BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH  CAO THỊ TỪ TÂM KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN VÀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH CAO THỊ TỪ TÂM KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN VÀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS. ĐINH HUY HOÀNG NGHỆ AN - 2014 MỤC LỤC Lời nói đầu 2 1 Không gian mêtric nón 4 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Nón trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Không gian mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong không gian mêtric nón 19 2.1 Một số kết quả đã có về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong không gian mêtric nón . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Vài mở rộng của một số kết quả trong các tài liệu [4], [5] . . . . . . . 27 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 +++ 1 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích, nó được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm. Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) trong không gian mêtric đầy đủ là kết quả quan trọng đầu tiên trong lý thuyết điểm bất động. Sau đó, người ta đã mở rộng nguyên lý này cho nhiều loại ánh xạ và nhiều loại không gian. Vào năm 2007, Huang Long - Zhang Xian [5] đã thay tập số thực trong định nghĩa mêtric bởi một nón định hướng trong không gian Banach và đã thu được khái niệm mới tổng quát hơn đó là khái niệm không gian mêtric nón. Từ đó, nguyên lý điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric nón đầy đủ đã được chứng minh. Vấn đề về sự tồn tại điểm bất động và bất động chung của các ánh xạ co trong không gian mêtric nón được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả [3, 4, 5, 6]. Để tập dượt nghiên cứu khoa học, chúng tôi tiếp cận hướng nghiên cứu này. Tìm hiểu, nghiên cứu các tính chất của không gian mêtric nón, các kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong không gian mêtric nón. Với mục đích đó, luận văn được chia làm hai chương Chương 1. Không gian mêtric nón Trong chương này, trình bày một số khái niệm và kết quả về không gian tôpô, không gian mêtric, không gian Banach, ánh xạ liên tục ; các định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của nón và không gian mêtric nón mà chúng được dùng trong chương hai. Chương 2. Sự tồn tại điểm bất động chung của ánh xạ tương thích yếu trong không gian mêtric nón Đây là nội dung chính của luận văn. Trong mục 2.1 chúng tôi trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong không gian mêtric nón. Các kết quả này đã có trong các tài liệu tham khảo nhưng 2 với giả thiết mêtric nón nhận giá trị trong nón chuẩn tắc. Chúng tôi chứng minh các kết quả này vẫn đúng trong không gian mêtric nón mà không cần giả thiết nón chuẩn tắc, đó là các Định lý 2.1.1, 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5. Trong mục thứ 2, chúng tôi đưa ra một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu đó là Định lý 2.2.1, 2.2.3, các Hệ quả 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6, 2.2.8 và 2.2.9. Các kết quả này là mở rộng của một số kết quả trong các tài liệu tham khảo [4, 5, 6]. Cuối cùng chúng tôi đưa ra Ví dụ 2.2.10 chứng tỏ kết quả của chúng tôi thực sự tổng quát hơn một số kết quả trong [4] Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của PGS.TS. Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Vinh. Tác giả xin được cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo Tổ Giải tích trong Khoa Toán - Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè trong lớp Cao học 20 - Chuyên ngành Giải Tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn có thể không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong quý Thầy Cô và bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn. Thành phố Vinh, tháng 6 năm 2014 Tác giả 3 CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN 1.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mục này trình bày một số khái niệm và các kết quả cơ bản về không gian mêtric, quan hệ thứ tự bộ phận, điểm bất động, cặp ánh xạ tương thích yếu, . cần dùng trong luận văn. 1.1.1 Định nghĩa. ([3]) Cho tập hợp X. Họ T các tập con của X gọi là tôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện (T 1 ) ∅ và X ∈ T ; (T 2 ) Nếu G i ∈ T , i ∈ I thì  i∈I G i ∈ T ; (T 3 ) Nếu G 1 , G 2 ∈ T thì G 1 ∩ G 2 ∈ T . Tập hợp X cùng với tôpô T trên nó được gọi là không gian tôpô và ký hiệu là (X, T ) hoặc X. Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô. Các phần tử thuộc T được gọi là tập mở. Giả sử A ⊂ X. Tập A được gọi là đóng nếu X\A là mở. 1.1.2 Định nghĩa. ([3]) Cho không gian tôpô X, tập con A của X được gọi là lân cận của điểm x ∈ X nếu tồn tại tập mở V ⊂ X sao cho x ∈ V ⊆ A. Cho không gian tôpô X, x ∈ X và U(x) là họ tất cả các lân cận của x. Họ B(x) ⊂ U(x) được gọi là cơ sở lân cận tại x nếu với mọi U ∈ U(x) tồn tại V ∈ B(x) sao cho V ⊂ U. 4 1.1.3 Định nghĩa. ([3]) Dãy {x n } trong không gian tôpô X được gọi là hội tụ tới x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại n 0 ∈ N sao cho x n ∈ U với mọi n ≥ n 0 . Khi đó, ta viết x n → x hoặc lim n→ ∞ x n = x. 1.1.4 Định nghĩa. ([3]) Không gian tôpô X được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu tại mỗi điểm x ∈ X có một cơ sở lân cận B(x) có lực lượng đếm được. Không gian tôpô X được gọi là T 1 - không gian nếu với mọi x, y ∈ X, x = y tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho y /∈ U và x /∈ V. Không gian tôpô X được gọi là T 2 - không gian hay không gian Hausdorff nếu hai điểm bất kỳ x, y ∈ X, x = y tồn tại các lân cận tương ứng U x , U y của x và y sao cho U x ∩ U y = ∅. Nếu X là không gian Hausdorff thì mỗi dãy trong X mà hội tụ thì hội tụ tới một điểm duy nhất. 1.1.5 Định nghĩa. ([3]) Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và ánh xạ f : X → Y . Ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x ∈ X nếu với mỗi lân cận V của f(x), tồn tại lân cận U của x sao cho f (U) ⊂ V . Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X (nói gọn là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X. 1.1.6 Định lý. ([3]) Giả sử X và Y là các không gian tôpô, ánh xạ f : X → Y. Khi đó các điều kiện sau đây tương đương 1) f liên tục trên X; 2) Nếu E là tập mở trong Y thì f −1 (E) mở trong X; 3) Nếu E là tập đóng trong Y thì f −1 (E) đóng trong X. 1.1.7 Định nghĩa. ([3]) Giả sử X là tập khác rỗng và ánh xạ d : X × X → R. Ánh xạ d được gọi là mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y; (ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X; 5 (iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X. Tập hợp X cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian mêtric và ký hiệu là (X, d) hay X. 1.1.8 Định nghĩa. ([3]) Cho X là không gian mêtric. Một dãy {x n } trong X được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi  > 0, tồn tại n 0 ∈ N sao cho với mọi n và m ≥ n 0 thì d(x n , x m ) < . Mọi dãy hội tụ là dãy Cauchy. Không gian mêtric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. Tập con A ⊂ X được gọi là tập đầy đủ nếu nó đầy đủ với mêtric cảm sinh, nói cách khác mọi dãy Cauchy trong A đều hội tụ tới điểm thuộc A. Mọi tập con đầy đủ trong không gian mêtric là tập đóng, mọi tập con đóng của một không gian mêtric đầy đủ là tập đầy đủ. 1.1.9 Định nghĩa. ([3]) Giả sử E là không gian vectơ trên trường K = R hoặc K = C. Hàm p : E → R được gọi là chuẩn trên E nếu thỏa mãn các điều kiện sau (i) p(x) ≥ 0, ∀x ∈ E và p(x) = 0 ⇔ x = 0; (ii) p(λx) = |λ| p(x), ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K; (iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) ∀x, y ∈ E. Số p(x) được gọi là chuẩn của vectơ x ∈ E. Ta thường kí hiệu chuẩn của x là ||x||. Không gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trên nó được gọi là không gian định chuẩn. 1.1.10 Mệnh đề. Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức d(x, y) = ||x − y||, ∀x, y ∈ E, xác định một mêtric trên E. Ta gọi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn hay mêtric chuẩn. Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ theo mêtric sinh bởi chuẩn được gọi là không gian Banach. 6 1.1.11 Định lý. ([2]) Nếu E là không gian định chuẩn thì ánh xạ chuẩn x → ||x|| , ∀x ∈ E, phép cộng (x, y) → x + y, ∀(x, y) ∈ E × E, và phép nhân với vô hướng (λ, x) → λx, với mọi (λ, x) ∈ K × E là các ánh xạ liên tục. 1.1.12 Định lý. ([2]) Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó, với mỗi a ∈ E và mỗi λ ∈ K, λ = 0 các ánh xạ x → x + a, x → λx, ∀x ∈ E là các phép đồng phôi E lên E. 1.1.13 Định nghĩa. Cho X là một tập khác rỗng. Quan hệ hai ngôi ≤ được gọi là thứ tự bộ phận trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau (i) x ≤ x với mọi x ∈ X; (ii) Từ x ≤ y và y ≤ x suy ra x = y với mọi x, y ∈ X; (iii) x ≤ y; y ≤ z suy ra x ≤ z với mọi x, y, z ∈ X. Tập hợp X cùng với một thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận và ký hiệu (X, ≤) hoặc X. 1.1.14 Định nghĩa. Giả sử "≤" là một quan hệ hai ngôi trên X và A ⊆ X. Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên (tương ứng cận dưới) của A nếu a ≤ x (tương ứng x ≤ a) với mọi phần tử a ∈ A. Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên đúng (tương ứng cận dưới đúng) của A nếu x là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A và nếu y cũng là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A thì x ≤ y (tương ứng y ≤ x). Khi đó, ta kí hiệu x = sup A (tương ứng x = inf A). 7 1.1.15 Định nghĩa. ([5]) Giả sử X là một tập khác rỗng và các ánh xạ f, g : X → X. Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu fx = x. Điểm x ∈ X được gọi là điểm chung của các ánh xạ f và g nếu fx = gx. Khi đó, w = fx = gx được gọi là giá trị chung của các ánh xạ f và g. Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động chung của các ánh xạ f, g nếu fx = gx = x. Hai ánh xạ f và g được gọi là cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nếu tồn tại điểm chung x ∈ X sao cho f và g giao hoán tại x, nghĩa là tồn tại x ∈ X sao cho fx = gx và fgx = gfx. Nếu f, g giao hoán tại mọi điểm chung thì chúng được được gọi là cặp ánh xạ tương thích yếu. 1.1.16 Mệnh đề. ([5]) Giả sử X là một tập hợp khác rỗng và f, g : X → X là cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên của X. Nếu f, g có duy nhất một giá trị chung w = fx = gx thì w cũng là điểm bất động chung duy nhất của f và g. 1.2. NÓN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Mục này trình bày định nghĩa, ví dụ và các tính chất cơ bản của nón trong không gian Banach. 1.2.1 Định nghĩa. ([6]) Giả sử E là không gian Banach trên trường số thực R. Một tập con P của E được gọi là nón trong E nếu: (i) P là đóng trong E, P = ∅, P = {0}; (ii) Với a, b ∈ R, a, b ≥ 0 và x, y ∈ P thì ax + by ∈ P ; (iii) Nếu x ∈ P và −x ∈ P thì x = 0. Giả sử P là một nón trong không gian Banach E. Ta xác định quan hệ thứ tự bộ phận "≤" trên E tương ứng với P bởi x ≤ y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P. Ta viết x < y nếu x ≤ y và x = y và viết x  y nếu y − x ∈ intP, trong đó intP là phần trong của P. 1.2.2 Ví dụ. 1) Trong không gian Banach các số thực R với chuẩn thông thường, tập P = {x ∈ R : x ≥ 0} là một nón. 8 [...]... / Vậy f liên tục tại a 18 CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN 2.1 MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÃ CÓ VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN Mục này trình bày lại một số kết quả đã có về sự tồn tại điểm bất động chung của cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên trong không gian mêtric nón Giả sử φ : R+... y và từ f x = T x = y suy ra T y = f y Do đó y cũng là điểm chung của f, S và T Vì f, S và T có duy nhất một giá trị chung nên f y = Sy = T y = y, tức là y là điểm bất động chung của f, S và T Cũng từ tính duy nhất của giá trị chung của f, S và T suy ra điểm bất động chung y của các ánh xạ này là duy nhất 2.2.4 Hệ quả Giả sử (X,d) là không gian mêtric nón; S,T là hai ánh xạ từ X vào X thỏa mãn các. .. là các hằng số dương cho trước 1 + 4x 1 + 2x và g(x) = , ∀x ∈ R Rõ ràng Xác định f, g : R → R với f (x) = 3 5 (R, d) là không gian mêtric nón f và g là các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên và f, g thỏa mãn điều kiện (2.1) Ngoài ra, 1 là điểm bất động chung duy nhất của f và g 2.1.3 Định lý ([5])Cho (X, d) là không gian mêtric nón và P là một nón chuẩn tắc Giả sử f, g là cặp ánh xạ tương thích yếu. .. ([5]) Cho (X,d) là không gian mêtric nón và P là một nón chuẩn tắc Giả sử f,g là các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên từ X vào X và thỏa mãn điều kiện sau d(f x, f y) φ (sup {d(gx, gy), d(gx, f y), d(gy, f x), d(gy, f y)}) (2.1) với mọi x, y ∈ X thì f và g có điểm bất động chung duy nhất Chứng minh Vì f, g là các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại điểm u ∈ X sao cho f u = gu và f gu = gf u... f và g có duy nhất điểm bất động chung 2.2.2 Nhận xét Trong Định lý 2.2.1 nếu lấy α = β = 0 thì ta có Định lý 2.1.3, tức là Định lý 2.3 trong [5] Sau đây, chúng tôi sẽ chứng minh một định lý về sự tồn tại điểm bất động chung của ba ánh xạ trong không gian mêtric nón và chỉ ra một số kết quả trong [3,4,6] là hệ quả của định lý này 2.2.3 Định lý Cho (X, d) là không gian mêtric nón Giả sử S, T, f là các. .. là không gian mêtric nón và P là một nón chuẩn tắc Giả sử f, g, S, T là các ánh xạ từ X vào X sao cho {f,S} và {g,T} là các cặp tương thích yếu ngẫu nhiên Khi đó, nếu d(f x, gy) < sup{d(Sx, T y), d(Sx, f x), d(T y, gy), (2.4) d(Sx, gy), d(T y, f x)}, với mỗi x, y ∈ X, mà f x = gy thì f, g, S và T có điểm bất động chung duy nhất Chứng minh Từ giả thiết mỗi cặp ánh xạ {f, S} và {g, T } là tương thích yếu. .. hay v là điểm chung duy nhất của S, T và f Nếu các cặp (S, f ) và (T, f ) là tương thích yếu thì Sv = Sf u = f Su = f v và T v = T f u = f T u = f v nên Sv = T v = f v := w hay w là giá trị chung của S, T và f Do đó w = v Vậy v là điểm bất động chung duy nhất của S, T và f 26 Trong Định lý 2.1.7, lấy S = T và α = β, ta có hệ quả sau 2.1.8 Hệ quả ([4]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón P là nón chuẩn... số chuẩn tắc k); T, f là các ánh xạ từ X vào X thỏa mãn các điều kiện 1) T (X) ⊂ f (X) và f (X) là tập con đầy đủ trong X; 2) Tồn tại các hằng số không âm α, β, γ sao cho α+β+γ 0 2.1.5 Định lý ([5])Cho (X, d) là không gian mêtric nón và P là nón chuẩn tắc Giả sử f, g, S, T là các ánh xạ từ X vào X sao cho {f, S} và {f, T } là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên Khi đó,... thấy các điều kiện của Định 2 2 lý 2.2.3 được thỏa mãn với S = T Do đó theo Định lý 2.2.3, f và T có điểm bất d(T x, T y) b1 d(f x, f y) + động chung duy nhất 33 Trong Hệ quả 2.2.5, nếu lấy f là ánh xạ đồng nhất trên X (tức f x = x với mọi x ∈ X) thì ta nhận được hệ quả sau 2.2.6 Hệ quả Giả sử (X,d) là một không gian mêtric nón đầy đủ và T là ánh xạ từ X vào X Khi đó, nếu tồn tại các hằng số không . này. Tìm hiểu, nghiên cứu các tính chất của không gian mêtric nón, các kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong không gian mêtric nón. Với mục đích đó, luận. chất của nón và không gian mêtric nón mà chúng được dùng trong chương hai. Chương 2. Sự tồn tại điểm bất động chung của ánh xạ tương thích yếu trong không gian mêtric nón Đây là nội dung chính của. số kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong không gian mêtric nón. Các kết quả này đã có trong các tài liệu tham khảo nhưng 2 với giả thiết mêtric nón nhận giá