Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS. TS Hà Tiến Ngoạn. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình làm luận văn đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập và hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Tác giả Nguyễn Mạnh Linh Lời cam đoan Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Tác giả Nguyễn Mạnh Linh Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Định lý đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính . . . 8 1.2.1. Toán tử vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Công thức tích phân từng phần. . . . . . . . . . . . 9 1.2.3. Khái niệm nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng 9 1.2.4. Điều kiện cần để tồn tại nghiệm yếu . . . . . . . . 10 1.2.5. Điều kiện đủ để tồn tại nghiệm yếu. . . . . . . . . 11 1.3. Toán tử làm trơn Friedrichs . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Không gian Sobolev H s (R n ) . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.1. Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.2. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Chương 2. Độ trơn nghiệm yếu của phương trình với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1. Sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình với hệ số hằng. . . 28 2.2. Điều kiện cần để mọi nghiệm yếu là khả vi liên tục . . . . . 32 2.3. Độ trơn nghiệm yếu của phương trình elliptic. . . . . . . 36 1 2.4. Độ trơn của nghiệm phương trình hypoelliptic. . . . . . 40 2.4.1. Khái niệm toán tử hypoelliptic . . . . . . . . . 40 2.4.2. So sánh các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4.3. Định lý về độ trơn của nghiệm phương trình hypoelliptic 46 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Trong thực tế, các nghiệm của phương trình đạo hàm riêng mô tả các các quá trình trong tự nhiên và kỹ thuật thường là các nghiệm yếu, tức là các hàm không có tính khả vi. Vấn đề được đặt ra là đối với các lớp phương trình nào thì các nghiệm yếu này sẽ trở thành các nghiệm cổ điển, thậm chí là khả vi vô hạn. Người ta đã phát hiện ra rằng các toán tử tương ứng của các phương trình có tính chất này sẽ là các toán tử elliptic và hypoelliptic. Vì vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là “Độ trơn của nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng”. Tài liệu tham khảo chính của luận văn là chương 2 của cuốn sách chuyên khảo [3]. 2. Mục đích nghiên cứu Mô tả lý thuyết độ trơn của nghiệm yếu đối với các lớp phương trình elliptic và hypoelliptic. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Khái niệm nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng. - Điều kiện cần để mọi nghiệm yếu là khả vi liên tục. - Lớp toán tử elliptic và hypoelliptic. - Các định lý về so sánh. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nội dung chủ yếu của luận văn là nghiên cứu độ trơn của nghiệm yếu, các toán tử elliptic và hypoelliptic, định lý về độ trơn. Luận văn gồm hai chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị như: Định lý đồ thị đóng, nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, toán tử làm trơn Friedrichs, không gian Sobolev H s (R n ). Chương 2 là nội dung chính của luận văn, trong đó trình bày sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình với hệ số hằng, điều kiện cần để mọi nghiệm yếu là khả vi liên tục, độ trơn nghiệm yếu của phương trình elliptic, độ trơn của nghiệm phương trình hypoelliptic. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết: thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được một nghiên cứu tổng quan về độ trơn của nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng. 6. Những đóng góp mới của đề tài Tổng quan về lý thuyết độ trơn của nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng và lớp toán tử elliptic và hypoelliptic. 4 Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ 1.1. Định lý đồ thị đóng Định nghĩa 1.1. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y. Ta gọi đồ thị của toán tử A, ký hiệu là G A , là tập G A = {(x, Ax) ∈ X × Y ; x ∈ D(A) ⊂ X} ⊂ X × Y. Nếu đồ thị G A của toán tử A là tập đóng trong không gian X × Y thì A được gọi là toán tử đóng, tức là nếu x n → x trong X, x n ∈ D(A), A(x n ) → y trong Y, thì x ∈ D(A) và y = A(x). Định lý 1.1. Giả sử A là toán tử tuyến tính từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y xác định khắp nơi trên X và A là toán tử đóng. Khi đó tồn tại hằng số C sao cho Ax ≤ C x , ∀x ∈ X. (1.1) Chứng minh. Giả sử D là tập hợp các phần tử y ∈ Y sao cho tồn tại y ∗ ∈ X thỏa mãn (y, Ax) = (y ∗ , x), x ∈ X. (1.2) 5 Dễ thấy D là không gian con của Y. Ta đi chứng minh y ∗ là duy nhất. Thật vậy, giả sử tồn tại phần tử z ∈ X thỏa mãn (y, Ax) = (z, x), x ∈ X. Khi đó, ((y ∗ − z) , x) = 0, x ∈ X. Lấy x = y ∗ − z, suy ra y ∗ − z = 0, chứng tỏ z = y ∗ . Ta đi chứng minh tồn tại hằng số C sao cho: y ∗  ≤ C y , y ∈ D. (1.3) Thật vậy, giả sử tồn tại dãy {y n } các phần tử của D sao cho khi n → ∞ thì y = 1, y ∗ n  → ∞. (1.4) Đặt F n (x) = (Ax, y n ) = (x, y ∗ n ). Vì |F n (x)| ≤ y ∗ n  x , nên với mỗi n ta có F n (x) là phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên X. Mặt khác, |F n (x)| ≤ Ax y n  = Ax , chứng tỏ rằng với mỗi x ta có sup n |F n (x)| ≤ Ax < ∞. Ta áp dụng Định lý Banach-Steinhaus (xem [3], tr.19) đối với dãy {F n } , khi đó tồn tại hằng số C sao cho |F n (x)| ≤ C x , x ∈ X, 6 hay |(x, y ∗ n )| ≤ C x , x ∈ X. Chọn x = y ∗ n , ta được y ∗ n  2 ≤ C y ∗ n  hay y ∗ n  ≤ C. Điều này mâu thuẫn với (1.4). Vậy y ∗  ≤ C y , y ∈ D. Giả sử H là tập hợp các cặp phần tử sắp thứ tự {x, y} , trong đó x ∈ X, y ∈ Y. Ta định nghĩa α {x, y} = {αx, αy} , {x 1 , y 1 } + {x 2 , y 2 } = {x 1 + x 2 , y 1 + y 2 } , ({x 1 , y 1 } , {x 2 , y 2 }) = (x 1 , x 2 ) + (y 1 , y 2 ) . Khi đó H trở thành không gian Hilbert và gọi là tích Descartes của X và Y, ký hiệu là X × Y. Ta thấy đồ thị G A của A là không gian con đóng của H. Thật vậy, giả sử {x n , Ax n } → {x, y} thuộc H; khi đó x n → x thuộc X, Ax n → y thuộc Y và theo giả thiết Ax = y, suy ra {x, y} ∈ G A . Ta cũng lưu ý rằng G ⊥ A là tập hợp các phần tử của H có dạng {−y ∗ , y} , với y ∈ D. Theo phương trình (1.2) rõ ràng các phần tử như vậy thuộc G ⊥ A và nếu {z, y} ∈ G ⊥ A thì (z, x) + (y, Ax) = 0, x ∈ X. Suy ra y ∈ D và z = −y ∗ . Giả sử D = Y , khi đó tồn tại w = 0 thuộc Y sao cho  w, D  = 0 (xem [3], Hệ quả 1.4) .Do vậy với ∀y ∈ D ta có ({0, w} , {−y ∗ , y}) = − (0, y ∗ ) + (w, y) = 0. Điều này chứng tỏ rằng phần tử {0, w} thuộc  G ⊥ A  ⊥ . Vì không gian con của  G ⊥ A  ⊥ là G A (xem [3], Bổ đề 1.7), do đó tồn tại x ∈ X thỏa mãn 7 {x, Ax} = {0, w} . Nếu x = 0 thì Ax = 0 suy ra w = 0. Điều này mâu thuẫn với điều giả sử D = Y . Vậy D = Y. Nếu (1.1)không thỏa mãn thì tồn tại dãy {x n } các phần tử thuộc X sao cho khi n → ∞ ta có x n  = 1, Ax n  → ∞ trong Y. (1.5) Khi đó theo (1.2),(1.3) và (1.5) suy ra |(y, Ax n )| = |(y ∗ , x n )| ≤ y ∗  x n  ≤ C y , ∀y ∈ D. Nếu y là phần tử bất kỳ của Y thì tồn tại dãy {y k } các phần tử của D hội tụ đến y theo chứng minh trên. Vì |(y k , Ax n )| ≤ C y k  , k = 1, 2 nên chuyển qua giới hạn, với mỗi n ta được |(y, Ax n )| ≤ C y , y ∈ Y. Đặt y = Ax n , ta có Ax n  2 ≤ C Ax n  hay Ax n  ≤ C. Điều này mâu thuẫn với (1.5). Định lý được chứng minh.  1.2. Nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính 1.2.1. Toán tử vi phân tuyến tính Giả sử toán tử A được xác định như sau: A =  |µ|≤m a µ (x)D µ , x ∈ Ω ⊂ R n , (1.6) 8 [...]... thỏa mãn |Jε v|s ≤ cs (Hằng số cs không phụ thuộc vào ε.) 26 (1.56) Chứng minh Giả sử k ≥ 0, k ∈ Z và k ≥ s Khi đó bất đẳng thức (1 + |ξ|)s ≤ K |ξ µ | |µ|≤k kết hợp với (1.20),(1.24) và (1.44) suy ra |Dµ Jε v|0 ≤ K |Jε v|s ≤ K |µ|≤k Dµ v |µ|≤k Bổ đề được chứng minh 27 Chương 2 Độ trơn nghiệm yếu của phương trình với hệ số hằng 2.1 Sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình với hệ số hằng Trong chương trước... thức của ζk thì ta có P (D)ei(ζ,x) = P (ζ)ei(ζ,x) (2.17) Do đó hàm u = ei(ζ,x) là nghiệm của phương trình P (D)u = 0 (2.18) nếu ζ là nghiệm của phương trình P (ζ) = 0 (2.19) Vì phương trình (2.19) luôn có nghiệm phức nên phương trình (2.18) luôn có nghiệm trơn Tuy nhiên, điều đó không loại trừ khả năng (2.18) có thể có nghiệm yếu không thuộc C m (Ω) Vậy P (ζ) phải thỏa mãn điều kiện nào để mọi nghiệm. .. (1.9) Ω trong đó A là toán tử liên hợp của toán tử A được xác định theo (1.7) 1.2.3 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng Xét phương trình Au = f (1.10) trong đó f ∈ L2 (Ω) Xuất phát từ công thức (1.9) với ϕ(x) thay bởi ϕ(x) ta phát biểu khái 9 niệm nghiệm yếu của (1.10) như sau Định nghĩa 1.2 Hàm u(x) ∈ L2 (Ω) được gọi là nghiệm yếu của phương trình nếu ∞ (u, A ϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C0 (Ω),... (ξ) = constant = 0 Định lý 2.1 được chứng minh Định lý 2.2 Nếu toán tử A có các hệ số là hằng, Ω là miền bị chặn bất kỳ và f ∈ L2 (Ω) thì phương trình Au = f có một nghiệm yếu Chứng minh Vì A có các hệ số là hằng số nên A cũng có các hệ số là hằng số Ta có aµ D µ ¯ A = |µ|≤m Áp dụng Định lý 2.1 đối với A suy ra tồn tại hằng số C sao cho ∞ ϕ ≤ C A ϕ , ∀ϕ ∈ C0 (Ω) (2.14) Do f ∈ L2 (Ω) nên theo Bất đẳng... điều kiện cần và đủ để phương trình Au = f có nghiệm yếu trong miền Ω Giả sử A là toán tử với hệ số hằng aµ Dµ , aµ ∈ C A= (2.1) |µ|≤m Định lý 2.1 Nếu toán tử A có các hệ số là hằng thì với mỗi miền Ω bị chặn tồn tại một hằng số C sao cho ∞ ϕ ≤ C Aϕ , ϕ ∈ C0 (Ω), (2.2) trong đó là chuẩn trong L2 (Ω) µ µ Chứng minh Giả sử ξ = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) ∈ Rn và đặt ξ µ = ξ1 1 · · · ξn n , với µ = (µ1 , µ2 , ,... mọi nghiệm yếu của phương trình (2.18) thuộc C m (Ω)? Để trả lời câu hỏi này chúng ta xét định lý sau: Định lý 2.3 Điều kiện cần để mọi nghiệm yếu của phương trình (2.18) thuộc C 1 (Ω) là: ∃C0 > 0, R > 0 sao cho ∀ζ ∈ Cn thỏa mãn phương trình P (ζ) = 0, ta có |ζ| ≤ C0 e4R|Imζ| 33 (2.20) Chứng minh Giả sử W là tập hợp tất cả các nghiệm yếu của phương trình (2.18), tức là tập hợp tất cả các hàm u ∈ L2 (Ω)... 1.2.5 Điều kiện đủ để tồn tại nghiệm yếu Định lý 1.3 Nếu bất đẳng thức (1.12) được thỏa mãn thì phương trình (1.10) có nghiệm yếu Chứng minh Giả sử W là tập hợp các hàm w ∈ L2 (Ω) sao cho tồn tại ∞ một hàm ϕ ∈ C0 (Ω) thỏa mãn A ϕ = w (1.13) Dễ thấy W là không gian con của L2 (Ω) Với w ∈ W, ta đặt F w = (ϕ, f ), (1.14) trong đó f là hàm cho trước trong phương trình (1.10), ϕ là hàm bất kỳ ∞ thuộc C0 (Ω)... |µ| = µ1 + µ2 + · · · + µn , ∂ µ µ µ Dµ = D1 1 D2 2 Dnn , Dj = −i , aµ (x) là các hàm số trơn vô hạn nhận ∂xj giá trị phức được cho trước và được gọi là các hệ số của toán tử A Với mọi hàm u1 , u2 và mọi số thực α1 , α2 ta có: A(α1 u1 + α2 u2 ) = α1 Au1 + α2 Au2 Khi đó A là toán tử vi phân tuyến tính Toán tử liên hợp của A, ký hiệu là A , được xác định như sau: Dµ (¯µ (x)v) a Av = (1.7) |µ|≤m 1.2.2... hợp của toán tử A Nhận xét 1.1 Giả sử u ∈ C m (Ω) và là nghiệm yếu của phương trình (1.10) Khi đó nó là nghiệm cổ điển, tức là thỏa mãn phương trình tại mọi điểm x ∈ Ω Chứng minh Từ (1.11) và công thức tích phân từng phần ta suy ra ∞ (Au − f ) ϕ(x)dx = 0, ∀ϕ ∈ C0 (Ω) Ω Từ đó suy ra Au(x) = f (x), ∀x ∈ Ω 1.2.4 Điều kiện cần để tồn tại nghiệm yếu Định lý 1.2 Điều kiện cần để phương trình (1.10) có nghiệm. .. thể chứng tỏ rằng v = Gk Fk v, 1 ≤ k ≤ n, v ∈ S, (1.31) thì ta suy ra phương trình (1.30) Nhưng phương trình (1.31) có dạng tương tự phương trình (1.30) Một cách tương tự, phương trình (1.29) được suy ra từ ∞ 1 vwdxk = 2π −∞ ∞ Fk vFk wdξk , 1 ≤ k ≤ n, v, w ∈ S −∞ áp dụng với mỗi k Do đó, ta có thể giả sử n = 1 Để chứng minh phương trình (1.28), ta đặt 1 GR (x) = 2π 1 = 2π 1 = 2π R eixξ F vdξ −R R ∞ . độ trơn của nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng. 6. Những đóng góp mới của đề tài Tổng quan về lý thuyết độ trơn của nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ. nghiệm yếu của phương trình với hệ số hằng, điều kiện cần để mọi nghiệm yếu là khả vi liên tục, độ trơn nghiệm yếu của phương trình elliptic, độ trơn của nghiệm phương trình hypoelliptic. 5. Phương. đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là Độ trơn của nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng . Tài liệu tham khảo chính của luận văn là chương 2 của cuốn sách chuyên khảo [3]. 2.