BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 CUNG THỊ HƯỜNG ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học: TS. Cung Thế Anh Hà Nội -2011 1 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Cung Thế Anh. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới TS. Cung Thế Anh. Sự tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình học tập và làm luận văn đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều về cách tiếp cận một vấn đề mới. Cảm ơn các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích đã nhiệt tình cung cấp các tri thức khoa học giúp tác giả nâng cao trình độ tư duy, hoàn thành tốt quá trình học tập và làm luận văn. Tác giả cũng xin được cảm ơn tới Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp ở trường THPT Quang Minh đã quan tâm giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả yên tâm học tập trong suốt hai năm vừa qua. Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên kịp thời để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 10 năm 2011 Tác giả 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 10 năm 2011 Tác giả 3 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tiến hóa cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.Giới thiệu toán tử A và nửa nhóm e tA . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.Phương trình tiến hóa cấp hai và định nghĩa nghiệm tích phân của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.Sự tồn tại nghiệm của phương trình tiến hóa cấp hai 16 1.3.1. Sự tồn tại địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2. Sự tồn tại toàn cục và tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 2. Sự tồn tại và các tính chất của đa tạp quán tính 20 2.1.Định nghĩa đa tạp quán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.Sự tồn tại và các tính chất của đa tạp quán tính . . . 28 2.3.Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.1. Ví dụ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.2. Ví dụ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 KẾT LUẬN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các hệ động lực vô hạn chiều là một trong những bài toán cơ bản của vật lý toán hiện đại. Một trong những cách tiếp cận bài toán này đối với các hệ động lực tán xạ vô hạn chiều, sinh bởi các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hoặc các phương trình vi phân hàm, là nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của tập hút toàn cục. Đó là một tập compact, bất biến, hút mọi tập bị chặn và chứa nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của nghiệm của hệ động lực đang xét. Nếu một hệ động lực vô hạn chiều có một tập hút toàn cục với số chiều hữu hạn thì có thể đưa việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của hệ động lực đang xét về việc khảo sát các tính chất của một hệ động lực hữu hạn chiều. Tuy nhiên vì cấu trúc của tập hút toàn cục rất phức tạp, nó không thể mô tả chi tiết được trong những trường hợp quan trọng nhất, nên việc kiến thiết các hệ động lực hữu hạn chiều này không thể tiến hành được. Ngoài ra, tập hút toàn cục thường không ổn định đối với các nhiễu và tốc độ hút các nghiệm vào tập hút toàn cục thường rất chậm. Bởi các lí do trên, các nhà toán học đã đưa ra một khái niệm mới là khái niệm đa tạp quán tính của các hệ động lực vô hạn chiều, ( xem [4]). Đa tạp quán tính là một đa tạp bất biến hữu hạn chiều, nó chứa tập hút toàn cục và hút các quỹ đạo nghiệm theo tốc độ mũ. Hơn nữa, có thể chuyển việc nghiên cứu các hệ động lực vô hạn chiều ban đầu về 5 việc nghiên cứu một hệ phương trình vi phân thường trên đa tạp quán tính. Hiện nay việc nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của đa tạp quán tính của các hệ động lực vô hạn chiều là một chủ đề thời sự thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước, ( xem [1] - [10]). Chính vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: "Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình tiến hóa cấp 2". 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm của một lớp phương trình tiến hóa cấp 2 (theo biến thời gian) có dạng:        d 2 u dt 2 + 2ε du dt + Au = B(u, t) , t > s, ε > 0 u| t=s = u 0 , du dt     t=s = u 1 trong đó A là toán tử tự liên hợp dương với phổ rời rạc và B(·, ·) là một ánh xạ từ D(A θ ) ×R vào H, 0 ≤ θ ≤ 1/2, thỏa mãn các tính chất: B(0, t) ≤ M 0 B(u 1 , t) − B(u 2 , t) ≤ M 1 A θ (u 1 − u 2 ) với mọi u 1 , u 2 thuộc miền xác định F θ = D(A θ ) của toán tử A θ , ·  là chuẩn của không gian H. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm tích phân toàn cục. • Nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của đa tạp quán tính. • Xây dựng một số ví dụ minh họa kết quả của luận văn. 6 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tiến hóa cấp 2, sinh bởi các phương trình hyperbolic phi tuyến. • Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại và các tính chất của đa tạp quán tính. 5. Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng phương pháp nửa nhóm để chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm tích phân. • Sử dụng phương pháp Lyapunov - Perron để chứng minh sự tồn tại của đa tạp quán tính. 6. Những đóng góp của đề tài • Chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm tích phân toàn cục. • Nghiên cứu được sự tồn tại và các tính chất của đa tạp quán tính. • Xây dựng được một số ví dụ minh họa kết quả của luận văn. 7 Chương 1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tiến hóa cấp hai Trong chương này chúng tôi sẽ phát biểu bài toán và chứng minh các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tiến hóa cấp hai trong một không gian Hilbert tách được H. Trước tiên ta xem xét một số kiến thức bổ trợ đóng vai trò quan trọng trong các phần tiếp sau đó. 1.1. Giới thiệu toán tử A và nửa nhóm e tA Định nghĩa 1.1.1. Giả sử H là không gian Hilbert khả ly với tích vô hướng (·, ·) và chuẩn  · . Cho A là toán tử tuyến tính dương tự liên hợp với miền xác định D(A). Khi đó toán tử A được gọi là có phổ rời rạc nếu trong không gian H tồn tại một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng {e k } (e k , e j ) = δ kj , Ae k = λ k e k , k, j = 1, 2, , (1.1.1) 8 sao cho 0 < λ 1 ≤ λ 2 ≤ . . . , lim k→∞ λ k = ∞. (1.1.2) Cấu trúc được nói đến ở trên của toán tử A giúp ta định nghĩa toán tử f(A) cho một lớp rộng các hàm f(λ) xác định trên nửa trục dương như sau: D(f(A)) =  h = ∞  k=1 c k e k ∈ H : ∞  k=1 c 2 k [f(λ k )] 2 < ∞  , f(A)h = ∞  k=1 c k f(λ k )e k , h ∈ D(f(A)). (1.1.3) Đặc biệt, ta có thể định nghĩa toán tử A α với α ∈ R như sau D(A α ) =  h = ∞  k=1 c k e k ∈ H : ∞  k=1 c 2 k [λ α k ] 2 < ∞  , A α h = ∞  k=1 c k λ α k e k , h ∈ D(A α ). Với α = −β < 0 thì các toán tử này bị chặn. Tuy nhiên, trong trường hợp này, việc giới thiệu các ”miền tuyến tính” D(A α ) cũng thuận tiện nếu ta xem D(A −β ) như một sự bổ sung của không gian H với việc thừa nhận chuẩn A −β . Ta có một số tính chất sau của toán tử A α : i. Với bất kỳ β ∈ R toán tử A β là một toán tử bị chặn từ D(A α ) vào D(A α−β ) sao cho A β D(A α ) = D(A α−β ), A β 1 +β 2 = A β 1 .A β 2 . (1.1.4) ii. Không gian F α ≡ D(A α ) là một không gian Hilbert khả ly với tích vô hướng (u, v) α = (A α u, A α v) và chuẩn |u α = A α u. 9 Định nghĩa 1.1.2. Tập hợp các không gian Hilbert thỏa mãn các tính chất: 1. F α trù mật trong F β với mọi α > β; 2. Với σ > 0 và f ∈ F σ thì hàm tuyến tính F (g) ≡ (f, g) có thể thác triển liên tục được từ không gian H lên F −σ , và |(f, g)| ≤ f σ .g −σ , với bất kỳ f ∈ F σ và g ∈ F −σ ; 3. Bất kỳ hàm tuyến tính liên tục F trên F σ đều có dạng: F (f) = (f, g), với g ∈ F −σ . Như vậy, F −σ là không gian các hàm tuyến tính liên tục trên F σ , thường được gọi là thang của các không gian Hilbert, ký hiệu là {F σ } Trong thang {F σ } ta xác định toán tử e −tA , t ≥ 0 dựa vào các biểu thức (1.1.3) như sau: e −tA h = ∞  k=1 c k e −tλ k e k , h = ∞  k=1 c k e k ∈ {F σ }. Các tính chất sau đây của toán tử e −tA đóng vai trò quan trọng trong các vấn đề xét đến về sau: ◦ Với bất kỳ α ∈ R và t > 0, toán tử tuyến tính e −tA ánh xạ F α vào  σ≥0 F σ có tính chất: e −tA u α ≤ e −tλ 1 u α . ◦ (Tính chất nửa nhóm) e −t 1 A .e −t 2 A = e −(t 1 +t 2 )A , t 1 , t 2 ≥ 0. ◦ Với mọi u ∈ F σ và σ ∈ R thì lim t→τ e −tA u −e −τA u = 0. (1.1.5) [...]... : p ∈ P H, (2. 1 .23 ) trong đó s e−(t−τ )A QB(V (τ ), τ )dτ, Φ(p, s) = −∞ V (τ ) là một nghiệm của phương trình tích phân (2. 1.18) (2. 1 .24 ) 28 2. 2 Sự tồn tại và các tính chất của đa tạp quán tính Dưới đây là một số định lý quan trọng về sự tồn tại và tính chất của đa tạp quán tính Định lý 2. 2.1 Giả sử rằng 2 > µN +1 và λ− +1 − λ− ≥ N N với mỗi 0 < q < 1, ở đó λ− = ε − k 4KN q (2. 2 .25 ) 2 − µk và KN... nếu giả sử rằng √ 8 2 µN +1 − µN ≥ M1 µθ +1 N q (2. 2.43) 34 thì với điều kiện (2. 2. 42) đủ để khẳng định rằng 2 N +1 ≤ 2 ≤ 2 N +1 + µN (2. 2.44) Do đó, nếu điều kiện (2. 2.43) và (2. 2.44) được thỏa mãn thì khẳng định của định lý 2. 2.1 có hiệu lực đối với bài toán (1 .2. 11) Với khả năng này chúng tôi đưa vào các điều kiện khẳng định sự tồn tại đa tạp quán tính như sau Định lý 2. 2 .2 Giả sử rằng các giá... (1 .2. 22) Nhân vô hướng (1 .2. 22) với um (t) ta có ˙ d um (t), um (t) +2 (um (t), um (t)) + (Aum (t), um (t)) = (Pm h(t), um (t)), ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ dt suy ra 1d um (t) ˙ 2 dt 2 2 + 2 um (t) ˙ + 1 d 1 /2 A um (t) 2 dt 2 = (Pm h(t), um (t)) ˙ Lấy tích phân từ s đến t cả hai vế ta có: t 1 2 um (t) ˙ 2 + A1 /2 um (t) 2 + 2 um (τ )dτ ˙ s t 1 = 2 Pm u1 2 + A1 /2 Pm u0 2 + (h(τ ), um (τ )dτ ˙ s t 1 ≤ 2 u1 2 + A1 /2. .. u0 2 1 + 8ε t |h(τ ) |2 dτ + 2 s um (τ ) 2 dτ ˙ s Do đó um (t) ˙ 2 + A1 /2 um (t) 2 ≤ u1 2 + A1 /2 u0 2 + 1 h(t) 4ε Mặt khác, từ phương trình ta có um (t) = 2 um (t) − Aum (t) + Pm h(t), ¨ ˙ từ đó suy ra A−1 /2 um (t) = 2 A−1 /2 um (t) + A1 /2 um (t) + Pm A1 /2 h(t) ¨ ˙ Do D(A1 /2 ⊂ H ⊂ D(A−1 /2 )) và h(t) ∈ L∞ (R, H) nên A−1 /2 um (t) ≤ 2 C um (t) + A1 /2 um (t) + h(t) ¨ ˙ (1 .2. 24) 15 Do đó và do (1 .2. 24)... đây W (t) là một nghiệm của phương trình tích phân (2. 2.30) ) Ta có thể thực hiện việc này bằng cách sử dụng tính bất biến của tập {M t }, và việc đẳng thức (2. 2.31) tương đương với U ∗ (s) ∈ M s Định lý được chứng minh Chúng ta phân tích điều kiện (2. 2 .25 ) Phương trình (2. 1.17) kéo theo điều kiện (2. 2 .25 ) được thỏa mãn nếu 2 ≥ 2 N +1 , µN +1 − µN 2 2 − µN 4 θ−1 /2 ≥ M1 µN +1 q (2. 2. 42) Tuy nhiên,... qe−γ(t−s)||W − W||s,+ (2. 2.38) + ¯ với bất kỳ W, W ∈ Cs Từ (2. 2.31), (2. 2. 32) và (2. 2 .26 ) ta được +∞ |q(W ) + QU0 − Φ(P U0 , s)| ≤ qKN 1−q | | |e−(s−τ )A P |e−γ(τ −s) dτ.||W||s,+ s Từ đó, (2. 2.34) chỉ ra rằng |q(W )| ≤ |QU0 − Φ(P U0 , s)| + q2 | ||W||s,+ 2( 1 − q) (2. 2.39) 33 Tương tự, ta có ¯ |q(W ) − q(W )| ≤ q2 ¯| ||W − W||s,+ 2( 1 − q) (2. 2.40) Và từ (2. 2.37) - (2. 2.40) suy ra q 2 q | | ||B+ [W ]||s,+... toán (1 .2. 11) là hàm U (t) ≡ (u(t); u(t)) ∈ C([s, s + T ]; H) thỏa mãn phương trình tích phân ˙ t U (t) = e−(t−s)A U0 + e−(t−s)A B(U (τ ), τ )dτ (1 .2. 28) s (1 .2. 29) trên [s, s + T ] Ở đó B(U (t), t) = 0; B(u(t), t) và U0 = (u0 ; u1 ); H = D(A1 /2 ) × H 1.3 Sự tồn tại nghiệm của phương trình tiến hóa cấp hai Theo (1 .2. 14) phương trình tiến hóa cấp hai có thể viết lại dưới dạng phương trình cấp một; trong... i = 1, 2 Bổ đề 2. 1.1 Ước lượng 1 2 − µN Aθ u0 , U = (u0 ; u1 ) ∈ H1 θ µN 1 |U |2 ≥ θ δN,ε Aθ u0 , U = (u0 ; u1 ) ∈ H2 , µN +1 |U |1 ≥ (2. 1.3) (2. 1.4) với 0 ≤ θ ≤ 1 /2 Trong đó δN,ε = √ µN +1 min 1, 2 − µN +1 µN +1 (2. 1.5) 22 Chứng minh Lấy U = (u0 ; u1 ) ∈ H1 Hiển nhiên trong trường hợp này Aθ u0 ≤ µβ u0 với mọi β > 0 Do đó, N |U |2 ≥ 2 u0 1 2 − A1 /2 u0 2 ≥ µ 2 ( 2 − µN ) Aθ u0 2 , N nghĩa là... ngược lại sẽ có một dãy con {N (kj )} sao cho µN (kj ) < 2( µN (kj +1)+1 − µN (kj )+1 ) Nhưng điều đó không thể được do (2. 2.45) Do đó, với mọi ε ≥ ε0 tồn tại N = Nε sao cho các bất đẳng thức (2. 2.43) và (2. 2.44) cũng như (2. 2 .25 ) được thỏa mãn 35 2. 3 Ví dụ áp dụng Sau đây là một số ví dụ áp dụng: 2. 3.1 Ví dụ 1 Xét bài toán Cauchy - Dirichlet đối với phương trình truyền sóng tắt dần  2 ∂u ∂ 2 u ∂ u ... đề Gronwall, ta thấy: W (t) ≤ eM (t−s) W (s) ≤ C(M, T ) W (s) , với mọi t Do đó, phương trình có duy nhất nghiệm trên mọi đoạn [s, s + T ] 20 Chương 2 Sự tồn tại và các tính chất của đa tạp quán tính 2. 1 Định nghĩa đa tạp quán tính Theo các chứng minh ở chương 2, trong không gian H tồn tại một họ các toán tử tiến hóa liên tục S(t, s) có tính chất S(t, t) = I, S(t, τ ) ◦ S(τ, s) = S(t, s), và S(t, s)U0 . " ;Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình tiến hóa cấp 2& quot;. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm của một lớp phương trình tiến hóa cấp 2 (theo. 18 Chương 2. Sự tồn tại và các tính chất của đa tạp quán tính 20 2. 1.Định nghĩa đa tạp quán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2. 2.Sự tồn tại và các tính chất của đa tạp quán tính. NỘI 2 CUNG THỊ HƯỜNG ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học: TS. Cung Thế Anh Hà Nội -20 11 1 LỜI