Đang tải... (xem toàn văn)
tìm trị riêng và vectơ riêng của ma trận
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận =============================================================== Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội ============================================================ 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI KHOA TOÁN TIN ỨNG DỤNG TIỂU LUẬN Đề tài: Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển Sinh viên thực hiện : Lê Xuân Đại Lớp: Toán-Tin 2-k51. Hà Nội, tháng 11 năm 2009 Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận ============================================================ 2 Phần A : Mở Đầu I – Maple là gì? Maple là một phần mềm tính toán do hang Maple Soft,một bộ phận của liên hợp công ty Waterloo Maple phát triển. Cho đến nay Maple đã được phát triển qua nhiều phiên bản khác nhau và ngày càng hoàn thiện. Với phần mềm Maple, chúng ta có thể : - Thực hiện tính toán khối lượng lớn , với thời gian nhanh và độ chính xác cao. - Sử dụng các gói chuyên dụng của Maple để giải các bài toán cụ thể như : vẽ đồ thị (gói plot),hình học giải tích (gói geometry),đại s ố tuyến tính(gói linalg), … - Ngoài ra với ngôn ngữ lập trình Maple người dùng có thể tập hợp các thao tác lại và soạn thảo thành một chương trình, một modul để giải các bài toán đặt ra. - V v… II – Nói qua về đề tài a- Yêu cầu của bài toán : Cho ma trận vuông cấp n ; Sử dụng Maple để tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận A với hai phương pháp Đanhilepski và A.N-Cờrưlốp . b- Các bước thực hiên : - Khái niệm về trị riêng và vecto riêng của ma trận . - Trị riêng và vecto riêng của các ma trận đồng dạng. - Phương pháp Đanhilepski . - Phương pháp A.N-Cờrưlốp. - Một số ví dụ được giải bằng Maple. - Các gói thủ tục và hàm được sử dụng. =============================================================== Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận ============================================================ 3 Phần B : Nội Dung I- Cơ sở lý thuyết 1.Khái niệm về trị riêng và vecto riêng Cho ma trận vuông cấp n; Hãy tìm vecto X ≠ Ø thỏa mãn điều kiện: AX = λ X (1) Số λ thỏa mãn (1) để tồn tại vecto X ≠ Ø ,được gọi là trị riêng,còn vecto riêng X ≠ Ø tương ứng với λ để (1) thỏa mãn,gọi là vecto riêng. Ý nghĩa của bài toán (1) là , với vecto Y ≠ Ø, thì nói chung các vecto AY và Y không có tỷ lệ với nhau.Nhưng nếu có λ để thỏa mãn AX = λ X (X ≠ Ø ) thì AX và X tỷ lệ với nhau theo hệ số tỷ lệ là λ. Từ (1) ta có : (A- λE)X = 0 (2) Để tồn tại X ≠ Ø thỏa mãn (2) thì điều kiện là : det(A- λE) = | A- λE | =0 (3) Đa thức P(λ) = | A- λE | gọi là đa thức đặc trưng. Giải (3) ta được các trị riêng λ,ứng với λ giải phương trình (2) ta được các vecto riêng X ≠ Ø tương ứng. Tuy vậy, số lượng các phép tính để tính đa thức đặc trưng P() = | A-E | là quá lớn khi n lớn . Để giảm s ố lượng phép tính, ta xét vài phương pháp sẽ trình bày sau đây: 2.Trị riêng và vecto riêng của các ma trận đồng dạng Cho 2 ma trận A và B vuông cấp n. Ta nói hai ma trận này đồng dạng với nhau, ký hiệu A~B , nếu tồn tại ma trận T không suy biên (detT≠ Ø) sao cho : B = TAT Ta đã biết: =============================================================== Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận ============================================================ 4 a.Nếu X là vecto riêng của ma trận A ứng với trị riêng λ thì vecto CX (C=const) cũng là vecto riêng ứng với trị riêng λ đó. b.Nếu A ~B thì B ~ A c.Nếu A~ B , B ~ C thì A ~ C d.Nếu A ~ B thì A và B có cùng trị riêng Như vậy tìm trị riêng của ma trận A, ta có thể tìm ma trận đồng dạng của ma trận đồng dạng với ma trận A mà đa thức đặc trưng của nó có thể tìm một cách dễ dàng. 3.Phương pháp Đanhilepski Phương pháp này là đưa ma trận A v ề dạng ma trận đồng dạng với ma trận P nào đó , rồi từ A ~ P ta có thể tìm được đa thức đặc trưng thuận lợi hơn. a- Đa thức đặc trưng của ma trận dạng Phờrôbơniuýt Ma trận Phờrôbơniuýt có dạng : Đa thức đặc trưng của ma trận P sẽ là: (4) Khai triển (4) bằng quy nạp ta được P(λ) = det(P-λE) = =============================================================== Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận ============================================================ 5 Như vậy ta tìm cách đưa ma trận A tới ma trận đồng dạng với A có dạng P,thì đa thức đặc trưng của P cũng là đa thức đặc trưng của A. b-Quá trình biến đổi ma trận A về dạng P Để cách trình bày được đơn giản ta xét ma trận cấp 4 sau: Bước 1: Đặt , Giả sử Chọn Thì det = ≠ 0 nên tồn tại và =============================================================== Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận ============================================================ 6 Khi đó Hay (Được hàng cuối cùng của ma trận P) Bước 2: Giả thiết Chọn =============================================================== Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận ============================================================ 7 => => Hay (được hàng cuối cùng của ma trận dạng P) Bước 3: Giả thiết Chọn =============================================================== Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận ============================================================ 8 Ö Hay Là ma trận dạng P Vậy Đặt Và .Vậy =>P~A Từ đó theo (5) ta được đa thức đặc trưng của ma trận P. Chú ý : - với ma trận cấp 4 ta phải tiến hành 3 bước vậy với ma trận cấp n ta phải tiến hành n-1 bước. - Trong các bước ta đều phải giả thiết Nếu nào đó bằng “0” thì có 2 khả năng xảy ra là: a.Mọi phần tử trong hàng đó đứng trước nó đều bằng “0”.chẳng hạn =============================================================== Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận ============================================================ 9 Thì đa thức đặc trưng sẽ là : Nghĩa là ta chỉ cần biến đổi với ma trận cấp ba. b.trường hợp trong hàng đó, các phần tử đứng trước nó có phần tử khác “0” Chẳng hạn Ta tạo ra ma trận có phần tử như sau: Chọn ma trận C: Trong đó Det C = -1 ≠ 0 Vậy tồn tại (ma trận C là ma trận đơn vị mà ta đổi cột 2 và 3 cho nhau) =============================================================== Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận ============================================================ 10 Vậy AC chính là đổi hai cột 2 và 3 cho nhau, Còn Là đổi tiếp hàng 2 và 3 cho nhau. Với có Thực hiện như trên ta được kết quả. c. Vecto riêng của ma trận A ứng với trị riêng nào đó Từ ma trận cấp 4 đã xét theo công thức (6) ta có: Nếu Y là một vecto riêng ứng với tri riêng λ của ma trận P thì PY=λY,từ(7) ta suy ra Hay Đặt Thì ta được AX=λX X là vecto riêng ứng với trị riêng λ của ma trận A. Bây giờ ta đi tìm Y là vecto riêng ứng với trị riêng λ của ma trận P. Từ PY=λY với Thì =============================================================== Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội [...].. .Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận ============================================================ 11 Hay (9) Do các vecto riêng khác nhau hằng số nhân, nên trong hệ (9) ta chọn thì , đầu của hệ (9) vì ma trận P , và khi đó chúng thỏa mãn phương trình là đa thức đặc trưng của Vậy Theo (8) ta được vecto riêng X của ma trận A ứng với trị riêng λ: Trường hợp A là ma trận vuông cấp n... 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận ============================================================ 22 - Hàm evalm : cho phép chúng ta thực hiện các phép tính trên ma trận và vecto : +) Cộng vecto hoặc ma trận >evalm(A+B), +) Nhân ma trận hoặc vecto với ma trận >evalm(A&*B); >eval(A&*v); +)Nghịch đảo ma trận : >evalm(A^(-1)); +)Lũy thừa của ma trận : >evalm(A^n); n : nguyên... : Kết luận Đề tài nói được khái niệm về trị riêng và vecto riêng của ma trận, cách tìm đa thức đặc trưng ,trị riêng ,vecto riêng bằng các phương pháp Đanhilepski và A.N Cờrưlốp Sử dụng Maple để tìm trị riêng vecto riêng theo hai thuật toán nói trên Biết được bộ chương trình đại số tuyến tính LinearAlgebra và with với 1 số phép toán trên ma trận và vecto trong Maple Do khả năng có hạn nên bài làm còn... Hà nội Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận ============================================================ 12 Ta cần tìm các hệ số Ta đã biết , nếu (11) là đa thức đặc trưng của ma trận A thì A thỏa mãn phương trình ma trận : Trong đó E là ma trận cùng cấp với A Chọn vecto bất kỳ Nhân hai vế của (12) với vecto Đặt Từ (13)ta được Hay Giải hệ(15) được nghiệm là hệ số đa thức đặc trưng của ma trận A... trận A ứng với trị riêng λ: Trường hợp A là ma trận vuông cấp n ,thì P cũng là ma trận cấp n, ứng với trị riêng λ của ma trận của P thì vecto riêng tương ứng Y sẽ là Từ đó suy ra vecto riêng X ứng với trị riêng λ của ma trận A 4.Phương pháp A.N-Cờrưlốp a.Nội dung phương pháp Dựa vào đồng nhất thức Hamintôn-Keli Giả sử ma trận A có đa thức đặc trưng là : ===============================================================... Đanhilepski và A.N-Cờrưlốp Ví dụ 1 : Bằng phương pháp Đanhilepski tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận : Giải bằng Maple -Phương pháp Đanhilepski : > =============================================================== Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển Sinh viên : Lê xuân Đại - Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận ============================================================... Hà nội Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận ============================================================ 18 > > =============================================================== Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển Sinh viên : Lê xuân Đại - Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận ============================================================ 19 > > > > Ví dụ 2 :Tìm đa... 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận ============================================================ 21 (*)Trong các ví dụ trên có sử dụng các gói thủ tục và hàm của Maple : - Gói thủ tục LinearAlgebra : cung cấp những thủ tục để xây dựng và thao tác trên các ma trận và vecto ,bao gồm các việc như : tính toán các thao tác tiêu chuẩn, câu hỏi kết quả và giải quyết các vấn đề... 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận ============================================================ 15 (vì các vecto riêng chỉ khác nhau hằng số nhân) Từ (19) và (*) ta suy ra hệ số Chính là các hệ số của đa thức thương Dễ dàng ta tìm được theo sơ đồ Hoocne II- Một số ví dụ Sau đây ta sẽ dùng Maple để giải một số ví dụ bằng phương pháp Đanhilepski và A.N-Cờrưlốp Ví dụ 1 :... (a*v)); +)Đồng nhất ma trận : >evalm(A - lambda * &*()) LinearSolve(A,b) : hàm giải phương trình AX=b >evalm(LinearSolve(A,b)); Determinant(A): Hàm tính định thức của ma trận >Determinant(A); =============================================================== Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển Sinh viên : Lê xuân Đại - Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận ============================================================ . là ma trận vuông cấp n ,thì P cũng là ma trận cấp n, ứng với trị riêng λ của ma trận của P thì vecto riêng tương ứng Y sẽ là Từ đó suy ra vecto riêng X ứng với trị riêng λ của ma trận A vecto riêng ứng với trị riêng λ đó. b.Nếu A ~B thì B ~ A c.Nếu A~ B , B ~ C thì A ~ C d.Nếu A ~ B thì A và B có cùng trị riêng Như vậy tìm trị riêng của ma trận A, ta có thể tìm ma trận. Cho ma trận vuông cấp n ; Sử dụng Maple để tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận A với hai phương pháp Đanhilepski và A.N-Cờrưlốp . b- Các bước thực hiên : - Khái niệm về trị riêng và