BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐINH BÍCH YẾN VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ HẦU CO TRÊN KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01.02 Cán bộ hướng dẫn khoa học TS. KIỀU PHƯƠNG CHI NGHỆ AN - 2014 Mục lục MỞ ĐẦU 3 1 MỞ ĐẦU VỀ KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC 5 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Không gian 2-mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ HẦU CO VÀ HẦU CO SUY RỘNG TRÊN KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC 14 2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ hầu co và hầu co suy rộng . 14 2.2 Điểm bất động chung của ánh xạ hầu co và hầu co suy rộng trong không gian 2-mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 MỞ ĐẦU Nguyên lý điểm bất động của Banach (1921) đối với các ánh xạ co trên không gian mêtric đầy đủ là một kết quả kinh điển của toán học. Ngày nay, các định lý điểm bất động đối với ánh xạ co được nghiên cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ, trên nhiều loại không gian khác nhau. Các định lý điểm bất động có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học như Giải tích, Phương trình vi tích phân Có thể nói sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết điểm bất động có nguồn gốc từ các ứng dụng rộng lớn của nó. Các định lý điểm bất động là cơ sở quan trọng để chứng minh sự tồn tại nghiệm và xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân và phương trình tích phân (xem [3], [10]). Nó còn có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác như: Kinh tế và kỹ thuật (xem [8], [9], ). Một trong những hướng mở rộng gần đây của nguyên lý điểm bất động của Banach được thực hiện bởi Berinde năm 2008. Kiểu ánh xạ co suy rộng mà Berinde đề xuất được gọi hầu co, đó là các ánh xạ f từ không gian mêtric (X, d) vào chính nó thỏa mãn d(fx, fy) ≤ δd(x, y) + Ld(y, fx) với mọi x, y ∈ X, trong đó δ ∈ (0, 1) và L ≥ 0. Năm 1963, S. G ¨ ahler (xem [13]) đã đưa ra một lớp không gian có cấu trúc kiểu không gian mêtric là không gian 2-mêtric. Sau đó, nhiều nghiên cứu về nhiều tính chất giải tích được thực hiện trên lớp không gian này. Cụ thể, các vấn đề hội tụ, liên tục của ánh xạ, sự tồn tại điểm bất động cho ánh xạ co, trên lớp không gian này đã được nghiên cứu bởi một số nhà toán học khác (xem [12], 4 [15], ). Với mục đích tìm hiểu một vài định lý điểm bất động đối với một số lớp ánh xạ hầu co trên không gian 2-mêtric, chúng tôi lựa chọn đề tài cho luận văn của mình là: Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ hầu co trên không gian 2-mêtric. Nội dung chính của luận văn là nghiên cứu các định lý điểm bất động cho các ánh xạ kiểu hầu co, hầu co suy rộng trong không gian 2-mêtric. Các nội dung được trình bày trong 2 chương, trong đó nội dung chương 2 cơ bản được chúng tôi đề xuất dựa trên những kết quả đã có về sự tồn tại điểm bất động, điểm bất động chung của các ánh xạ co suy rộng trong không gian 2-mêtr ic. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo TS. Kiều Phương Chi. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Qua đây tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Sư phạm Toán học cùng các bạn học viên cao học XX đã quan tâm giúp đỡ. Đặc biệt, tác giả xin được cảm ơn gia đình của mình đã luôn luôn động viên tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những sai sót. Kính mong quý thầy cô và bạn đọc góp ý để luận văn hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn. Nghệ An, tháng 10 năm 2014 Tác giả Đinh Bích Yến CHƯƠNG 1 MỞ ĐẦU VỀ KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC Chương này trình bày những kiến thức cơ sở về không gian 2-mêtric. 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục này trình bày những kiến thức chuẩn bị về không gian mêtric và một số kết quả liên quan cần dùng về sau. Các kết quả được trích ra từ [1]. 1.1.1 Định nghĩa. Cho X là một tập khác rỗng. Hàm d : X × X → R được gọi là một mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau: 1) d(x, y) ≥ 0, với mọi x, y ∈ X, d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y, 2) d(x, y) = d(y, x), với mọi x, y thuộc X, 3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), với mọi x, y, z thuộc X. Khi đó (X, d) được gọi là không gian mêtric. 1.1.2 Định nghĩa. Cho (X, d) là không gian mêtric. Dãy {x n } ⊂ X được gọi là hội tụ tới x ∈ X và kí hiệu là x n → x (x được gọi là giới hạn của dãy {x n }), nếu lim n→∞ d(x n , x) = 0. Trong không gian mêtric giới hạn của một dãy nếu có là duy nhất. 1.1.3 Định nghĩa. Cho (X, d) là một không gian mêtric. Dãy {x n } ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu lim n,m→∞ d(x m , x n ) = 0. Không gian (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy của X đều hội tụ về một điểm thuộc X. 5 6 1.1.4 Định nghĩa. Cho (X, d) và (Y, ρ) là các không gian mêtric, và ánh xạ f : X → X. 1) Ánh xạ f được gọi là liên tục nếu với mọi dãy {x n } ⊂ X mà x n → x thì f(x n ) → f(x). 2) Ánh xạ f được gọi là liên tục đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ(ε) > 0, sao cho ρ(fx, fy) < ε, với mọi x, y ∈ X, d(x, y) < δ. 1.2 Không gian 2-mêtric Mục này trình bày những kiến thức cơ sở về không gian 2- mêtr ic. Các kết quả được trích ra từ [14] và [2]. 1.2.1 Định nghĩa ([14]). Cho X là một tập gồm ít nhất 3 điểm. Một 2-mêtric trên X là một ánh xạ: ρ : X ×X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau: (1) Với mỗi cặp điểm a, b ∈ X mà a = b, tồn tại một điểm c nào đó thuộc X thỏa mãn ρ(a, b, c) = 0. Nếu có ít nhất 2 điểm bằng nhau thì ρ(a, b, c) = 0. (2) ρ(a, b, c) = ρ(a, c, b) = ρ(b, a, c) = ρ(b, c, a) = ρ(c, a, b) = ρ(c, b, a), ∀a, b, c ∈ X. (3) ρ(a, b, c) ≤ ρ(a, b, d) + ρ(a, d, c) + ρ(d, b, c), ∀a, b, c, d ∈ X. Khi đó (X, ρ) được gọi là một không gian 2-mêtric. Hay gọi tắt là không gian 2-mêtric X. 7 1.2.2 Nhận xét ([2]). i) Điều kiện (2) trong Định nghĩa 1.2.1 tương đương với điều kiện sau: (2’) ρ(a, b, c) = ρ(b, c, a) = ρ(c, a, b), ∀a, b, c ∈ X. ii) Dễ dàng thấy ρ không âm. Thật vậy, trong (3) cho a = c ta được ρ(a, b, a) ≤ ρ(a, b, d) + ρ(a, d, a) + ρ(d, b, a), ∀a, b, d ∈ X 0 ≤ 2ρ(a, b, d), ∀a, b, d ∈ X. 0 ≤ ρ(a, b, d), ∀a, b, d ∈ X. 1.2.3 Ví dụ ([2]). Cho X = {a, b, c, d}. Ta xác định ánh xạ ρ : X×X×X → R như sau ρ(a, b, c) = 1, ρ(a, c, d) = 4, ρ(b, c, d) = 2, ρ(a, b, d) = 5 và ρ(x, y, z) = 0 nếu x, y, z có ít nhất 2 phần tử bằng nhau. Khi đó (X, ρ) là một không gian 2-mêtric. Thật vậy, X là tập hợp nhiều hơn 3 điểm thỏa mãn: 1) Với mỗi cặp điểm (x, y) ∈ X mà x = y, luôn tồn tại z ∈ X \ {x, y}, nên theo cách xác định ρ thì ρ(x, y, z) = 0, và nếu trong X có hai điểm nào bằng nhau thì ρ(x, y, z = 0). 2) Rõ ràng ta có ρ(x, y, z) = ρ(y, z, x) = ρ(z, x, y), ∀x, y, z ∈ X. 3) Với a, b, c, d ∈ X, ta có ρ(a, b, c) = 1 ≤ 11 = ρ(a, c, d) + ρ(b, c, d) + ρ(a, b, d), ρ(a, c, d) = 4 ≤ 8 = ρ(a, b, c) + ρ(b, c, d) + ρ(a, b, d), ρ(b, c, d) = 2 ≤ 10 = ρ(a, c, d) + ρ(a, b, c) + ρ(a, b, d), ρ(a, b, d) = 5 ≤ 7 = ρ(b, c, d) + ρ(a, c, d) + ρ(a, b, c). 8 Do đó, bất đẳng thức ρ(x, y, z) ≤ ρ(x, y, t) + ρ(x, z, t) + ρ(y, z, t) luôn đúng ∀x, y, z, t ∈ X. 1.2.4 Ví dụ ([14]). (R 2 , ρ) là một không gian 2-mêtric, với ρ(x, y, z) là diện tích tam giác tạo bởi ba đỉnh x, y, z ∈ R 2 . Thật vậy, xét ánh xạ: ρ : R 2 × R 2 × R 2 → R (A, B, C) → S ABC . 1) Lấy A, B ∈ R 2 là hai điểm phân biệt. Khi đó, luôn tồn tại C ∈ R 2 sao cho A, B, C không thẳng hàng thì ρ(A, B, C) = S ABC = 0. Khi có ít nhất hai trong ba điểm A, B, C trùng nhau thì ABC suy biến nên S ABC = 0. Tức là ρ(A, B, C) = 0. 2) Rõ ràng ta luôn có: S ABC = S BCA = S CAB , ∀A, B, C ∈ R 2 . 3) Lấy A, B, C ∈ R 2 . Ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu S ABC = 0 thì hiển nhiên 0 = S ABC ≤ S ABD + S ACD + S BCD , ∀D ∈ R 2 . Trường hợp 2: Nếu S ABC > 0. Lấy D bất kỳ, D ∈ R 2 , có 3 khả năng sau xảy ra: Khả năng 1: D nằm miền trong hoặc nằm trên các cạnh của tam giác ABC (Hình 1) thì S ABC = S ABD + S ACD + S BCD . Khả năng 2: D nằm ở miền (1), (3) và (5) (Hình 2). Không mất tính tổng 9 quát, giả sử D thuộc miền (1). Khi đó S ABC ≤ S BCD < S ABD + S ACD + S BCD . Khả năng 3: D nằm trên miền (2), (4), (6), và biên của mỗi miền (Hình 3). Không mất tính tổng quát, giả sử D thuộc miền (4). Khi đó S ABC = S ABD + S ACD − S BCD < S ABD + S ACD + S BCD . Vậy (R 2 , ρ) là không gian 2-mêtric. 1.2.5 Định nghĩa ([14]). Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric. Dãy {x n } ⊂ X được gọi là hội tụ đến x ∈ X nếu lim n→∞ ρ(x n , x, a) = 0, ∀a ∈ X. 1.2.6 Mệnh đề ([2]). Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric. Khi đó 1) Nếu dãy {x n } ∈ X hội tụ tới x ∈ X và hội tụ tới y ∈ X thì x = y. 2) Nếu dãy {x n } hội tụ tới x ∈ X thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ tới x. Chứng minh. 1) Giả sử x = y. Khi đó, tồn tại z ∈ X sao cho ρ(x, y, z) = 0 Mặt khác, ta có ρ(x, y, z) ≤ ρ(x n , x, z) + ρ(x n , y, z) + ρ(x n , x, y), 10 với mọi n = 0, 1, 2, . . . Vì {x n } hội tụ tới x ∈ X và hội tụ tới y ∈ X nên lim n→∞ ρ(x n , x, z) = lim n→∞ ρ(x n , y, z) = lim n→∞ ρ(x n , x, y) = 0. Do đó ρ(x, y, z) = 0. Ta nhận được sự mâu thuẫn. Vậy, x = y. 2) Giả sử {x n } hội tụ tới x và {x nk } là dãy con của dãy {x n }. Ta chứng minh x n k → x khi k → ∞. Thật vậy, do {x n k } là dãy con của dãy {x n } nên ta có thể chọn cách đánh số sao cho n k ≥ k, ∀k ∈ N. Vì x n → x nên: ∀ε ≥ 0, ∃n 0 ∈ N : ρ(x k , x, a) ≤ ε, ∀k ≥ n 0 . Khi đó, với n k ≥ k, ∀k ∈ N ta có ρ(x n k , x, a) ≤ ε, ∀k > n 0 , ∀a ∈ X. Từ đó suy ra lim n→∞ ρ(x n k , x, a) = 0, ∀a ∈ X. Tức là ta có x n k → x ∈ X. Như vậy, tương tự không gian mêtric, giới hạn của dãy trong không gian 2-mêtric nếu có là duy nhất. 1.2.7 Mệnh đề ([2]). Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric. Nếu {x n } ⊂ X hội tụ tới x thì ρ(x n , a, b) → ρ(x, a, b) khi n → ∞, với mọi a, b ∈ X. Chứng minh. Giả sử {x n } hội tụ tới x. Khi đó ρ(x n , x, a) → 0 khi n → ∞, với bất kì a ∈ X. Với mọi a, b ∈ X ta có ρ(x n , a, b) ≤ ρ(x n , x, a) + ρ(x n , x, b) + ρ(x, a, b) [...]... BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ HẦU CO VÀ HẦU CO SUY RỘNG TRÊN KHÔNG GIAN 2- MÊTRIC Chương này trình bày các kết quả của chúng tôi về sự tồn tại điểm bất động, điểm bất động chung của các ánh xạ trên không gian 2- mêtric 2. 1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ hầu co và hầu co suy rộng Trong mục này chúng tôi xây dựng các định nghĩa về ánh xạ co suy rộng và hầu co suy rộng, đề xuất một số định lí về sự tồn tại điểm. .. về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ hầu co suy rộng trong không gian 2- mêtric dựa trên các kết quả tương tự đã có trong không gian mêtric (xem [4], [5], [6]) Ngoài ra, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ hầu co suy rộng (ánh xạ tam giác 2 − α − η− chấp nhận, ánh xạ α − η − C− co yếu, ánh xạ co α − C dạng yếu, ) trong không gian 2- mêtric, được trích dẫn... xuất một số định lí và từ đó đưa ra một vài hệ quả về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ hầu co suy rộng trong không gian 2- mêtric dựa trên những kết quả đã có về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ co suy rộng trong không gian 2- mêtric (xem [16]) 2. 2.1 Định lí Cho X là tập khác ∅, với các 2 - mêtric ρ và ρ Cho f và g là hai ánh xạ từ X vào chính nó Giả sử (i) ρ(x, y, a) ≤ ρ (x,... theo 2- mêtric ρ Vậy (R2 , ρ) là không gian 2- mêtric đầy đủ 1 .2. 12 Định nghĩa ([14]) Cho (X, ρ) là không gian 2- mêtric, (Y, d) là không gian 2- mêtric hoặc không gian mêtric 1) Ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu mọi dãy {xn } ⊂ X hội tụ tới x thì dãy {f (xn )} hội tụ tới f (x) trong Y 13 2) Ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi x ∈ X CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM... a), ρ(y, T x, a)) 2 ρ(T x, T y, a) = 0 ≤ Hay η(x, y, a) ≤ 1, ∀a ∈ X Suy ra ρ(T x, T y, a) ≤ 1 [ρ(x, T y, a) + ρ(y, T x, a)]−ψ (ρ(x, T y, a), ρ(y, T x, a)) , ∀a ∈ X 2 Do đó, T là một ánh xạ co η - C - dạng yếu Vậy tất cả giả thiết của Hệ quả 2. 1.17 được thoả mãn và do đó T có điểm bất động duy nhất 34 2. 2 Điểm bất động chung của ánh xạ hầu co và hầu co suy rộng trong không gian 2- mêtric Trong mục này... f u = u Vậy, f và g có một điểm bất động chung u ∈ X 2. 2 .2 Định nghĩa ([16]) Cho S và T là hai ánh xạ từ không gian 2- mêtric (X, ρ) vào chính nó Khi đó, cặp ánh xạ (S,T) được gọi là tương thích yếu tại x nếu ρ(ST x, T Sx, a) ≤ ρ(T x, Sx, a), ∀a ∈ X 2. 2.3 Định lí Cho (X, ρ) là không gian 2- mêtric, G, S, T, F là các ánh xạ: 36 X → X thỏa mãn SX ⊆ F X, T X ⊆ GX Giả sử tồn tại α ∈ A và hằng số L ≥ 0 sao... là một A - co Như vậy, mỗi K - co là một A - co Từ i) ta suy ra mỗi M - co cũng là một A -co 2. 1.4 Định nghĩa Một ánh xạ f trong không gian 2- mêtric (X, ρ) vào chính nó được gọi là một hầu A - co nếu tồn tại α ∈ A và hằng số L ≥ 0 sao cho ρ(f x, f y, a) ≤ α(ρ(x, y, a), ρ(x, f x, a), ρ(y, f y, a)) + Lρ(y, f x, a) (2. 1) ∀x, y, a ∈ X 2. 1.5 Định lí Cho f là một hầu A - co trong không gian 2 - mêtric đầy... Khi đó, (R2 , ρ) là không gian 2- mêtric đầy đủ Chứng minh Theo Ví dụ 1 .2. 4 thì (R2 , ρ) là không gian 2- mêtric Do đó, để chứng minh (R2 , ρ) là không gian 2- mêtric đầy đủ ta chứng minh mọi dãy Cauchy trong nó đều hội tụ Gọi ρ1 là khoảng cách Euclid trong mặt phẳng Giả sử x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) thì ρ1 (x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 Kí hiệu xy là đường thẳng qua hai điểm x, y ∈ R2 và d(a,... tục trong R3 , + ii) Tồn tại hằng số k ∈ [0, 1) sao cho a ≤ kb nếu a ≤ α(a, b, b) hoặc a ≤ α(b, a, b) hoặc a ≤ α(b, b, a), ∀a, b ∈ R+ 14 15 2. 1.1 Định nghĩa Một ánh xạ f trong không gian 2- mêtric X vào chính nó được gọi là một A − co nếu tồn tại α ∈ A sao cho ρ(f x, f y, a) ≤ α(ρ(x, y, a), ρ(x, f x, a), ρ(y, f y, a)), ∀x, y, a ∈ X (A) 2. 1 .2 Định nghĩa Một ánh xạ f từ không gian 2- mêtric vào chính nó... Khi đó theo tính chất của không gian 2- mêtric ta có 0 ≤ ρ(xm , xn , a) ≤ ρ(xn , x, a) + ρ(xm , x, a) + ρ(xm , xn , x), ∀a ∈ X Lấy giới hạn hai vế của bất đẳng thức trên khi m, n → ∞ ta được lim ρ(xn , xm , a) = 0, ∀a ∈ X n→∞ Do đó, {xn } là dãy Cauchy trong không gian 2- mêtric 1 .2. 10 Định nghĩa ([14]) Không gian 2- mêtric (X, ρ) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ  12 1 .2. 11 Ví dụ ([14]) Giả . ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ HẦU CO VÀ HẦU CO SUY RỘNG TRÊN KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC 14 2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ hầu co và hầu co suy rộng . 14 2.2 Điểm bất động chung của ánh xạ hầu co và hầu co. bày các kết quả của chúng tôi về sự tồn tại điểm bất động, điểm bất động chung của các ánh xạ trên không gian 2-mêtr ic. 2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ hầu co và hầu co suy rộng Trong. điểm bất động đối với một số lớp ánh xạ hầu co trên không gian 2-mêtric, chúng tôi lựa chọn đề tài cho luận văn của mình là: Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ hầu co trên không gian 2-mêtric. Nội