BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI THỊ NGỌC HÂN CHỈNH HÓA VÀ ƯỚC LƯỢNG SAI SỐ BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRÊN MIỀN BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI THỊ NGỌC HÂN CHỈNH HÓA VÀ ƯỚC LƯỢNG SAI SỐ BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRÊN MIỀN BỊ CHẶN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TS. PHẠM HOÀNG QUÂN NGHỆ AN - 2014 Mục lục LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Kiến thức liên quan 6 1.1 Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Không gian L p (1  p  1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4 Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz . . . . . . . . . . 11 1.1.5 Khai triển sin Fourier trên L 2 (0; ) . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh và sự chỉnh hóa . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Bài toán chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Bài toán không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Một số bổ đề cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Các kết quả chỉnh hóa và ví dụ minh họa 14 2.1 Tính ổn định của phương pháp điều chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Kết quả chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sài Gòn dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Phạm Hoàng Quân. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy vì đã tận tình chỉ dạy tác giả những kiến thức trong học tập và nghiên cứu khoa học. Tác giả xin gửi lời cám ơn đến các thầy cô phòng Sau đại học và khoa Toán - trường Đại học Vinh, đặc biệt là các thầy cô bộ môn Giải tích; cùng với các thầy cô khoa Toán - Ứng dụng - Đại học Sài Gòn đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tác giả xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè và các bạn học viên lớp Giải tích K20 đã tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do còn hạn chế về mặt kiến thức và thời gian nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong được sự đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Nghệ An, ngày 23 tháng 5 năm 2014 Tác giả 2 LỜI NÓI ĐẦU Trong quá trình phát triển các ngành khoa học ứng dụng, các nhà khoa học rất cần sự hỗ trợ của một công cụ quan trọng đó là toán học. Ở một số ngành, lĩnh vực nghiên cứu như xử lý ảnh, khoa học vật liệu, thủy động học, địa chất học, các điều kiện hay dữ liệu ban đầu thường không được biết trước mà phải xác định nó khi đã biết điều kiện cuối cùng . Do đó, bài toán parabo lic ngược thời gian là một bài toán được khảo sát khá nhiều trong lý thuyết truyền nhiệt. Đây là một bài toán đặt không chỉnh vì tính không ổn định nghiệm. Trên thực tế, dữ liệu được thu thập qua việc đo đạc và sau đó được xử lý qua máy tính hay một số thiết bị hỗ trợ. Chính quá trình này đã tạo ra những sai số của dữ liệu, mặc dù rất nhỏ nhưng lại dẫn đến sự khác biệt rất lớn của nghiệm. Vì vậy, chúng ta cần chỉnh hóa bài toán, nghĩa là đưa ra nghiệm chỉnh hóa ổn định cho bài toán. Và hơn nữa, chúng ta cần đưa ra các ước lượng để đánh giá được tốc độ hội tụ của sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác. Do vậy, chúng tôi chọn luận văn với đề tài: "Chỉnh hóa và ước lượng sai số bài toán parabolic ngược với hệ số phụ thuộc thời gian trên miền bị chặn". Mục đích của luận văn là thông qua việc nghiên cứu một bài báo về chỉnh hóa và ước lượng sai số bài toán parabolic ngược thời gian, trình bày một cách hệ thống và chứng minh chi tiết các kết quả liên quan đến vấn đề nghiên cứu mà tác giả bài báo chứng minh còn vắn tắt và một ví dụ số để minh họa cho kết quả chỉnh hóa. Với mục đích đó, luận văn được trình bày thành hai chương. Chương 1: Kiến thức liên quan. Trong chương này chúng tôi trình bày các ký hiệu, các khái niệm về bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh và sự chỉnh hóa; không gian các hàm và tích phân Lebesgue; bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz; khai triển sin Fourier cùng với một số bổ đề cần thiết cho việc chứng minh các định lý ở chương 2. Chương 2: Các kết quả chỉnh hóa và ví dụ minh họa. Đây là kết quả chính của luận văn, gồm ba phần. Phần 1: Trình bày tính ổn định của phương pháp điều chỉnh. Phần 2: Chỉnh hóa và ước lượng sai số của bài toán bằng phương pháp điều chỉnh. Phần 3: Trình bày một ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa. 3 Ta xét bài toán ngược cho phương trình tuyến tính không thuần nhất như sau u t (x; t)  a (t) u xx (x; t) = f (x; t) ; (x; t) 2 (0; )  (0; T ) ; (1) u (0; t) = u (; t) = 0; t 2 [0; T ] ; (2) u (x; T ) = g (x) ; x 2 [0; ] ; (3) trong đó a (t) là hàm số thỏa mãn điều kiện tồn tại p; q > 0 sao cho 0 < p  a (t)  q: (4) Đã có rất nhiều bài báo liên quan đến bài toán ngược cho phương trình parabolic (trong các tài liệu [3]-[6]). Trong tài liệu [7], các tác giả đã giới thiệu phương pháp tựa khả nghịch (QR method). Họ chỉnh hóa bài toán bằng cách thêm số hạng hiệu chỉnh vào phương trình chính. Cụ thể, họ nghiên cứu bài toán sau u t + Ku  K  Ku = 0; u (x; T ) = g (x) : Chúng ta thấy rằng bài toán trên có thể áp dụng được nếu chúng ta xây dựng toán tử liên hợp K  . Trên thực tế, chúng ta có bài toán xấp xỉ khác có tính ứng dụng hơn bài toán trong [8] và [9] đó là u t + Ku  Ku t = 0; u (x; T ) = g(x): Mặt khác, năm 198 3, Showalter đã đưa ra phương pháp tựa giá trị biên (QBV method). Sử dụng phương pháp này, tác giả đã chỉnh hóa bài toán bằng cách thêm số hạng hiệu chỉnh vào điều kiện cuối. Áp dụng phương pháp này, Dense và Bessila [4] đã dùng điều kiện cuối như sau u(x; T ) u x (x; 0) = g (x) : Như đã nói ở trên, có rất nhiều công tình nghiên cứu về bài toán parabolic ngược với hệ số hằng nhưng các bài báo liên quan đến hệ số phụ thuộc thời gian thì rất hiếm. Gần đây, trong tài liệu [10], các tác giả nghiên cứu bài toán ngược cho phương trình truyền nhiệt (với hệ số hằng) và ước lượng sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác như sau ku  (:; t)  u (:; t)k  C t T ; t > 0 4 và ku  (:; 0)  u (:; 0)k  4 p 8C 4 p T  ln  1    1 4 ; t = 0: Dễ thấy rằng sai số ước lượng trên tiến về 0 rất chậm khi t thuộc một lân cận của 0. Tuy nhiên, trong [11], bằng cách thêm một số điều kiện của f và nghiệm chính xác u; các tác giả cũng cải thiện phương pháp (dùng trong [11]) để đạt được kết quả ước lượng sai số tốt hơn [10] ku  (:; t)  u (:; t)k  T 1  1 + p M  e 3L 2 T T 2 1 (T t) 2  t T ln  T   t T 1 : Trong luận văn này, chúng tôi trình bày phương pháp chỉnh hóa bài toán parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian và ước lượng sai số tiến về 0 nhanh hơn bậc logarit. 5 Chương 1 Kiến thức liên quan 1.1 Các không gian hàm 1.1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Một không gian vector X trên R được gọi là một không gian định chuẩn nếu tồn tại một ánh xạ k:k : X ! R thỏa mãn i) kxk  0; 8x 2 X và kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0; ii) kxk = jjkxk; 8 2 R; x 2 X; iii) kx + yk  kxk + kyk; 8x; y 2 X: Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian định chuẩn (X; k:k) :  Dãy x n trong X là dãy Cauchy nếu 8 > 0; 9N  2 N sao cho kx n  x m k < ; 8n; m  N  :  Dãy x n trong X được gọi là hội tụ về x 0 2 X, ký hiệu là x n ! x 0 khi n ! 1; nếu lim n!1 kx n  x 0 k = 0: Định nghĩa 1.1.3 Không gian định chuẩn X được gọi là Banach nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ trong X: 6 1.1.2 Không gian L p (1  p  1) Cho (; M; ) là một không gian đo, trong đó  là một tập hợp không rỗng, M là một  - đại số trên  và  là một độ đo dương trên M. Gọi L() là tập các hàm khả tích và với f 2 L() ; ký hiệu Z  fd chỉ tích phân của f trên  theo độ đo : Một hàm số được gọi là đơn giản nếu tồn tại hữu hạn tập đo được A i 2 M và hữu hạn số thực  i 2 R; i = 1; 2; :::; n, sao cho s = n X i=1  i  A i ; trong đó  A i là hàm đặc trưng của tập A i , nghĩa là  A i (x) = 8 < : 1 nếu x 2 A i ; 0 nếu x =2 A i : Định lý 1.1.4 Với mọi hàm đo được f :  ! [0; +1); tồn tại dãy tăng các hàm đơn giản (s n ) sao cho 0  s n (x) ! f (x) khi n ! 1, với mọi x 2 : Định lý 1.1.5 (hội tụ đơn điệu) Cho (f n ) là một dãy tăng các hàm trong L() sao cho sup n Z  f n d < 1: Ta có (f n ) hội tụ hầu khắp nơi trên  về một hàm f 2 L() : Hơn nữa, Z  jf n  fjd ! 0 khi n ! 1: Định lý 1.1.6 (hội tụ bị chặn) Cho (f n )  L() sao cho i) f n ! f h.k.n trên ; và ii) tồn tại g 2 L() sao cho jf n j  g h.h. trên : 7 Ta có f 2 L() và Z  jf n  fjd ! 0 khi n ! 1: Định nghĩa 1.1.7 Cho (; M; ) là một không gian đo với độ đo dương và 1  p  1: Đặt L p (; ) là không gian các hàm đo được f xác định trên  sao cho jfj p 2 L() và đặt kfk p = 0 @ Z  jfj p d 1 A 1 p : Định nghĩa 1.1.8 Cho (; M; ) là một không gian đo với độ đo dương. Đặt L 1 (; ) là không gian các hàm đo được f bị chặn cốt yếu trên , nghĩa là tồn tại _ C > 0 sao cho jf (x)j  C; h.h. trên ; và đặt kfk 1 = inf  C > 0 : jf (x)j  C trên   : Định lý 1.1.9 (Bất đẳng thức H¨older) Cho f 2 L p (; ) ; g 2 L q (; ), với 1  p  1; 1 p + 1 q = 1: Ta có fg 2 L 1 (; ) và Z  jfgjd  kfk p kgk q : Trong luận vă n này, chúng tôi áp dụng bất đẳng thức H¨older với trường hợp f; g 2 L 2 [0; ] nghĩa là ta có  Z 0 jfgjdx  0 @  Z 0 jfj 2 dx 1 A 1 2 0 @  Z 0 jgj 2 dx 1 A 1 2 : Định lý 1.1.10 (Bất đẳng thức Minkowski) Cho f; g 2 L p () ; với 1  p  1: Ta có f + g 2 L p () và kf + gk p  kfk p + kgk p : Định nghĩa 1.1.11 Với 1  p  1; xét quan hệ  trên L p () xác định bởi f  g , f = g h.h. trên ; 8 [...]... quả chính sau đây: 1 Trình bày kết quả chỉnh hóa bài toán parabolic ngược với hệ số phụ thuộc thời gian bằng phương pháp tựa giá trị biên có điều chỉnh, và ước lượng sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác của bài toán trong Định lý 2.1.1, Định lý 2.2.1 và Định lý 2.2.2 2 Trình bày một ví dụ số trong mục 2.3 để minh họa các định lý chỉnh hóa trong bài toán 24 Tài liệu tham khảo [1] Đặng Đức... y: 3 Tính ổn định: nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ liệu, tức là với mọi dãy (xn ) X sao cho Kxn ! Kx suy ra xn ! x: 1.2.2 Bài toán không chỉnh Bài toán được gọi là không chỉnh nếu không thỏa mãn ít nhất một trong ba điều kiện của bài toán chỉnh 1.3 Một số bổ đề cần thiết Các bất đẳng thức sau đây là cần thiết cho việc ước lượng sai số Bổ đề 1.3.1 ([2]) Cho n 2 R; > 0; 0 a b và b 6= 0 Khi đó ena 1 +... Khai triển này gọi là sin Fourier 11 1.2 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh và sự chỉnh hóa 1.2.1 Bài toán chỉnh Định nghĩa 1.2.1 (Tính chỉnh) Cho X và Y là các không gian định chuẩn, K : X ! Y là một ánh xạ Phương trình Kx = y được gọi là chỉnh nếu các điều kiện sau thỏa mãn: 1 Tính tồn tại: với mọi y 2 Y , có ít nhất một x 2 X sao cho Kx = y: 2 Tính duy nhất: với mọi y 2 Y , có nhiều nhất một x 2... được sai số ước lượng giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa là C1 p2 t q2 T : Khi đó, nếu t dần về thời điểm t = 0 thì sai số ước lượng tiến về 0 rất chậm Đặc biệt, nếu t = 0 thì nghiệm chỉnh hóa có thể không hội tụ về nghiệm chính xác Để cải thiện vấn đề này, chúng tôi chọn tham số chỉnh hóa khác là = pT q(T + ) (trong Định lý 2.2.2) và đạt được sai số tốt hơn trong Định lý 2.2.1 Nhận xét 2.2.4... t) ; i = 1; 2: Hình 2.2: Nghiệm chỉnh hóa u i (g i ) (:; t) ; i = 3; 4; 5: 22 Hình 2.3: Nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa tại thời điểm ban đầu t = 0: Hình 2.1 và Hình 2.2 miêu tả nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa tại thời điểm t = 0: Trong Hình 2.3, ta có thể thấy đường cong 0 biểu diễn nghiệm chính xác trùng với các đường cong i biểu diễn nghiệm chỉnh hóa ứng với "i ; i = 3; :::5: 23 KẾT LUẬN... thể thấy được sự ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác của bài toán (1)-(3) và nghiệm chỉnh hóa (2.3) tương ứng với dữ liệu đo g trong định lý sau đây Định lý 2.2.1 ([2]) Cho 2 (0; T ), g , gex 2 L2 [0; ], u là nghiệm chính xác của bài toán (1)-(3) sao cho Q = 2 ku (:; 0)k2 < 1 và M =4 T T 1 XZ Z m=1 0 Nếu ( )= p q 2 F (s) em 2 2 F (s) ut (x; s) + em 2 a (s) uxx (x; s) dxds < 1: 0 và u (g ) (:; t)... 2.2.1 Nhận xét 2.2.4 ([2]) Trong Định lý 2.2.2, ta cần điều kiện để khai triển um (t) và 1 P 2 m2 2 ta xem như giả thiết 2 e um (t) < A2 không phụ thuộc vào hàm f (x; t) : Do đó, 2 m=1 điều kiện này là chấp nhận được 2.3 Ví dụ minh họa Ta xét bài toán parabolic tuyến tính không thuần nhất với hệ số phụ thuộc thời gian sau ut (x; t) a (t) uxx (x; t) = f (x; t) ; (x; t) 2 (0; ) (0; 1) ; u (x; 1) = g.. .với f; g 2 Lp ( ) : Rõ ràng là một quan hệ tương đương Khi đó, không gian thương Lp ( ) = được ký hiệu là Lp ( ) và với f 2 Lp ( ) ; đặt f p = kf kp : Định lý 1.1.12 k:kp là chuẩn trong Lp ( ) ; (1 1) : Vậy Lp (1 p p 1) là không gian định chuẩn Định lý 1.1.13 Lp ( ) ; với 1 1.1.3 1; là các không gian Banach p Không gian Hilbert Cho H là một không gian vectơ trên R: Một tích vô hướng trên H là... jxj jyj : b) Bất đẳng thức tam giác Với mọi x; y 2 H; jx + yj jxj + jyj : c) Đẳng thức hình bình hành Với mọi x; y 2 H; x+y 2 2 + x y 2 2 = 1 jxj2 + jyj2 : 2 Đặc biệt, j:j là một chuẩn trên H và do đó H trở thành một không gian định chuẩn và là một không gian metric với metric sinh bởi chuẩn Nếu không gian metric này đầy đủ, ta gọi H là một không gian Hilbert Ta quy ước về việc dùng ký hiệu j:j thay... yi ; với mọi ; 2 R; x; x0 ; y 2 H; ii) hx; y + y 0 i = hx; yi + hx; y 0 i ; với mọi ; 2 R; x; x0 ; y 2 H; iii) hx; yi = hy; xi ; với mọi x; y 2 H; và iv) hx; xi 0; với mọi x 2 H và hx; xi = 0 , x = 0: Từ tích vô hướng nêu trên, với x 2 H; đặt 1 jxj = hx; xi 2 : Từ định nghĩa, với x; y 2 H; ta có 0 hx + ty; x + tyi = jxj2 + 2t hx; yi + t2 jyj2 đúng với mọi t 2 R; ta suy ra a) Bất đẳng thức Schwarz Với . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI THỊ NGỌC HÂN CHỈNH HÓA VÀ ƯỚC LƯỢNG SAI SỐ BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRÊN MIỀN BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN. DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI THỊ NGỌC HÂN CHỈNH HÓA VÀ ƯỚC LƯỢNG SAI SỐ BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRÊN MIỀN BỊ CHẶN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: . văn với đề tài: " ;Chỉnh hóa và ước lượng sai số bài toán parabolic ngược với hệ số phụ thuộc thời gian trên miền bị chặn& quot;. Mục đích của luận văn là thông qua việc nghiên cứu một bài