.10) Nhưng thực tế chỉ quan sát thấy RC V 3  đối với mọi chất rắn (định luật Duylong - Petit). Vậy tại các nhiệt độ cao (từ nhiệt độ phòng trở lên) chuyển động của các electron chỉ đóng góp một phần rất nhỏ vào nhiệt dung của kim loại (chỉ vào khoảng 1/100 giá trị trên). Vậy nhiệt dung của kim loại tính theo thuyết electron cổ điển là không phù hợp. Lý thuyết này không chỉ ra được sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung. Do vậy, ta cần sử dụng lý thuyết lượng tử để nghiên cứu. 1.2. Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại Năm 1927, sử dụng các khái niệm cơ học lượng tử cho hệ vĩ mô, Sommerfeld là người đầu tiên đưa ra mô hình khí điện tử tự do đối với kim loại, trong đó sử dụng thống kê Fermi - Dirac thay cho thống kê cổ điển Maxwell - Botltzmann, nhờ đó đã khắc phục được nhiều thiếu sót của mô hình cổ điển của Drude và Lorentz. 6 Hệ các hạt đồng nhất là hệ các hạt có đặc trưng vật lý giống hệt nhau như có cùng khối lượng, điện tích, mômen từ, spin được coi là các hạt đồng nhất. Trong cơ học lượng tử, khái niệm quĩ đạo của các hạt mất hết ý nghĩa. Thực ra, chỉ có thể biết mật độ xác suất ở một vị trí đã cho của hạt thuộc hệ đồng nhất là bao nhiêu. Hơn nữa, ta không thể phân biệt được các hạt trong hệ đồng nhất dù đã đánh dấu chúng. Đó chính là nội dung của nguyên lí không thể phân biệt được các hạt đồng nhất. Theo thuyết lượng tử: - Đối với tất cả các hạt có spin nguyên (gọi chung là các Boson) như photon,  - meson, K-meson thì không bị hạn chế về số hạt cùng nằm trên một mức năng lượng, hàm sóng của hệ là đối xứng, nghĩa là không thay đổi khi hoán vị các hạt. Các hạt Boson tuân theo thống kê Bose - Einstein. - Đối với các hạt có spin bán nguyên (gọi là các hạt Fermion) như electron, proton, neutron, positron thì chỉ có 0 hoặc 1 hạt cùng nằm trên một mức năng lượng (nói cách khác là tất cả các Fermion đều phải có năng lượng khác nhau). Hạn chế này gọi là nguyên lý loại trừ Pauli. Hàm sóng của hệ Fermion là đối xứng, nghĩa là khi hoán vị hai hạt bất kì cho nhau thì hàm sóng của hệ đổi dấu. Các hạt Fermion tuân theo thống kê Fermi - Dirac. 1.2.1 Hình thức luận dao động tử điều hòa Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m, chuyển động dọc theo một trục ox nào đó dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi F=-kx. Toán tử Hammiltonian của dao động tử điều hòa một chiều có dạng 2 2 ˆ 2 1 2 ˆ ˆ xk m p H x  (1.11) Với xx  ˆ là toán tử tọa độ. dx d ip x  ˆ là toán tử xung lượng. m k   là tần số góc của dao động. 7 Thay toán tử tọa độ x ˆ và toán tử xung lượng x p ˆ bằng toán tử tọa độ và xung lượng chính tắc mới pq ˆ , ˆ , dx d m i pp xmqx x    ˆˆ ˆˆ (1.12) Hệ thức giao hoán giữa p ˆ và q ˆ :            dx d m i xmxm dx d m i pqqpqp  )( ˆˆˆˆˆ , ˆ   i dx d xm m i dx d xm m i m m i  (1.13) Từ (1.12) suy ra 2 22 2 2 22 2 ˆˆ ˆ p m dx d dx d m p m q x     (1.14) Thay (1.14) vào (1.11) ta được: ) ˆˆ ( 2 1 ˆ 222 qpH   (1.15) Đặt     aaip aaq ˆˆ 2 ˆ ˆˆ 2 ˆ         (1.16) Khi đó     aaiaaip ˆˆ 2 . ˆˆ 2 ˆ 2       2 ˆˆˆˆˆˆ 2 2 aaaaaa           aaaaq ˆˆ 2 . ˆˆ 2 ˆ 2   8   2 ˆˆˆˆˆˆ 2 2   aaaaaa   Thay 22 ˆ , ˆ qp vào (1.15) ta được                    22 ˆˆˆˆˆˆ . 22 1 ˆˆˆˆˆˆ 22 1 ˆ 222 aaaaaaaaaaaaH     ) ˆˆˆˆ ( 2 ) ˆˆ 2 ˆˆ 2( 4 ˆ   aaaaaaaaH   Dựa vào (1.13) ta xét   pqqpqp ˆˆˆˆˆ , ˆ  =    ) ˆˆ )( ˆˆ ( 22 ˆˆˆˆ 22 aaaaiaaaai                   aaaa i aaaaaaaaaaaa i ˆˆ 2 ˆˆ 2 2 ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 2 22 22   Vậy 1 ˆˆˆˆ 1 ˆˆˆˆ     aaaa aaaa Hay:   1 ˆ , ˆ   aa (1.17) Ta cũng có:             2 1 ˆˆˆˆ 1 ˆˆ 2 ˆˆˆˆ 2 ˆ aaaaaaaaaaH     (1.18) Đặt: aaN ˆˆ ˆ   Xét hệ thức giao hoán giữa toán tử N ˆ với các toán tử aa ˆ , ˆ  .           aaaaaaaaaaaaNaaNaN aaaaaaaaaaaaNaaNaN ˆ ) ˆˆˆˆ ( ˆˆˆˆˆˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ , ˆ ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ , ˆ Vậy: [...]... 2.4 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng lý thuyết biến dạng -q Tương tự như xác định nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại ở phần lý thuyết lượng tử ở trên, ta cũng đi xác định tổng số điện tử tự do và năng lượng toàn phần của khí điện tử tự do ở nhiệt độ T, sau đó xác định nhiệt dụng của khí điện tử tự do khi có biến dạng -q [1], [6], [7] Ta cũng có tổng số điện tử tự. .. về nhiệt dung của khí điện tử rự do trong kim loại, chỉ ra những hạn chế của lý thuyết cổ điển và sự cần thiết phải nghiên cứu nhiệt dung của khí điện tử rự do trong kim loại theo lý thuyết lượng tử Đã nghiên cứu về toán tử sinh hạt, hủy hạt và toán tử số hạt của dao động tử Fermion, xây dựng được thống kê Fermi Dirac bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử, và áp dụng để tính nhiệt dung của khí điện. .. 0    (1.64) Nhiệt dung đẳng tích của khí điện tử tự do trong kim loại là 3 5 2 k 2T  E  el CV   2 2   0 N 12 0  T V 5  2 Nk 2T C  2 0 (1.65) el V Vậy ở nhiệt độ thấp, nhiệt dung của kim loại phụ thuộc vào nhiệt độ dưới dạng CV   T   T 3 Phần tuyến tính T là nhiệt dung của khí điện tử tự do, còn phần T 3 là nhiệt dung của mạng các ion dương Kết luận chương 1 Trong chương này,... các kim loại, còn kT~ 0,03 eV tại các nhiệt độ thông thường, do đó kT ~  F chỉ khi T ~ 105 0K 1.2.3 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại 1.2.3.1 Cách tình gần đúng đơn giản Nhiệt dung của khí điện tử tự do lượng tử tuân theo định luật: 21 el CV ~ T Ta có thể rút ra định luật này từ nguyên lý loại trừ Pauli một cách đơn giản như sau - Nguyên lý Pauli làm cho ngay cả tại 00 K các điện tử cũng... các electron tự do này vẫn có thể di chuyển dễ dàng trong khắp vật thể Nếu bỏ qua tương tác, tập hợp các electron tự do trong kim loại được coi là khí lý tưởng Fermi Electron có khối lượng rất nhỏ ( me ~ 10 31 kg ) , spin của electron s  1 (tính 2 theo đơn vị hằng số Planck  ) Mật độ electron tự do trong kim loại rất lớn (thông thường cỡ 1022 - 1024/cm3) Khí electron tự do trong kim loại tuân theo...  const , không phụ thuộc vào nhiệt độ Ví dụ công thức cổ điển viết cho kim loại kiềm là:   3  3 el NkT  CV   Nk 2 T 2 1.2.3.2 Nhiệt dung của Khí lý tưởng Fermi Trong kim loại, các electron tự do có thể di chuyển dễ dàng trong khoảng không giữa các nút mạng Do đó, tập hợp các electron tự do này được coi là một 22 chất khí Các ion dương ở nút mạng sắp xếp tuần hoàn trong không gian gây ra hiệu... thuyết trường lượng tử, và áp dụng để tính nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại 28 Chương 2 NHIỆT DUNG CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG KIM LOẠI KHI ÁP DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG -q 2.1 Lý thuyết q- số q- số tương ứng với số thông thường x được định nghĩa xq  q x  q x q  q 1 (2.1) với q là một tham số, nếu x là một toán tử ta cũng có định nghĩa giống (2.1) Chú ý rằng q- số là bất biến dưới... V    3 E0   0 N 5 3/ 2 (1.61) Từ kết quả này cho ta thấy rằng, ngay cả ở trạng thái cơ bản (T=00K) khí điện tử vẫn có năng lượng khác 0 2  2  3 2 N  3   Ta có: kT0   0  T0   k 2mk  V    0 26 T0 gọi là nhiệt độ suy biến Ở nhiệt độ TT0 ta có khí điện tử không suy biến Lưu ý đến điều kiện... riêng của toán tử N ứng với trị riêng n, thì ˆ ˆ a n cũng là hàm riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n-1), ˆ ˆ a 2 n cũng là hàm riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n-2), ˆ ˆ a p n là hàm riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n-p) ˆ ˆ Và a  n là hàm riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n+1), 2 ˆ ˆ a  n là hàm riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n+2), P ˆ ˆ a  n là hàm riêng của toán tử. .. lượng tử riêng biệt s   Khí điện tử tự do ở 00K là khí điện tử suy biến hoàn toàn b) Tại T  00K Khi được cung cấp thêm năng lượng từ bên ngoài thì nhiệt độ của hệ sẽ tăng lên Một số electron ở gần mức Fermi bị kích thích nhảy lên các mức năng lượng nằm trên mức Fermi Đến nhiệt độ T0 nào đó, electron ở mức thấp nhất   0 cũng có thể nhảy lên mức Fermi Ta đã biết  F  lim  , nhưng vì đối vời kim loại . THUYẾT VỀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG KIM LOẠI 1.1 Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại Lý thuyết cổ điển về điện tử tự do đã được Drude và Lorentz. 1.1.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại Giả sử có N nguyên tử kim loại, mỗi một ion dao động của mạng tinh thể ứng với một điện tử tự do. Khi đó năng lượng trung của các điện tử tự. lượng tử về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại Năm 1927, sử dụng các khái niệm cơ học lượng tử cho hệ vĩ mô, Sommerfeld là người đầu tiên đưa ra mô hình khí điện tử tự do đối với kim