Đang tải... (xem toàn văn)
MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình Giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán quen thuộc như: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan đến hàm số, phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit, số phức... ta còn gặp nhiều bài toán tích phân và đặc biệt là tích phân hữu tỷ. Đây là một dạng toán khó đối với học sinh, khi gặp những tích phân này học sinh không biết cách giải quyết bài toán như thế nào. Trong quá trình trực tiếp giảng dạy Toán lớp 12 và nghiên cứu, tôi thấy đây là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi. Nếu chúng ta biết sử dụng linh hoạt và khéo léo các phép biến đổi đại số, lượng giác ...thì có thể đưa bài toán về một bài toán quen thuộc. Với tinh thần trên, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn Toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu là: ’’MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ’’
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình Giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán quen thuộc như: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan đến hàm số, phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit, số phức ta còn gặp nhiều bài toán tích phân và đặc biệt là tích phân hữu tỷ. Đây là một dạng toán khó đối với học sinh, khi gặp những tích phân này học sinh không biết cách giải quyết bài toán như thế nào. Trong quá trình trực tiếp giảng dạy Toán lớp 12 và nghiên cứu, tôi thấy đây là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi. Nếu chúng ta biết sử dụng linh hoạt và khéo léo các phép biến đổi đại số, lượng giác thì có thể đưa bài toán về một bài toán quen thuộc. Với tinh thần trên, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn Toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu là: ’’MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ’’ II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỂN 1. Cơ sở lý luận. Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy. Từ kiến thức cơ bản phải dẫn dắt học sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao). Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp biến đổi trực tiếp, phương pháp đổi biến số hoặc phương pháp từng phần để giải các bài toán được đặt ra. Phạm vi nghiên cứu: Đại số và giải tích 12 cơ bản và nâng cao . Khách thể nghiên cứu: Học sinh trường trung học phổ thông Sông Ray. 2. Cơ sở thực tiển: a) Thuận lợi. - Học sinh đã được trang bị kiến thức, các bài tập đã được luyện tập nhiều. - Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo, tự học và yêu thích môn học. - Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên đề. b) Khó khăn. - Giáo viên mất nhiều thời gian để chuẩn bị các dạng bài tập. Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 3 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ - Nhiều học sinh bị mất kiến thức cơ bản trong đại số giải tích, không nắm vững các kiến thức về nguyên hàm và tích phân. - Đa số học sinh học yếu phần tích phân. III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP. 1. Nhắc lại một số công thức nguyên hàm hay được sử dụng ( ) ( ) 1 1 1 1) ; 1 2) ln | | 1 1 1 3) C ; 0; 1 4) ln | ax b | C; 0 ( 1) x x dx C dx x C x ax b ax b dx a dx a a ax b a α α α α α α α α + + = + ≠ − = + + + + = + ≠ ≠ − = + + ≠ + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2. Các bài toán liên quan đến tích phân hữu tỷ. Phương pháp chung: Tính tích phân ( ) ( ) b a f x I dx g x = ∫ với ( ), ( )f x g x là các đa thức với hệ số thực. Nếu deg ( ) deg ( )f x g x≥ thì thực hiện phép chia đa thức, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;deg ( ) deg ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x p x f x p x h x P x g x dx h x dx dx g x q x g x q x = + < ⇒ = + ∫ ∫ ∫ . Vì có thể dễ dàng tính được ( ) b a h x dx ∫ nên việc tính ( ) ( ) b a f x I dx g x = ∫ được đưa về tính ( ) ' ( ) b a p x I dx q x = ∫ với deg ( ) degq(x)p x < , degp(x) là bậc cao nhất của đa thức p(x). 2.1 Giải pháp 1: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một tam thức bậc hai. Tính tích phân 2 1 n m I dx ax bx c = + + ∫ hoặc 2 n m px q I dx ax bx c + = + + ∫ với tam thức bậc hai 2 ax bx c+ + có hai nghiệm phân biệt 1 2 ;x x . Phương pháp chung: - Tìm các hệ số 1 2 ,A A sao cho 1 2 2 1 2 1 A A x x x x ax bx c = + − − + + hoặc 1 2 2 1 2 A A px q x x x x ax bx c + = + − − + + . Xác định các hệ số 1 2 ;AA bằng phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp gán các giá trị đặc biệt. - Tính 1 2 2 1 2 1 n n m m A A I dx dx x x x x ax bx c = = + ÷ − − + + ∫ ∫ hoặc 1 2 2 1 2 n n m m A A px q I dx dx x x x x ax bx c + = = + ÷ − − + + ∫ ∫ Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 4 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ - Dùng phương pháp hệ số bất định hoặc gán các giá trị đặc biệt thì ta xác định được các hệ số A 1 , A 2 . Ví dụ 1: Tính tích phân sau: 0 2 1 1 3 2 I dx x x − = − + ∫ Phân tích: 2 1 1 2 3 2 A B x x x x = + − − − + . Dùng phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp gán các giá trị đặc biệt suy ra : A = -1 và B = 1 Giải. 0 0 0 2 1 1 1 0 1 1 1 2 4 ln ln 1 2 1 1 3 3 2 x I dx dx dx x x x x x − − − − = = − = = − − − − − + ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2: Tính tích phân sau: 1 2 0 2 3 3 2 x I dx x x + = + + ∫ Phân tích: 2 2 3 1 2 3 2 x A B x x x x + = + + + + + . Dùng phương pháp gán các giá trị đặc biệt ta được A = B = 1. Giải. 1 1 1 2 2 0 0 0 1 2 3 1 1 ln 3 2 ln3 0 1 2 3 2 x I dx dx dx x x x x x x + = = + = + + = + + + + ∫ ∫ ∫ Nhận xét: Do ( ) 2 3 2 ' 2 3x x x+ + = + nên 1 2 2 0 1 2 3 ln 3 2 ln3 0 3 2 x I dx x x x x + = = + + = + + ∫ 2.2 Giải pháp 2: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một tam thức bậc hai. Tính tích phân 2 1 n m I dx ax bx c = + + ∫ với tam thức bậc hai 2 ax bx c+ + có nghiệm kép 1 2 2 b x x a = = − . Phương pháp chung: 2 2 1 1 1 . 2 2 n n n m m m I dx dx b ax bx c b a x a x a a = = = − + + + + ÷ ÷ ∫ ∫ Ví dụ 1: Tính tích phân sau: 1 2 0 1 4 4 I dx x x = + + ∫ Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 5 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ Giải. ( ) 1 1 1 2 2 0 0 0 1 1 1 1 2 6 4 4 2 I dx dx x x x x = = = − = + + + + ∫ ∫ Ví dụ 2: Tính tích phân sau: 1 2 1 1 4 12 9 I dx x x − = − + ∫ Giải. ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 5 4 12 9 2 3 I dx dx x x x x − − − = = = − = − − + − ∫ ∫ 2.3 Giải pháp 3: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một tam thức bậc hai. Tính tích phân 2 n m px q I dx ax bx c + = + + ∫ với tam thức bậc hai 2 ax bx c+ + có nghiệm kép 1 2 2 b x x a = = − . Phương pháp chung: 2 2 2 ( ) 2 2 . . 2 2 n n n m m m b pb p x q px q px q a a I dx dx dx ax bx c b b a x a x a a + + − + + = = = = + + + + ÷ ÷ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 ln 2 . . 2 2 2 n n n m m m pb pb q q p p b a a dx x b b a a b a x a x a x a a a ÷ − − ÷ = + = + − ÷ + + ÷ + ÷ ÷ ÷ ÷ ∫ Ví dụ 1: Tính tích phân sau: 1 2 0 2 1 4 4 x I dx x x − = − + ∫ Giải. ( ) 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 2( 2) 3 2 3 2 4 4 ( 2) 2 3 3 2ln | 2 | 2ln 2 2 2 x x I dx dx dx x x x x x x x − − + ÷ = = = + ÷ − − + − − = − − = − + − ∫ ∫ ∫ Nhận xét: Ngoài trường hợp thêm bớt để được tổng các hàm số có nguyên hàm cơ bản thì bài toán trên ta có thể dung phương pháp hệ số bất định. Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 6 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ 2 2 2 1 ; 2 1 2 ; (*) 4 4 ( 2) 2 3 2 x A B x x Bx A B x x x x x A B − = + ∀ ⇔ − = + − ∀ − + − − = ⇔ = Do đó: ( ) 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 2 1 2 3 3 3 2ln | 2 | 2ln 2 4 4 2 2 2 2 x I dx dx x x x x x x − ÷ = = + = − − = − + ÷ − + − − − ∫ ∫ 2.4 Giải pháp 4: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một tam thức bậc hai. Tính tích phân 2 1 q p I dx ax bx c = + + ∫ hoặc 2 ' q p mx n I dx ax bx c + = + + ∫ với tam thức bậc hai 2 ax bx c+ + vô nghiệm . Phương pháp chung: 2 2 2 1 1 (m ) q q p p I dx dx ax bx c x n h = = + + + + ∫ ∫ Đổi biến số: | | .tantmx n h+ = 2 2 2 2 2 (2 ) 2 2 ' (2 ) 2 2 ln | | ( ) 2 2 q q p p q q q p p p m mb ax b n mx n a a I dx dx ax bx c ax bx c m mb ax b n m mb a a dx dx ax bx c n I a a ax bx c ax bx c + + − + = = + + + + + − = + = + + + − + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ 1: Tính tích phân sau: 1 2 0 1 1 I dx x = + ∫ Giải: 1 2 0 1 1 I dx x = + ∫ . Đặt ( ) dttdxtx 2 tan1tan +=⇒= . Đổi cận: 0 0x t = ⇒ = và 1 4 x t π = ⇒ = Suy ra: 1 4 4 2 4 2 2 0 0 0 0 1 1 .(1 tan ). 1. 4 1 tan 1 I dx t dt dt t x t π π π π = = + = = = + + ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2: Tính tích phân sau: 1 2 0 1 1 x I dx x + = + ∫ Giải: Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 7 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 2 1 1 1 ln | 1| ln 2 2 2 2 4 1 1 1 x x I dx dx dx x I x x x π + = = + = + + = + + + + ∫ ∫ ∫ Ví dụ 3: Tính tích phân sau: 1 2 0 1 1 I dx x x = + + ∫ Giải 1 1 2 2 0 0 1 1 1 3 1 ( ) 2 4 I dx dx x x x = = + + + + ∫ ∫ . Đặt ( ) 2 1 3 3 .tan 1 tan 2 2 2 x t dx t dt+ = ⇒ = + Đổi cận: 0 6 x t π = ⇒ = và 1 3 x t π = ⇒ = Suy ra: ( ) 9 3 3 32 3 32 tan1 2 3 . 4 3 tan 4 3 1 1 1 3 6 3 6 3 6 2 2 1 0 2 π π π π π π π ===+ + = ++ = ∫∫∫ tdtdtt t dx xx I Ví dụ 4: Tính tích phân sau: 0 2 1 2 1 2 2 x I dx x x − − = + + ∫ Giải 0 0 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x I dx dx dx dx x x x x x x x x − − − − − + − + − = = = + + + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 0 0 2 2 1 1 3 3 ln | 2 2 | ln 2 4 ( 1) 1 x x dx x π − − − = + + + = − + + ∫ . Nhận xét: Việc giải tích phân bằng phương pháp đổi biến số còn phụ thuộc vào các cận của tích phân. 2.5 Giải pháp 5: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một đa thức bậc lớn hơn hai. Tính tích phân ( ) ( ) b a f x I dx g x = ∫ với ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ) . n g x x a x a x a= − − − Ví dụ 1: Tính tích phân 3 2 3 2 2 2 5 3 2 x x I dx x x x − − = + − ∫ Phân tích: ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 5 3 ; 1 2 2 2 5 3 2 2 ; (*) x x A B C x x x x x x x x x A B C x A B C x A x − − = + + ∀ − + + − ⇔ − − = + + + + − − ∀ Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 8 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ Dùng phương pháp hệ số bất định (hay đồng nhất thức) ta có: 3 2 3 2 (*) 2 5 2 2 5 2 A A A B C B A B C C = − = − ⇔ + − = − ⇔ = − + + = = Khi đó: 3 3 3 3 2 3 2 2 2 2 2 2 5 3 3 1 1 5 1 2 2 1 2 2 2 x x I dx dx dx dx x x x x x x − − = = − + − + + − ∫ ∫ ∫ ∫ 3 3 3 2 2 2 3 5 3 3 5 5 ln | | 2ln | x 1| ln | 2 | ln 2ln 2 ln 2 2 2 2 2 4 x x= − − + + = − + Ví dụ 2: Tính tích phân 7 3 4 2 3 2 5 4 x I dx x x + = − + ∫ Phân tích: 3 4 2 2 ; 1 2 1 2 5 4 x A B C D x x x x x x x + = + + + ∀ − − + + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 4 1 1 2 4 1 D 1 2 ; (*)x A x x B x x C x x x x x⇔ + = − + + − + + − − + − − ∀ D ùng phương pháp gán các giá trị đặc biệt, ta có: Thay x = 1 vào (*) , ta có : 1 6 3 2 A A− = ⇔ = − Thay x = 2 vào (*) , ta có : 5 12 10 6 B B= ⇔ = Thay x = – 1 vào (*) , ta có : 1 6 3 6 C C= ⇔ = Thay x = – 2 vào (*) , ta có : 1 12 6 2 D D− = − ⇔ = Khi đó: 7 7 7 7 7 3 4 2 3 3 3 3 3 2 1 1 5 1 1 1 1 1 2 1 6 2 6 1 2 2 5 4 x I dx dx dx dx dx x x x x x x + = = − + + + − − + + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 7 7 7 7 3 3 3 3 1 5 1 1 1 5 1 1 9 ln | 1| ln | x 2 | ln | 1| ln | 2 | ln 3 ln5 ln 2 ln 2 6 6 2 2 6 6 2 5 x x x= − − + − + + + + = − + + + 1 1 3 ln 6450 ln 6 2 5 = + Ví dụ 3: Tính tích phân 2 3 3 2 3 1 5 6 x I dx x x x − − + = − + ∫ Phân tích: Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 9 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ 3 2 3 2 3 2 1 5 6 1 1 5 6 5 6 x x x x x x x x x + − + = + − + − + Ta có: 2 3 2 5 6 1 ; 2 3 5 6 x x A B C x x x x x x x − + = + + ∀ − − − + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 6 1 2 3 3 2 ; (*)x x A x x B x x C x x x⇔ − + = − − + − + − ∀ Dùng phương pháp gán các giá trị đặc biệt, ta có: Thay x = 0 vào (*) , ta có : 1 6 1 6 A A= ⇔ = Thay x = 2 vào (*) , ta có : 9 2 9 2 B B− = ⇔ = − Thay x = 3 vào (*) , ta có : 28 3 28 3 C C= ⇔ = Khi đó: 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 1 5 6 1 1 5 6 5 6 x x x I dx dx x x x x x x − − − − + − + = = + ÷ − + − + ∫ ∫ 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 9 1 28 1 1 6 2 2 3 3 dx dx dx dx x x x − − − − − − − − = + − + − − ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 3 3 3 3 1 9 28 1 2 9 4 28 5 ln | x | ln | 2 | ln | 3 | 1 ln ln ln 6 2 3 6 3 2 5 3 6 x x x − − − − − − − − = + − − + − = + − + 2.6 Giải pháp 6: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một đa thức bậc lớn hơn hai. Tính tích phân: ( ) ( ) b a f x I dx g x = ∫ ;với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 ( ) . k i i i n g x x a x a x a x a x a x a − + = − − − − − − Ví dụ 1: Tính tích phân 0 2 3 1 3 3 3 3 2 x x I dx x x − + + = − + ∫ Phân tích: Ta có: 2 3 2 3 3 3 ; 1 2 3 2 ( 1) x x A B C x x x x x x + + = + + ∀ − + − + − ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 1 ( 2) 1 ; (*)x x A x B x x C x x⇔ + + = + + − + + − ∀ Dùng phương pháp gán các giá trị đặc biệt, ta có: Thay x = 1 vào (*) , ta có : 3 9 3A A = ⇔ = Thay x = -2 vào (*) , ta có : 9 9 1C C = ⇔ = Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 10 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ Thay x = 0 vào (*) , ta có : 2 2 3 2A B C B− + = ⇒ = Khi đó: 0 2 3 1 3 3 3 3 2 x x I dx x x − + + = − + ∫ 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2 2ln 1 ln 2 1 2 1 ( 1) dx dx dx x x x x x x − − − − − − − = + + = + − + + − + − − ∫ ∫ ∫ 3 ln 2 2 = − Ví dụ 2: Tính tích phân 0 2 2 1 4 4 ( 4 3) x I dx x x − + = − + ∫ Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 ; 1 3 ( 4 3) ( 1) ( 3) 4 4 1 3 3 1 3 D 1 ; (*) x A B C D x x x x x x x x A x x B x C x x x x + = + + + ∀ − − − + − − ⇔ + = − − + − + − − + − ∀ Dùng phương pháp gán các giá trị đặc biệt, ta có: Thay x = 1 vào (*) , ta có : 4 8 2B B = ⇔ = Thay x = 3 vào (*) , ta có : 4 16 4D D = ⇔ = Thay x = 2 vào (*) , ta có : 12 6A B C D A C + − + = ⇒ − = Thay x = 0 vào (*) , ta có : 9 9 3 4 3 6A B C D A C − + − + = ⇒ + = Suy ra: A = 3 và C = – 3 Khi đó: 0 0 2 2 2 2 1 1 4 4 3 2 3 4 1 3 ( 4 3) ( 1) ( 3) x I dx dx x x x x x x − − + − = = + + + ÷ − − − + − − ∫ ∫ 0 0 0 1 1 1 1 2 4 2 4 3ln 3ln 3 1 3 3 3 x x x x − − − − = − − = + − − − 2.7 Giải pháp 7: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một đa thức bậc lớn hơn hai. Tính tích phân ( ) ( ) b a f x I dx g x = ∫ với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 ( ) . ; 4 0 i n g x x a x a x a x mx l x a m l − = − − − + + − − < Ví dụ 1: Tính tích phân 1 2 4 2 0 1 1 x I dx x x + = + + ∫ Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1x x x x x x x x x x x+ + = + + − = + − = + + − + Nên: Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 11 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 2 2 2 2 1 ; 1 1 1 1 1 1 ; (*) x Ax B Cx D x x x x x x x x Ax B x x Cx D x x x + + + = + ∀ + + + + − + ⇔ + = + − + + + + + ∀ ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 ; (*)x A C x A B C D x A B C D x B D x⇔ + = + + − + + + + − + + + + ∀ Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có: 0 0 0 1 1/ 2 1/ 2 0 0 0 1 1 1 / 2 A C A C A A B C D C D B A B C D D B C B D B D D + = + = = − + + + = + = = ⇔ ⇔ − + + = − = = + = + = = Khi đó: 1 1 1 2 1 2 4 2 2 2 0 0 0 1 1/ 2 1 / 2 1 1 1 x I dx dx dx I I x x x x x x + = = + = + + + + + − + ∫ ∫ ∫ Tính: 1 1 2 0 1/ 2 1 I dx x x = + + ∫ Giải 1 1 1 2 2 0 0 1 1 1 1 1 3 2 2 1 ( ) 2 4 I dx dx x x x = = + + + + ∫ ∫ .Đặt ( ) 2 1 3 3 .tan 1 tan 2 2 2 x t dx t dt+ = ⇒ = + Đổi cận: 0 6 x t π = ⇒ = và 1 3 x t π = ⇒ = Suy ra: ( ) 1 3 3 3 2 1 2 2 0 6 6 6 1 1 1 1 3 3 3 3 1 tan 1. 3 3 2 2 2 3 3 18 1 tan 4 4 I dx t dt dt t x x t π π π π π π π = = + = = = + + + ∫ ∫ ∫ Tính: 1 2 2 0 1/ 2 1 I dx x x = − + ∫ Giải 1 1 2 2 2 0 0 1 1 1 1 1 3 2 2 1 ( ) 2 4 I dx dx x x x = = − + − + ∫ ∫ .Đặt ( ) 2 1 3 3 .tan 1 tan 2 2 2 x t dx t dt− = ⇒ = + Đổi cận: 0 6 x t π = ⇒ = − và 1 6 x t π = ⇒ = Suy ra: Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 12 [...]... - 17 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã hệ thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài toán phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải, song việc tìm ra một lời gải hợp lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không... ÷ 4 ( ) 0 2.8 Giải pháp 8: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một đa thức bậc lớn hơn hai b Tính tích phân I = ∫ a f ( x) dx g ( x) với g ( x) = ( x − a1 ) ( x − a2 ) ( x − ai −1 ) ( x 2 + mx + l ) ( x − an ) ; ( m 2 − 4l < 0 ) k Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 13 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ 5 Ví dụ 1: Tính tích phân I = ∫ 1 Ta có: (x 2 x 2 + 18 2 − 6 x +... 3 = 2 tan t ⇒ dx = 2 1 + tan 2 t dt Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 14 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ Đổi cận: x = 1 ⇒ t = − π 4 I3 = 2 ∫ − π 4 1 π π và x = 5 ⇒ t = 4 4 ( π 4 ) 2 1 + tan 2 t dt = ∫ 1dt = t 4 tan t + 4 2 − Vậy I = I1 + I 2 + I 3 = = π 2 11π 7 + 8 4 1 Ví dụ 2: Tính tích phân I = ∫ 0 Phân tích: π 4 π 4 π − 4 2 x 2 + 2 x + 13 ( x − 2 ) ( x 2 + 1) 2 ( = 2 x 2 + 2 x +...SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ 1 1 1 1 I2 = ∫ 2 dx = 2 0 x − x +1 2 Vậy I = I1 + I 2 = π 6 ∫π − 6 π 6 π 3 3 3 6 3π 1 + tan 2 t dt = 1.dt = t = ∫− 3 3 2 3 π 3 −π 9 tan 2 t + 6 6 4 4 1 ( ) 3π 6 1 Ví dụ 2: Tính tích phân I = ∫ 0 x2 − 1 dx x4 + 1 Ta có: x 4 + 1 = x 4 + 2 x 2 + 1 − 2 x 2 = ( x 2 + 1) − 2 x 2 = ( x 2 − 2 x + 1) ( x 2 + 2 x + 1) 2 x2 − 1 Ax + B Cx + D + 2 ; ∀x Phân tích: ... giảng dạy khi tôi tham gia dạy lớp 12 cơ bản, 12 nâng cao và luyện thi Đại học Trong quá trình học chuyên đề này, học Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 16 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng khi gặp các bài toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn Toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức... 4 1 Tính I1 = ∫ 0 4 (x 2 ) +1 2 ( ) dx Đặt x = tan t ⇒ dx = 1 + tan 2 t dt Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 15 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 và x = 1 ⇒ t = π 4 Suy ra: I1 = ∫ 4 0 π 4 0 = ( 2t + sin 2t ) 1 ( tan = 2 ) t +1 π 4 π 4 ( 1 + tan t ) dt = ∫ 4 cos 2 2 2 0 π 4 tdt = ∫ 2 ( 1 + cos 2t ) dt 0 π +2 2 1 dx Đặt x = tan t ⇒ dx = 1 + tan 2 t dt x +1 Tính. .. Qua đó giúp tôi tự tin hơn khi thực hiện đề tài này V KẾT LUẬN Dạng toán tích phân nói chung và tích phân hữu tỷ nói riêng rất đa dạng và phong phú Mỗi bài toán có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo Chuyên đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo Để đạt được kết... của việc dạy học thực nghiệm lớp 12A 1 với lớp dạy không thực nghiệm 12A4 như sau: Đề ra: Tính các tích phân sau: 1 a) I = ∫ 0 1 1 4 dx 2 x −4 b) I = 3 ∫1 x 2 − 4 x + 4dx − 1 x 4 +1 e) I = ∫ 6 dx 1 x +1 3x 2 + x − 2 d )I = ∫ dx x2 +1 1 2 0 2 3 4x + 3 dx 2 x + 3x + 4 c) I = ∫ f )I = ∫ 0 x 4 − 8x 3 + x −1 dx ( x 2 − 5 x + 6) 2 Kết quả của lớp dạy thực nghiệm 12A1 là Điểm 0 1 2 3 Số lượng 4 5 7 8,5 9 10... biên) – Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất (2008) Đại số và giải tích 12 (cơ bản), NXB Giáo dục [2] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng (2008) Đại số và giải tích 12 (nâng cao), NXB Giáo dục [3] Trần Phương (2010) Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [4] Phan Huy Khải (2010) Tuyển tập... 6 7 15 11 1 7 8 9 10 Kết quả của lớp không dạy thực nghiệm 12A4 là Điểm 0 1 Số 5 lượng 2 6 3 4 5 6 4 8 4 3 Dựa vào kết quả khảo sát thực nghiệm, ta thấy rằng ở lớp dạy thực nghiệm của lớp 12A1 thì tỉ lệ học sinh đạt điểm trung bình trở lên là 39/41 chiếm tỉ lệ 95,12% Đặc biệt tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi khá cao Trong khi đó, ở lớp không dạy thực nghiệm 12A4 thì tỉ lệ học sinh đạt điểm từ trung bình