[...]... (1.21) Chương 2 Tính ổn định mũ hầu chắc chắn của phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ 2.1 Tính ổn định mũ hầu chắc chắn của phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ sau: dx(t) = f (x(t), x(t ), t)dt + (t)dW (t) với dữ kiện ban đầu x(t) = (t), t với t 0, (2.1) 0 Trong đó, f : R d ì R d ì R+ Rd : R+ Rdìm và W (t) là chuyển động Brown ngẫu nhiên F0 m-chiều,... phương trình ổn định mũ hầu chắc chắn 2.2 Tính ổn định mũ của phương trình vi phân ngẫu nhiên với trễ tổng quát Lấy : R+ R là một hàm liên tục, khả vi sao cho: (t) t và d(t) dt 1 t 0 (2.35) Từ đó suy ra t + (0) (t) và 1 (t) trong đó 1 (.) là ánh xạ ngược của t (0) với t 0 (2.36) (.) Đặt = (0) với giả thiết là một số dương (chúng ta không xét trường hợp p(t) t) Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên. .. 2 < 0} là quá trình Ft0 đo Từ định nghĩa vi phân ngẫu nhiên, phương trình (1.13) tương đương với phương trình tích phân ngẫu nhiên sau t x(t) = x0 + t f (x(s), x(s ), s)ds+ t0 g(x(s), x(s ), s)dW (s) (1.14) t0 Định nghĩa 1.2.1 Một quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị trong Rd , {x(t)}t[t0 ,T ] được gọi là nghiệm của phương trình (1.13) nếu có các tính chất sau: 8 (i) (ii) {x(t)} là quá trình liên tục,... Giả sử phương trình có nghiệm duy nhất kí hiệu là 12 x(t, ) Trong mục này chúng tôi giả thiết rằng phương trình tồn tại duy nhất nghiệm Chúng tôi tập trung xét điều kiện đủ cho tính ổn định mũ hầu chắc chắn của phương trình (2.1) Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm x(t, ) của phương trình (2.1) được gọi là ổn định mũ hầu chắc chắn nếu tồn tại hằng số > 0 sao cho 1 lim sup ln(|x(t, )|) t t h.c.c (2.2) Định lý... cho tính ổn định mũ hầu chắc chắn của phương trình (2.1) Định lý 2.1.2 Giả sử tồn tại các hằng số dương mọi (i) (ii) x, y Rd và 2xT f (x, y, t) t 0, c1 |x|2 + c2 |y|2 ; trace((t), (t)T ) Khi đó, tồn tại c3 ec1 t > 0 sao cho 1 lim sup log|x(t, )| t t với mọi c1 , c2 , c3 (c1 > c2 ) sao cho với , h.c.c (2.3) Nói cách khác, phương trình (2.1) là ổn định mũ hầu chắc chắn Chứng minh Để chứng minh định. .. nhiên với trễ tổng quát, dx(t) = f (x(t), x((t)), t)dt + (t)dW (t) với điều kiện ban đầu x(t) = (t); t : t với 0 t 0 Trong đó (2.37) f, , W và được xác định giống như mục trước Chúng ta cũng giả thiết rằng phương trình có một nghiệm duy nhất và kí hiệu x(t, ) Định lý 2.2.1 Giả sử điều kiện (2.35) đúng Cùng với các giả thiết của Định lý 2.1.2 Khi đó phương trình (2.37) ổn định mũ hầu chắc chắn 27 Chứng... minh giống như chứng minh Định lý 2.1.2 Tương tự ta có thể chứng minh kết quả tổng quát hơn sau đây Định lý 2.2.2 Cho phương trình cố định Cho cho (i) là ba hằng số dương và Q là ma trận d ì d xác định dương Giả sử, x, y, Rd xT (Q + QT )f (x, y, t) c1 > c2 và t 0 c1 xT Qx + c2 y T Qy; c3 ec1 t ; T (ii) trace((t)(t) ) Nếu c1 c3 thì phương trình trễ (2.37) là ổn định mũ hầu chắc chắn Chứng minh Chúng ta... trận, chuẩn vết của -trường W (t) = (W1 (t), W2 (t), , Wm (t))T chứa các tập có xác suất không) Lấy là quá trình chuyển động Brown 0 thỏa mãn các trị, đặt F0 -đo được Nếu {x(t)}t xt = {x(t + ) : xem như quá trình ngẫu nhiên là quá trình ngẫu C([ ; 0]; Rn )-giá 0} với 0 t Khi trị Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô dạng dx(t) = f (x(t), x(t ), t)dt + g(x(t), x(t )t)dW (t), khi t0 t T (1.13)... Ta có trace((t)(t)T c3 e((c1 c2 Q )c4 )t Vì vậy, theo Định lý 2.1.3, phương trình (2.1) ổn định mũ hầu chắc chắn Nếu (c1 c2 Q ) c4 > c2 Q , 26 thì điều này tương đương với trong trường hợp (c1 /2) c4 > c2 Q (c1 c4 )c4 > (c2 Q )2 T ta chọn thỏa mãn giả thiết Mặt khác = c1 c4 và khi đó ( Q )2 T c4 x Qx + y Qy c1 c4 T T x (Q + Q )f (x, y, t) Do đó, lại theo Định lý 2.1.3, phương trình (2.1) là phương. .. g(x(ã), x(ã) , ã) L2 ([t0 , T ]; Rdìm ), (iii) Phương trình (1.14) thỏa mãn với mọi t [t0 , T ] với xác suất 1 Phương trình (1.13) được gọi là có duy nhất nghiệm trên [t0 , T ] nếu khi x(t) và x(t) là 2 nghiêm của phương trình thì P {x(t) = x(t) t [t0 , T ]} = 1 Bây giờ chúng ta chỉ ra điều kiện đảm bảo cho sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình (1.13) Định lý 1.2.2 Giả sử tồn tại hai hằng số (i)