Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biến HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN LỚP THƯ NGỎ GỬI PHỤ HUYNH-HỌC SINH TRUNG TÂM DẠY KÈM VÀ LUYỆN THI THANH PHƯƠNG TRUNG TÂM GIẢNG DẠY CHẤT LƯỢNG CAO – UY TÍN Kính Gởi Q Phụ Huynh Cùng Tất Cả Các Em Học Sinh Thân Mến! Với nhiều năm kinh nghiệm công tác giảng dạy, hiểu rằng: DẠY KÈM phương pháp tốt để HỌC SINH YẾU dễ hiểu HỌC SINH GIỎI nhanh nâng cao kiến thức Mặt khác, sống tất bật, Q phụ huynh khơng có nhiều thời gian để hướng dẫn, bảo kèm cặp em Q phụ huynh mong muốn có Gia sư không đơn người thầy giảng dạy kiến thức mà người giáo dục tư cách, phẩm chất cho em Để đáp ứng nhu cầu học kèm nhà, Trung tâm Gia Sư Thanh Phương cộng tác với nhiều Giáo Viên giảng dạy trường TH, THCS, THPT TPvà huyện lân cận tỉnh QUẢNG NGÃI … Nhằm tạo đội ngũ Gia Sư có chun mơn cao đáp ứng nhu cầu học tập rèn luyện cho tất học sinh cấp, trình độ Trung tâm Gia sư Thanh Phương tự hào nơi cung cấp Gia sư dạy kèm nhà uy tín QUẢNG NGÃI Với phương châm “UY TÍN – HIỆU QUẢ – TẬN TÂM – TẬN TÌNH – CHI PHÍ THẤP” Gia Sư Thanh Phương mong muốn đóng góp phần nhỏ bước đường thành đạt em Quý Phụ Huynh Đến với Gia Sư Thanh Phương chắn Quý Phụ Huynh hài lòng tư vấn tận tình phương pháp giảng dạy chuyên nghiệp Gia Sư Thanh Phương chuyên cung cấp gia sư dạy kèm nhà / Mở lớp trung tâm: • NHẬN GIẢNG DẠY TỪ LỚP ĐẾN LỚP 12 CÁC MƠN: TỐN – LÝ– HĨA – SINH – VĂN – ÂM NHẠC – HỘI HỌA – TIN HỌC – NGOẠI NGỮ (Anh, ) Luyện thi chuyển cấp cho học sinh Khối lớp 5, lớp 9, Tú tài; Đại học Khối A, B, C, D… GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biến ĐẶC BIỆT: - Mở lớp trung tâm: TT mở lớp thường xun mơn Tốn-Lý-Hóa cấp 2, Tốn cấp với số lượng 5-8 học viên, học phí từ 200.000– 400.000 /tháng/ môn Trọng tâm giảng dạy Gia Sư Thanh Phương * Ôn tập lại kiến thức học trường, *Dạy sát chương trình, dạy sâu kiến thức, dạy kỹ chuyên môn, kiến thức cải cách Bộ GD * Kỹ làm thi trắc nghiệm * Lấy lại kiến thức cho học sinh yếu, Nâng cao mở rộng cho học sinh khá, giỏi * Luôn nâng cao mở rộng kiến thức cho em * Thường xuyên báo cáo kết học tập đến Quý Phụ Huynh * Nhận dạy thử tuần đầu Tất Cả Vì Tương lai em chúng ta! Hãy Để Cho Chúng Tôi Thắp Sáng Ước Mơ Của Các Em Bằng Con Đường Giáo Dục Kính chúc Quý Phụ Huynh em Học Sinh nhiều sức khỏe thành công! Chúng Tự hào nơi cung cấp gia sư uy tín hàng đầu QUẢNG NGÃI chuyên dạy kèm nhà Mở lớp Trung tâm HÃY LIÊN HỆ VỚI CHÚNG TÔI KHI CHƯA QUÁ MUỘN ĐỊA CHỈ : HẺM 936 QUANG TRUNG TP QUẢNG NGÃI ĐỊA CHỈ : ĐỘI XÃ NGHĨA MỸ- HUYỆN TƯ NGHĨA - QUẢNG NGÃI ĐT : 0976.580.880 0944.943.699 Gmail thayphuong.qn@gmail.com Chúng sẵn sàng phục vụ hỗ trợ bạn! Trân trọng ! CHƯƠNG I Vận dụng đẳng thức đáng nhớ để giải toán Những đẳng thức đáng nhớ: A ( B + C) = A.C + A.B ( A + B ) (C + D ) = A.C+ A.D + B.D + B C ( A + B ) (D + E + F ) = A.D + A.E + A.F + B.D + B.E + B.F đẳng thức:(SGK) Với A, B biểu thức • (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 • (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 • A2 – B2 = (A + B)(A – B) GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biến • (A + B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 +B3 • (A – B) = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3 • A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2) • A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB +B2) Các đẳng thức liên quan: • (A + B)2 = (A –B)2 + 4AB • (A – B)2 = (A +B)2 – 4AB • A2 + B = ( A + B ) − AB • A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB (A+B) • A3 - B3 = (A – B)3 + 3AB (A – B) • (A + B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB - AC – BC) Các đẳng thức dạng tổng quát: • (A + B)n = An + n An-1B + + n ABn-1 + Bn • An – Bn = (A – B) (An-1 + An-2B + +ABn-2 + Bn-1) • (A1 + A2 + +An)2 = A12 + A22 + + An2 + 2(A1A2 + A1A3+ +An-1An) ( a + b ) =a + (1 + ( a ) = + a − b) (1 − ) a− = b ( a 2 ab + b a + a =a − = − ab + b a + a a − b )( a + b ) a a + b b = ( a + b )(a − ab + ) b a a − b b = ( a − b )(a + ab + ) b 1− a 1+ a ( a = 1+ ( )(1 + a )(1 − a = 1− a ( a =( a b +b a = a b −b ) a + ) a a + a ) ab ) ( ab ( a + b ) a − b) ÔN TẬP KT CHƯƠNG I ĐẠI SỐ LÝ THUYẾT Điều kiện có nghĩa số biểu thức: 1) A(x) đa thức ⇒ A(x) ln có nghĩa Khử mẫu biểu thức dấu bậc hai: Ta nhân mẫu số với thừa số phụ thích hợp để mẫu số bình phương A( x ) 2) B( x) có nghĩa ⇔ B(x) ≠ GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880 Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biến A(x) có nghĩa ⇔ A(x) ≥ A( x) 4) B( x) có nghĩa ⇔ B(x) > 3) A B ( A) A A B A B = = a.B a B a B ( ) ( với A ≥ ; B ≥ ) Tổng quát: A1 A2 A n = A1 A2 An với Ai ≥ (1 ≤ i ≤ n) A = B A (với A ≥ 0, B ≥ 0) B DẠNG 2: Mẫu biểu thức dạng tổng có thức, ta nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp mẫu  A – B A + B hai biểu thức liên hợp với  (A – B)(A + B) = A2 – B2 ( Đưa thừa số A dấu bậc hai: ta |A| Ta có: AB= A ( A B =− A B ) m m.( A + B ) m A + B = = A2 − B A − B ( A − B )( A + B )  B m = A+ B Đưa thừa số vào dấu bậc hai: ) m m.( A − B ) m A − B = = A2 − B A + B ( A + B )( A − B )  A B = A2 B A.B ( với B ≠ 0, A.B ≥ ) B DẠNG 1: Mẫu biểu thức dạng tích thức số, ta nhân tử mẫu với thức Nếu A không âm A.B = A.B = B2 Trục thức mẫu số: A A = A = − A A2 = A = A A = A = B m A− ( với A ≥ ) ( ( ) ( m A − B m A − B = A− B A+ B A− B )( ) m.( A + B ) m.( A + B ) = = A− B B ( A − B )( A + B ) ( với A < ) Phương trình chứa thức bậc hai: 1) A2 = ⇔| A |= ⇔ A = 3) B ≥ A=B⇔ A = B 2)  B ≥ 0(hoặc A ≥ ) A= B⇔ A = B 4) A + B = O ⇔ A = B = A Kiến thức cần nhớ Điều kiện để thức có nghĩa A có nghĩa A ≥ Các cơng thức biến đổi thức A2 = A a AB = A B ( A ≥ 0; B ≥ 0) b GV : Phạm hồng Phượng ) ĐT : 0976580880 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biến c d e A = B A B ( A ≥ 0; B > 0) A2 B = A B A B = A2 B ( A ≥ 0; B ≥ 0) A B = − A2 B f A = B B ( B ≥ 0) AB ( A < 0; B ≥ 0) ( AB ≥ 0; B ≠ 0) i A A B = B B k C C( A m ) B = A− B A±B m C C( A m B ) = A − B2 A± B ( B > 0) ( A ≥ 0; A ≠ B ) ( A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B )  Kiến thức bản: CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT 1.1Hàm số bậc a Khái niệm hàm số bậc - Hàm số bậc hàm số cho cơng thức y = ax + b Trong a, b số cho trước a ≠ b Tính chất :Hàm số bậc y = ax + b xác định với giá trị x thuộc R có tính chất sau: Đồng biến R a > Nghịch biến R a < c Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) đường thẳng Cắt trục tung điểm có tung độ b Song song với đường thẳng y = ax, b ≠ 0, trùng với đường thẳng y = ax, b = * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) Bước Cho x = y = b ta điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy Cho y = x = ta điểm Q( ; 0) thuộc trục hoành Bước Vẽ đường thẳng qua hai điểm P Q ta đồ thị hàm số y = ax + b d Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) (d’): y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) Khi + + a = a ' d // d ' ⇔  b ≠ b ' d '∩ d ' = { A} ⇔ a ≠ a ' GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biến a = a ' d ≡d'⇔ b = b ' d ⊥ d ' ⇔ a.a ' = −1 + + e Hệ số góc đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) *Góc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox - Góc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox góc tạo tia Ax tia AT, A giao điểm đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T điểm thuộc đường thẳng y = ax + b có tung độ dương *Hệ số góc đường thẳng y = ax + b - Hệ số a phương trình y = ax + b gọi hệ số góc đường thẳng y = ax +b f Một số phương trình đường thẳng Đường thẳng qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x – x0) + y0 x y Đường thẳng qua điểm A(x0, 0) B(0; y0) với x0.y0 ≠ x + y = 0 2.1 Cụng thức tính toạ độ trung điểm đoạn thẳng độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) B(x2, y2) Khi Độ dài đoạn thẳng AB tính cơng thức - AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) - Tọa độ trung điểm M AB tính cơng thức xM = x A + xB y + yB ; yM = A 2 CHỦ ĐỀ 3: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I CÁC KHÁI NIỆM: Phương trình bậc hai ẩn: +Dạng: ax + by = c a; b; c hệ số biết( a ≠ b ≠ 0) + Một nghiệm phương trình cặp số x0; y0 thỏa mãn : ax0 + by0 = c + Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c ln có vơ số nghiệm + Tập nghiệm biểu diễn đường thẳng (d): ax + by = c Nếu a ≠ 0; b ≠ đường thẳng (d) đồ thị hàm số bậc nhất: y=− a c x+ b b  Hệ hai phương trình bậc hai ẩn: + Dạng: ax + by = c.(1)  , , , a x + b y = c (2) + Nghiệm hệ nghiệm chung hai phương trình + Nếu hai phương trình khơng có nghiệm chung ta nói hệ vơ nghiệm + Quan hệ số nghiệm hệ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm: -Phương trình (1) biểu diễn đường thẳng (d) -Phương trình (2) biểu diễn đường thẳng (d') ax + by = c , a ≠ ( D ) a ' x + b ' y = c ', a ' ≠ ( D ') ** Cho hệ phương trình:  GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biến a b ⇔ Hệ phương trình có nghiệm ≠ a' b' a b c ⇔ Hệ phương trình vơ nghiệm = ≠ • (D) // (D’) ⇔ a' b' c' a b c ⇔ Hệ phương trình có vơ số nghiệm = = (D) ≡ (D’) ⇔ a' b' c' • (D) cắt (D’) ⇔ Hệ phương trình tương đương: Hai hệ phơng trình gọi tương đương với chúng có tập nghiệm II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH: Giải hệ phương trình phương pháp thế: a) Quy tắc thế: + Bước 1: Từ phương trình hệ cho, ta biểu diễn ẩn theo ẩn kia, thay vào phương trình thứ hai để phương trình (chỉ cịn ẩn) + Bước 2: Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ (phương trình thứ thường thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có bước 1)  Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số: a)Quy tắc cộng đại số: + Bước 1: Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ hệ phương trình cho để phương trình + Bước 2: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ (và giữ nguyên phương trình kia) Lưu ý: Khi hệ số ẩn đối ta cộng vế theo vế hệ Khi hệ số ẩn ta trừ vế theo vế hệ Khi hệ số ẩn không khơng đối ta chọn nhân với số thích hợp để đưa hệ số ẩn đối (hoặc nhau) ( tạm gọi quy đồng hệ số) HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU A Kiến thức Góc tạo đường thẳng y = ax + b (a khác 0) trục Ox - Góc α tạo đường thẳng y = ax + b (a khác 0) trục Ox góc tạo tia Ax tia AT, A giao điểm đường thẳng y = ax + b với trục Ox; T điểm thuộc đường thẳng y = ax + b có tung độ dương 8 T 4 T A -15 -10 α α -5 10 15 α y=ax+b y=ax -15 -2 -10 -5 α A 10 15 y=ax -2 -4 y=ax+b -6 -4 -8 Trường hợp a > -6 -8 Trường hợp a < GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biến - với a > ⇒ 00 < α < 900 , a lớn α lớn - với a < ⇒ 900 < α < 1800 , a lớn α lớn y = ax + b (a khác 0) a gọi hệ số góc đường thẳng ' ' ' ' Với đường thẳng ( d ) : y = ax + b ( d ) : y = a x + b ( a; a ≠ ) , ta có: ( ) + ( d ) ×( d ) ⇔ a ≠ a ( ) + ( d ) ⊥ ( d ) ⇔ a.a = −1 + ( d ) / / d ' ⇔ a = a ' ; b ≠ b' ' + ( d ) ≡ d ' ⇔ a = a' ; b = b' ' ' ' - Chú ý: a khác a’ b = b’ đường thẳng có tung độ gốc, chúng cắt điểm trục tung có tung độ b GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ A Kiến thức Quy tắc - từ phương trình hệ biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) - dùng kết cho x (hoặc y) pt lại thu gọn Cách giải hệ phương trình phương pháp - dùng quy tắc biến đổi hệ phương trình cho để đc hpt có pt ẩn - giải pt ẩn vừa tìm đc, suy nghiệm hpt cho GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ A Kiến thức Quy tắc cộng đại số: gồm bước - Cộng hay trừ vế pt hpt cho để đc pt - Dùng pt thay cho pt hệ (giữ nguyên pt kia) Tóm tắt cách giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số - Giải theo quy tắc: “Nhân bằng, đổi đối, cộng, chia Thay vào tính nốt ẩn thành” - Nghĩa là: + nhân cho hệ số ẩn hai phương trình + đổi dấu vế pt: hệ số ẩn đối + cộng vế với vế pt hệ, rút gọn tìm ẩn + thay vào tính nốt ẩn cịn lại GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Kiến thức Để giải toán cách lập hệ phương trình ta thực theo bước sau : - bước : lập hpt (bao gồm công việc sau) + chọn ẩn đặt điều kiện thích hợp cho ẩn) + biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết + lập hpt biểu thị tương quan đại lượng - bước : giải hpt vừa lập đc bước - bước : kết luận : so sánh nghiệm tìm đc với điều kiện đặt ban đầu GV : Phạm hồng Phượng ĐT : 0976580880 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biến CHƯƠNG III 2 HÀM SỐ y = ax ( a ≠ ) ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax ( a ≠ ) A Kiến thức Tính chất hàm số y = ax ( a ≠ ) a) Tính chất: Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > Nếu a < hàm số nghịch biến x > đồng biến x < b) Nhận xét: Nếu a > y > với x khác 0; y = x = giá trị nhỏ hàm số y = Nếu a < y < với x khác 0; y = x = giá trị lớn hàm số y = 2 Tính chất đồ thị hàm số y = ax ( a ≠ ) Đồ thị hàm số y = ax ( a ≠ ) đường cong qua gốc tọa độ nhận trục Oy trục đối xứng đường cong gọi Parabol với đỉnh O Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh, O(0;0) điểm thấp đồ thị Nếu a < đồ thị nằm phía trục hồnh, O(0;0) điểm cao đồ thị PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN A Kiến thức Định nghĩa: pt bậc hai ẩn pt có dạng: ẩn; a, b, c số cho trước Cách giải ax + bx + c = ( a ≠ ) (1), x x = x = a) Khuyết c (c = 0): pt (1) trở thành: ax + bx = ⇔ x ( ax + b ) = ⇔  ax + b = ⇔  x = − b   a  c b) Khuyết b (b = 0): pt (1) trở thành: ax + c = ⇔ ax = −c ⇔ x = − (2) a c - − < pt (2) vơ nghiệm, suy pt (1) cung vô nghiệm a c c - − > ⇒ x = ± − a a c) đầy đủ: ax + bx + c = ( a ≠ ) Công thức nghiệm Công thức nghiệm thu gọn ∆ = b − 4ac + Nếu ∆ > ∆ ' = b '2 − ac + Nếu ∆ ' > pt có nghiệm phân biệt: GV : Phạm hồng Phượng pt có nghiệm phân biệt: ĐT : 0976580880 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biến −b + ∆ −b − ∆ ; x2 = 2a 2a + ∆ = pt có nghiệm kép: −b x1 = x2 = 2a + ∆ < pt vơ nghiệm −b ' + ∆ ' −b ' − ∆ ' ; x2 = a a ' + ∆ = pt có nghiệm kép: −b ' x1 = x2 = a ' + ∆ < pt vơ nghiệm x1 = x1 = d) Cho pt: ax + bx + c = ( a ≠ ) Điều kiện để phương trình: - Vô nghiệm: ∆ < ( ∆ ' < ) - Nghiệm kép: ∆ = ( ∆ ' = ) - Có nghiệm phân biệt: ∆ > ( ∆ ' > ) a.c < - Có nghiệm - Có nghiệm ∆ ( ∆ ' ) ≥  dấu:   P = x1.x2 >  ∆ ( ∆ ' ) ≥   dấu âm:  P = x1.x2 > S = x + x <   - Có nghiệm dấu dương: - Có nghiệm khác dấu: ∆ ( ∆ ' ) ≥    P = x1.x2 > S = x + x >   ∆ ( ∆ ' ) ≥    P = x1.x2 <  Hệ thức Vi-ét ứng dụng - Định lý: Nếu x1; x2 nghiệm pt ax + bx + c = ( a ≠ ) b   x1 + x2 = − a    x x = c  a  - Ứng dụng nhẩm nghiệm hệ thức Vi-ét: c a + pt ax + bx + c = ( a ≠ ) có a+b+c = pt có nghiệm là: x1 = 1; x2 = + pt ax + bx + c = ( a ≠ ) có a −b +c = pt có nghiệm là: x1 = −1; x2 = − + u + v = S  u.v = P suy u, v nghiệm pt: x − Sx + P = c a (điều kiện để tồn u, v ∆ = S − P ≥ ) PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương trình trùng phương - dạng tổng quát: ax + bx + c = ( a ≠ ) - cách giải: dùng phương pháp đặt ẩn phụ, đặt x = t ( t ≥ ) Khi ta có pt: at + bt + c = (đây pt bậc hai ẩn) Phương trình chứa ẩn mẫu: Các bước giải - Tìm đk xác định pt GV : Phạm hồng Phượng 10 ĐT : 0976580880 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biến Vận dụng tính chất đường đồng quy tam giác Ta vận dụng định lí Talet đảo đoạn song song Vấn đề: c/m hệ thức hình học Tức ta phải c/m đẳng thức từ kiện đề cho Ta thường dùng công thức tam giác vng xuất góc vng (xem phần trước) Ta dùng phương pháp hai tam giác đồng dạng để c/m tỉ số từ tỉ số ta suy đẳng thức cần c/m Chú ý sử dụng tính chất bắc cầu nhiều tam giác đồng dạng Vận dụng cơng thức diện tích phân tích hình thành nhiều tam giác cộng diện tích lại Sử dụng tam giác để chuyển cạnh cần thiết Dùng tính chất đường trung bình ,HBH; đoạn chắn bỡi đường thẳng //… Vấn đề: c/m tứ giác nội tiếp Để c/m tứ giác ABCD nội tiếp ta có cách sau: Chỉ A+C =1800 Chỉ B+D=1800 Chỉ bốn điểm A; B;C D thuộc đường trịn cụ thể Chỉ góc nội tiếp A B nhìn CD góc Vấn đề: tính góc Để tính góc ta dùng tính chất góc đối đỉnh; góc kề bù; góc phụ Các tính chất góc tam giác; góc góc ngồi Vận dụng tính chất tổng góc tam giác; tứ giác Vận dụng tính chất phân giác; phân giác phân giác ngồi vng góc Vạn dụng tính chất góc nội tiếp Vận dụng tính chất tam giác đồng dạng Các tính chất góc hai đường thẳng song song Các tính chất hình thang; hình thang cân; hình bình hành; hình thoi;… II Các bất đẳng thức : Bất đẳng thức Cauchy: a+b ≥ ab Cho hai số khơng âm a; b ta có : Dấu "=" xãy a=b Tổng quát : Cho n số không âm a1,a2, an ta có : a1 + a2 + + an n ≥ a1 a2 an n Dấu "=" xãy a1 = a2 = = an Bất đẳng thức Bunhiacốpski : GV : Phạm hồng Phượng 37 ĐT : 0976580880 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biến Cho bốn số thực a,b,x,y ta có : (ax + by )2 ≤ (a2 + b )( x + y ) Dấu "=" xãy ay = bx Tổng quát : Cho hai số (a1 , a2 , an ) (b1 , b2 , , bn ) ta có : (a1b1 + a2 b2 + + an bn )2 ≤ (a12 + a2 + + an )(b12 + b2 + + bn ) Dấu "=" xãy a a1 a2 = = = n b1 b2 bn với quy ước mẫu tử 3) Bất đẳng thức bản: a) Cho hai số dương x, y ta ln có: 1 1 ≤ ( + ) x+y x y Dấu "=" xãy x = y b) Với số thực x, y ta ln có: x + y ≥ xy Dấu "=" xãy x = y III Bất đẳng thức JENSEN : 1) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) < Với x1 , x2 , , x n ∈ (a; b) ta có: 2) ∀x ∈ (a; b) (f hàm lồi) f ( x1 ) + f ( x ) + + f ( x n ) x + x + x n ≤ f( ) n n Dấu "=" xãy x1 = x = = x n Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) > ∀x ∈ (a; b) (f Với x1 , x2 , , x n ∈ (a; b) ta có: f ( x1 ) + f ( x ) + + f ( x n ) x + x + x n ≥ f( ) n n Dấu "=" xãy x1 = x = = x n (n ≥ 2) hàm lõm) (n ≥ 2) Để chứng minh đẳng thức lượng giác A < B (>, ≤, ≥ ) ta thực theo phương pháp sau: Phương pháp 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến đến bất đẳng thức hiển nhiên Phương pháp 2: Sử dụng bất đẳng thức biết (Cô si, BCS, ) để suy bất đẳng thức cần chứng minh GV : Phạm hồng Phượng 38 ĐT : 0976580880 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biến II DIỆN TÍCH CÁC HÌNH h b a a S = a b h a S=a a S = ah S = ah b h E a h a S = (a + b)h = EF.h S = ah h F d2 a d1 S = a h S = d1 ×d2 số quy tắc tính chu vi, diện tích hình Chu vi hình tam giác (hình tứ giác) (lớp 2): Tổng độ dài cạnh hình tam giác (hình tứ giác) chu vi hình Chu vi, diện tích hình chữ nhật (lớp 3): GV : Phạm hồng Phượng 39 ĐT : 0976580880 Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biến a b P = ( a + b) x S=axb P: chu vi, S: diƯn tÝch a: chiỊu dµi, b: chiỊu réng * Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta lấy chiều dài cộng với chiều rộng (cùng đơn vị đo) nhân với Nửa chu vi = Chu vi : = Chiều dài + chiều rộng Chiều dài = Nửa chu vi - chiều rộng ; Chiều rộng = Nửa chu vi - chiều dài * Muốn tính diện tích hình chữ nhật ta lấy chiều dài nhân với chiều rộng( đơn vị đo) Chiều rộng = Diện tích : chiều dài ( b = S : a) Chiều dài = Diện tích : chiều rộng ( a = S : b) Chu vi, diện tích hình vng (lớp 3): a P=ax4 S=axa ( a: c¹nh) * Muốn tính chu vi hình vng ta lấy độ dài cạnh nhân với Cạnh hình vuông = Chu vi : ( a = P : 4) * Muốn tính diện tích hình vng ta lấy độ dài cạnh nhân với Hình bình hành - Diện tích hình bình hành (lớp 4): - Hình bình hành có hai cặp cạnh đối diện song song * Diện tích hình bình hành độ dài đáy nhân với chiều cao a h a S = a x h (S diện tích, a độ dài đáy, h chiều cao hình bình hành) a=S : h ; h = S :a Hình thoi - Diện tích hình thoi (lớp 4): - Hình thoi có hai cặp cạnh đối diện song song bốn cạnh n m * Diện tích hình thoi tích độ dài hai đường chéo chia cho m×n S= (S diện tích hình thoi; m, n độ dài hai đường chéo) m =(S x2): n ; n = (S x 2) : m Diện tích hình tam giác (lớp 5): GV : Phạm hồng Phượng 40 ĐT : 0976580880 Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biến h a * Muốn tính diện tích hình tam giác ta lấy độ dài đáy nhân với chiều cao chia cho h S= (S diện tích; a độ dài đáy, h chiều cao) a =(Sx 2) : h ; h = (S x ): a Hình thang - Diện tích hình thang (lớp 5): - Hình thang có cặp cạnh đối diện song song b h a * Diện tích hình thang tổng độ dài hai đáy nhân với chiều cao chia cho S= ( a + b) × h (S diện tích; a, b độ dài cạnh đáy, h chiều cao ) Chu vi, diện tích hình trịn (lớp 5): O r * Muốn tính chu vi hình trịn ta lấy đường kính nhân với số 3, 14 C = d × 3, 14  d = C : 3,14 (C chu vi hình trịn, d đường kính hình trịn) Hoặc: Muốn tính chu vi hình trịn ta lấy lần bán kính nhân với số 3, 14 C = r × × 3, 14 r = C : : 3,14 = C : ( x 3,14) (C chu vi hình trịn, r bán kính hình trịn) * Muốn tính diện tích hình trịn ta lấy bán kính nhân với bán kính nhân với số 3, 14 S = r × r × 3, 14 (S diện tích hình trịn, r bán kính hình trịn) Hình hộp chữ nhật: (lớp 5) - Hình hộp chữ nhật có ba kích thước: chiều dài, chiều rộng, chiều cao c a ( a: chiỊu dµi; c b b b: chiỊu réng; a b a c: chiỊu cao) * Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật:(lớp 5): - Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật tổng diện tích bốn mặt bên hình hộp chữ nhật - Muốn tính diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật ta lấy chu vi mặt đáy nhân với chiều cao + Cách làm qua bước: 1) Pđáy = ( a + b) x GV : Phạm hồng Phượng 41 ĐT : 0976580880 Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biến 2) S xq = P đáy x c ( P đáy: chu vi đáy; Sxq: diện tích xung quanh) + Làm gộp: Sxq = (a + b) x x c * Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật: Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật tổng diện tích xung quanh diện tích hai đáy + Cách làm qua bước: 1) S đáy = a x b x 2) S = S xq + S * Thể tích hình hộp chữ nhật: (lớp 5) Muốn tính thể tích hình hộp chữ nhật ta lấy chiều dài nhân với chiều rộng nhân với chiều cao V = a × b × c (V thể tích hình hộp chữ nhật; a, b, c ba kích thước hình hộp chữ nhật 10 Hình lập phương: (lớp 5) - Hình lập phương có sáu mặt hình vng a a a a * Diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình lập phương(lớp 5) -Diện tích xung quanh hình lập phương diện tích mặt nhân với Sxq = a x a x - Diện tích tồn phần hình lập phương diện tích mặt nhân với Stp = a x a x * Thể tích hình lập phương: (lớp 5) Muốn tính thể tích hình lập phương ta lấy cạnh nhân với cạnh nhân với cạnh V = a ×a ×a 11 Hình trụ: - Hình trụ có hai đáy hai hình trịn Đoạn thẳng nối tâm đáy hình trụ gọi chiều cao hình trụ ( vật có dạng hình trụ: hộp sữa, khúc gỗ, ) O A h r O B đáy * Din tớch xung quanh hỡnh tr: Mun tính diện tích xung quanh hình trụ, ta lấy chu vi đáy nhân với chiều cao ( đơn vị đo) S xq = r x x 3,14 x h * Diện tích tồn phần hình trụ : Muốn tính diện tích tồn phần hình trụ ta lấy diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy GV : Phạm hồng Phượng 42 ĐT : 0976580880 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biến + Cách làm qua bước: 1) S đáy = r x r x 3,14 x 2) S = S xq + S đáy * Thể tích hình trụ: Muốn tính thể tích hình trụ ta lấy diện tích đáy nhân với chiều cao V = r x r x 3,14 x h 12 Hình cầu: bóng bàn, bóng đá, cho ta dạng hình cầu * Diện tích mặt cầu: S = ( r x r x 3,14 ) x * Thể tích hình cầu: Thể tích hình cầu diện tích mặt cầu chia cho V= (r ×r ×3,14) × ***** Vận tốc, quãng đường, thời gian 1/ Vận tốc: Muốn tính vận tốc, ta lấy quãng đường chia cho thới gian v=s:t 2/ Quãng đường: Muốn tính quãng đường ta lấy vận tốc nhân với thời gian s=vxt 3/ Thời gian: Muốn tính thời gian ta lấy quãng đường chia cho vận tốc t=s:v * Hai vật chuyển động chiều có vận tốc V1, V2 ( V1 > V2) cách quãng đường S, xuất phát lúc thời gian chúng đuổi kịp là: t= S V1 − V * Hai vật chuyển động chiều, xuất phát từ địa điểm Vật thứ hai xuất phát trước vật thứ thời gian t0 Sau vật thứ đuổi theo thời gian để chúng đuổi kịp là: t= V ×t0 V −V * Hai vật chuyển động ngược chiều thời điểm xuất phát cách quãng đường S thời gian chúng gặp ngau là: t= 1) Các đường tam giác: a) Đường trung tuyến AM: S V1 + V A B C M M trung điểm BC b) Đường phân giác AK: GV : Phạm hồng Phượng 43 ĐT : 0976580880 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biến A B · · BAK = KAC C K A O B C Giao điểm đường phân giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác c) Đường cao AH A B AH ⊥ BC C H Giao điểm đường cao gọi trực tâm d) Đường trung trực a : A A a B B M C C M a ⊥ BC , M trung điểm BC Giao điểm đường trung trực tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C b a 2) Ba đường trung tuyến cắt G: GA= AM A G trọng tâm 3) Định lý: G B C M MA = MB   ⇒ N trung điểm AC MN / / BC  A M B N C 4) Đường trung bình MN ∆ABC : GV : Phạm hồng Phượng 44 ĐT : 0976580880 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biến  MN / / BC  MN qua trung điểm hai cạnh AB, AC ∆ABC Có:  BC  MN =  A N M C B 5) Hệ thức lượng ∆ vuông A a) BC = AB + AC b) AH BC = AB AC C H B c) AH = HB.HC d) AB = BC.BH g) sin C = AB BC cos C = ; AC BC e ) AC = BC.CH ; tan C = f) 1 = + 2 AH AB AC AB AC 6) ∆ABC có AM trung tuyến A C B M AM = BC · · ⇔ BAC = 900 MA = MB = MC ⇔ BAC = 900 7) ∆ABC cạnh a: Tam giác tam giác có cạnh a 3 Đường cao AH = a2 Diện tích S = 8) Định lý Talet: AM AN = ⇔ MN / / BC AB AC A M N C B 9) Hình chữ nhật: S = AB.BC A B D C A C C 11) ∆ vng S= A 10) Hình vng: S = AB B D Diện tích S AB AC B GV : Phạm hồng Phượng 45 ĐT : 0976580880 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biến 12) Tam giác thường A A B S= C BC AH B H C 13) Hình thang B A S= D ( AB + CD ) AH C H 14) Hình bình hành A B S = DC AH D H 15) Hình thoi S = AD.BH B A C H , S = AC.BD D 16) Hình tròn: R O S = π R2 17 ) Tam giác, tứ giác a) Tổng hai cạnh ∆ lớn cạnh thứ ba b) Hiệu hai cạnh ∆ nhỏ cạnh thứ ba c) Góc ngồi ∆ · ACx = µ + B A µ · ACB + · ACx = 1800 A B C x d) Tổng góc ∆ 1800 e) Tổng góc tứ giác 3600 Các phương pháp chứng minh 18) CM ∆ a) Tam giác thường (3 cách) (c-g-c), (g-c-g), (c-c-c) b) ∆ vuông (5 cách) (c-g-c), (g-c-g), (c-c-c) Cạnh huyền, cạnh góc vng Cạnh huyền, góc nhọn 19) CM ∆ cân A a) cạnh GV :B Phạm hồng Phượng C 46 ĐT : 0976580880 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biến b) góc c) đường có tính chất: cao, phân giác, trung tuyến 3) CM ∆ a) cạnh b) góc c) ∆ cân, có góc 600 20) CM hình thang: A B CM tứ giác có 2cạnh // D C 21) CM hình thang cân( góc đáy nhau) A B D C CM tứ giác hình thang có: a) Hai góc kề đáy b) Hai góc đối bù (tổng 1800) c) Hai đường chéo 22) CM tứ giác hbh B A D C a) cặp cạnh đối song song b) cặp cạnh đối c) cặp cạnh đối song song d) cặp góc đối e) đường chéo cắt trung điểm đường 23) CM tứ giác hình thoi: B A C D CM tứ giác a) hbh có cạnh liên tiếp b) hbh có đường chéo vng góc c) hbh có đường chéo phân giác góc có đỉnh thuộc đường chéo d) có cạnh GV : Phạm hồng Phượng 47 ĐT : 0976580880 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biến e) có đường chéo tứ giác phân giác góc có đỉnh thuộc đường chéo 24) CM tứ giác hcn: CM tứ giác a) hbh có góc vng b) hbh có đường chéo c) có góc vng d) hình thang cân có góc vng 25) CM tứ giác hình vng: CM tứ giác a) hình thoi có góc vng b) hình thoi có đường chéo c) hcn có cạnh liên tiếp d) hcn có đường chéo vng góc 26) CM đường thẳng tiếp tuyến đường trịn: CM đường thẳng vng góc với bán kính đầu mút bán kính OB bán kính đường tròn a ⊥ OB B Vậy a tiếp tuyến đường tròn (O) B a O 27) CM đoạn thẳng nhau: a) CM ∆ b) Cùng cạnh thứ ba c) AB = CD = EF = GH ⇒ AB = GH d) Tổng (hay hiệu) hai cặp đoạn thẳng đơi e) ∆ có góc = ⇒ ∆ cân ⇒ cạnh f) ∆ cân ⇒ đường phân giác hay đường cao đỉnh chia đôi cạnh đáy g) Áp dụng đl I)3 h) Tính chất đoạn chắn i) CM tứ giác hbh ⇒ cạnh đối j) ∆ABC vng A có AM trung tuyến A B M AM = MB = MC C B A O k) Khoảng cách từ tâm đến dây cung dây cung l) Giao điểm tiếp tuyến đường tròn cách đêu tiếp điểm C AB = AC m) » = CD ⇒ AB = CD AB » 28) CM góc nhau: a) CM ∆ GV : Phạm hồng Phượng 48 ĐT : 0976580880 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biến b) ∆ có cạnh ⇒ ∆ cân ⇒ góc c) ∆ cân đường cao hay trung tuyến phân giác d) cặp góc ⇒ ∆ đồng dạng ⇒ cặp góc thứ ba e) góc đối đỉnh f) đường thẳng song song bị chắn đường thẳng thứ ba ⇒ góc so le nhau, góc đồng vị g) góc (cùng nhọn tù) có cạnh đơi song song h) góc (cùng nhọn tù) có cạnh đơi vng góc i) góc thứ ba j) phụ (hoặc bù) với góc thứ ba k) cộng với góc thứ ba 600 $ $ $ $ $ $ l) = = = ⇒ = m) góc tổng (hay hiệu) góc đơi n) CM tứ giác hbh ⇒ góc đối o) Hai tiếp tuyến cắt A M O · ·  AMO = BMO  · ·  AOM = BOM B 29) CM đường thẳng song song: a) góc so le ⇒ đt // b) góc đồng vị ⇒ đt // c) góc (hoặc ngồi) phía bù ⇒ đt // d) đt // với đt thứ ba ⇒ đt // e) đt ⊥ với đt thứ ba ⇒ đt // f) CM tứ giác hình: hbh, hcn, h.thoi, h.vng ⇒ cạnh đối // g) Đường trung bình ∆ // với cạnh thứ ba h) Áp dụng đl Ta let đảo mục I) 7) 30) CM đường thẳng vng góc với a) đt giao tạo thành góc kề = ⇒ đt ⊥ b) đt tạo thành góc 900, mục I) 6) c) ∆ có góc phụ ⇒ góc lại 900 ⇒ 2đt ⊥ d) a / /b  ⇒a ⊥ c a ⊥ c e) a // c, b // d, c ⊥ d ⇒ a ⊥ b f) ∆ cân đ.phân giác hay trung tuyến đcao g) tia phân giác hai góc kề bù vng góc h) Định lý Pitago đảo i) Đường cao thứ ∆ j) Đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm ⇒ đường kính ⊥ dây cung k) Tiếp tuyến ⊥ bán kính qua tiếp điểm l ) cạnh góc nội tiếp chắn nửa đường trịn 31 ) CM điểm thẳng hàng a) · ABC = 1800 ⇒ A, B, C thẳng hàng GV : Phạm hồng Phượng 49 ĐT : 0976580880 Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biến AB Pm   ⇒ A, B, C thẳng hàng AC Pm  AB ⊥ n  c)  ⇒ A, B, C thẳng hàng BC ⊥ n  · · d) xAB = xAC ⇒ A, B, C thẳng hàng b) e) Định lý đường đồng quy ∆ f) Đường trịn (O) có AB đường kính ⇒ A, O, B thẳng hàng g) Đường trịn (O) (O’) tiếp xúc A ⇒ O, A, O’ thẳng hàng 32) CM điểm nằm đường tròn a) CM điểm cách điểm b) CM điểm đỉnh hình thang cân, hcn, h.vng c) CM đỉnh tứ giác có tổng góc đối 1800 d) điểm M, N nhìn đoạn AB góc vng e) điểm M, N nhìn đoạn AB góc α *********************************************** số kiến thức chương trình tốn THCS để ôn tập tốt em cần đọc kỹ tài liệu xem thêm sách giáo khoa toán GV : Phạm hồng Phượng 50 ĐT : 0976580880 Lý Thuyết Toán THCS 51 MỤC LỤC TRANG : LỚP CHƯƠNG I TRANG CHƯƠNG II: SỐ NGUYÊN TRANG ; CHƯƠNGIII: PHÂN SỐ TRANG ; II HÌNH HỌC :CHƯƠNG I TRANG ; CHƯƠNG II TRANG ; LỚP : CHƯƠNG I TRANG 12; CHƯƠNG II : HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ TRANG12 ; CHƯƠNG III THỐNG KÊ TRANG 13 ; CHƯƠNG IV : BIỂU THỨC ĐẠI SỐ TRANG 14 ; B.HÌNH HỌC TRANG16 ; CHƯƠNG II TAM GIÁC TRANG20 ; CHƯƠNG III TRANG24 ; LỚP : CHƯƠNG I TRANG 29 ; CHƯƠNG IIPHÂN THỨC ĐẠI SỐ TRANG30 ; CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH TRANG 32; CHƯƠNG IV : BẤT PHƯƠNG TRÌNH TRANG 35; HÌNH HỌC: CHƯƠNG I TRANG40 ; CHƯƠNG IICƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH CÁC HÌNH TRANG 41; CHƯƠNG IIITAM GIÁC ĐỒNG DẠNG TRANG 46 ; CHƯƠNG IVCƠNG THÚC HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TRANG 47 ; TOÁN : CHƯƠNG I TRANG 49 ; CHƯƠNG II HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT TRANG 53 ; CHƯƠNG III : HÀM SỐ , PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRANG 65 ; Phần II: HÌNH HỌC CHƯƠNG I TRANG 65 ;CHƯƠNG II : Đường tròn TRANG 67 ; CHƯƠNG III Góc với đường trịn TRANG 69 ; CHƯƠNG IV Các loại hình khơng gian TRANG 70 ; MỘI SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUANG TRONG CHỨNG MINH TRANG 79 ; Các bất đẳng thức : TRANG 81 ; II DIỆN TÍCH CÁC HÌNH Trường THCS Phổ Cường - H Đức Phổ - T Quảng Ngãi G V : Phạm Hồng Phượng 51 ... Mở lớp Trung tâm HÃY LIÊN HỆ VỚI CHÚNG TÔI KHI CHƯA QUÁ MUỘN ĐỊA CHỈ : HẺM 93 6 QUANG TRUNG TP QUẢNG NGÃI ĐỊA CHỈ : ĐỘI XÃ NGHĨA MỸ- HUYỆN TƯ NGHĨA - QUẢNG NGÃI ĐT : 097 6.580.880 094 4 .94 3. 699 Gmail... Phương * Ôn tập lại kiến thức học trường, *Dạy sát chương trình, dạy sâu kiến thức, dạy kỹ chuyên môn, kiến thức cải cách Bộ GD * Kỹ làm thi trắc nghiệm * Lấy lại kiến thức cho học sinh yếu, Nâng... trình hệ (và giữ nguyên phương trình kia) Lưu ý: Khi hệ số ẩn đối ta cộng vế theo vế hệ Khi hệ số ẩn ta trừ vế theo vế hệ Khi hệ số ẩn khơng khơng đối ta chọn nhân với số thích hợp để đưa hệ số